高中數(shù)學(xué) 第一講 坐標(biāo)系 三 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程學(xué)案 新人教A版選修44.doc

三簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程1能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過(guò)極點(diǎn)的直線，過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程2通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會(huì)在用方程刻畫(huà)平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義1圓的極坐標(biāo)方程(1)曲線c的極坐標(biāo)方程：一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線c上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中_，并且坐標(biāo)_都在曲線c上，那么方程f(，)0叫做曲線c的極坐標(biāo)方程(1)由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不惟一，因此曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程也有不同之處一條曲線上點(diǎn)的極坐標(biāo)有多組表示形式，這里要求至少有一組能滿足極坐標(biāo)方程有些表示形式可能不滿足方程例如，對(duì)極坐標(biāo)方程，點(diǎn)m(，)可以表示為(，2)或(，2)等多種形式，其中只有(，)的形式滿足方程，而其他表示形式都不滿足方程(2)今后我們遇到的極坐標(biāo)方程多是()的形式，即為的一個(gè)函數(shù)(3)由極坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性可得到極坐標(biāo)方程()的圖形的對(duì)稱性：若()()，則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對(duì)稱；若()()，則圖形關(guān)于射線所在的直線對(duì)稱；若()()，則圖形關(guān)于極點(diǎn)o對(duì)稱(2)圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)o，圓與極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是a(2a,0)，圓的半徑是a，圓心坐標(biāo)是c(a,0)(a0)，則圓的極坐標(biāo)方程是_【做一做11】 極坐標(biāo)方程1表示()a直線 b射線 c圓 d橢圓【做一做12】 在極坐標(biāo)系中，求圓心為a(8，)，半徑為5的圓的方程2直線的極坐標(biāo)方程直線l經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，極軸與直線l的夾角是，則直線l的極坐標(biāo)方程為_(kāi)(r)求平面曲線的極坐標(biāo)方程，就是要找極徑和極角之間的關(guān)系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理)的知識(shí)、利用三角形的面積相等等來(lái)建立，之間的關(guān)系【做一做21】 極坐標(biāo)方程sin (r)表示的曲線是()a兩條相交直線 b兩條射線c一條直線 d一條射線【做一做22】 曲線0，(0)和4所圍成圖形的面積是_【做一做23】 極坐標(biāo)方程cos sin 2所表示的曲線是_答案：1(1)至少有一個(gè)滿足方程f(，)0適合方程f(，)0的點(diǎn)(2)2acos 【做一做11】 c【做一做12】 解：在圓上任取一點(diǎn)p(，)，那么，在aop中，|oa|8，|ap|5，aop或.由余弦定理得cos aop，即216cos ()390為所求圓的極坐標(biāo)方程2【做一做21】 a【做一做22】 【做一做23】 一條直線和一個(gè)圓cos sin 22sin cos ，cos 0或2sin .cos 0表示一條直線(y軸)；2sin 2cos ()表示圓心為(1，)，半徑為1的圓1直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系的區(qū)別剖析：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)即坐標(biāo)(x，y)是一一對(duì)應(yīng)的，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，雖然一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)只能與一個(gè)點(diǎn)p對(duì)應(yīng)，但一個(gè)點(diǎn)p卻可以與無(wú)數(shù)多個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)對(duì)應(yīng)例如(，2n)與(，(2n1)(n為整數(shù))表示的是同一個(gè)點(diǎn)，所以在極坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)不是一一對(duì)應(yīng)的(2)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，一條曲線如果有方程，那么曲線和它的方程是一一對(duì)應(yīng)的(解集完全相同且互相可以推導(dǎo)的等價(jià)方程，只看作一個(gè)方程)可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，雖然是一個(gè)方程只能與一條曲線對(duì)應(yīng)，但一條曲線卻可以與多個(gè)方程對(duì)應(yīng)，所以曲線和它的方程不是一一對(duì)應(yīng)的(3)在直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合它的方程，可是在極坐標(biāo)系內(nèi)，曲線上一點(diǎn)的所有坐標(biāo)不一定都適合方程例如給定曲線，設(shè)點(diǎn)p的一個(gè)極坐標(biāo)為(，)，那么點(diǎn)p適合方程，從而是曲線上的一個(gè)點(diǎn)，但點(diǎn)p的另一個(gè)極坐標(biāo)(，)就不適合方程了所以在極坐標(biāo)系內(nèi)，確定某一個(gè)點(diǎn)p是否在某一曲線c上，只需判斷點(diǎn)p的極坐標(biāo)中是否有一種形式適合曲線c的方程即可2求極坐標(biāo)方程的步驟剖析：求曲線的極坐標(biāo)方程的方法和步驟與求直角坐標(biāo)方程的步驟類似，就是把曲線看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡將已知條件用曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)，的關(guān)系式f(，)0表示出來(lái)，就得到曲線的極坐標(biāo)方程，具體如下：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)p(，)是曲線上任意一點(diǎn)(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理，化簡(jiǎn)，得出曲線的極坐標(biāo)方程(4)證明所得方程就是曲線的極坐標(biāo)方程，若方程的推導(dǎo)過(guò)程正確，化簡(jiǎn)過(guò)程都是同解變形，證明可以省略3常見(jiàn)的直線和圓的極坐標(biāo)方程剖析：(1)直線的極坐標(biāo)方程(a0)過(guò)極點(diǎn)，并且與極軸成角的直線的極坐標(biāo)方程：(r)；垂直于極軸和極點(diǎn)間的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程：cos a；平行于極軸和極軸間的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程：sin a；不過(guò)極點(diǎn)，和極軸成角，到極點(diǎn)距離為a的直線的極坐標(biāo)方程：sin()a.(2)圓的極坐標(biāo)方程(a0)圓心在極點(diǎn)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：a；圓心在(a,0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：2acos ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：2acos ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：2asin ；圓心在(a，)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：2asin ；圓心在(a，0)，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程：2acos (0)題型一 圓的極坐標(biāo)方程【例1】 求圓心在a(2，)，并且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并把它化為直角坐標(biāo)方程反思：在求曲線的極坐標(biāo)方程時(shí)，關(guān)鍵是找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，將它用坐標(biāo)表示，然后化簡(jiǎn)，最后求出與的函數(shù)關(guān)系，即要求的極坐標(biāo)方程題型二 直線的極坐標(biāo)方程【例2】 求過(guò)點(diǎn)a(1,0)且傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程分析：本題可用兩種解法：(1)可先根據(jù)題意畫(huà)出草圖，并設(shè)點(diǎn)m(，)是直線上的任意一點(diǎn)，從而由等量關(guān)系建立關(guān)于，的方程并化簡(jiǎn)，最后檢驗(yàn)是否是所求即可；(2)可先由已知條件寫(xiě)出直線的點(diǎn)斜式的直角坐標(biāo)方程，然后由公式化為極坐標(biāo)方程即可反思：解法一通過(guò)運(yùn)用正弦定理解三角形建立了動(dòng)點(diǎn)m所滿足的等式，從而建立了以，為未知數(shù)的方程；解法二先求出直線的直角坐標(biāo)方程，然后通過(guò)利用直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式間接得解題型三 直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化【例3】 將下列曲線的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：(1)射線yx(x0)；(2)圓x2y22ax0(a0)分析：由公式化簡(jiǎn)即可反思：化曲線的直角坐標(biāo)方程f(x，y)0為極坐標(biāo)方程f(，)0，只要將xcos ，ysin 代入到方程f(x，y)0中即可化為極坐標(biāo)方程時(shí)，如果不加特殊說(shuō)明，就認(rèn)為0.例如x2y225化為極坐標(biāo)方程時(shí)，有5或5兩種情況，由于0，所以只取5.事實(shí)上，這兩個(gè)方程都表示以極點(diǎn)為圓心，以5為半徑的圓題型四 易錯(cuò)辨析【例4】 把直角坐標(biāo)方程xy0化為極坐標(biāo)方程錯(cuò)解：將xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0.(cos sin )0.tan 1.所以極坐標(biāo)方程是k(kz)答案：【例1】 解：如圖，設(shè)m(，)為圓上除o、b外的任意一點(diǎn)，連接om，mb，則有ob4，|om|，mob|，bmo，從而bom為直角三角形，所以有|om|ob|cosmob，即4cos()4sin ，點(diǎn)o(0,0)，b(4，)也適合此方程，故所求圓的極坐標(biāo)方程為4sin .化為直角坐標(biāo)方程為x2y24y0.【例2】解法一：如圖，設(shè)m(，)(0)為直線上除點(diǎn)a以外的任意一點(diǎn)，則xam，oam，oma，在oam中，由正弦定理得，即，所以sin()，即(sin cos cos sin )，化簡(jiǎn)，得(cos sin )1，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)a(1,0)的坐標(biāo)適合上述方程，所以滿足條件的直線的極坐標(biāo)方程為(cos sin )1.解法二：以極點(diǎn)o為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy，直線的斜率ktan 1，直線方程為yx1，將ysin ，xcos (0)代入上式，得sin cos 1，所以(cos sin )1.【例3】 解：(1)將xcos ，ysin 代入yx，得sin cos ，tan ，或.又x0，cos 0，射線yx(x0)的極坐標(biāo)方程為(0)(2)將xcos ，ysin 代入x2y22ax0，得2cos2 2sin2 2acos 0，即(2acos )0，2acos ，圓x2y22ax0(a0)的極坐標(biāo)方程為2acos ，圓心為(a,0)，半徑為r|a|.【例4】 錯(cuò)因分析：由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是惟一的，但這里通常約定只在0,2)范圍內(nèi)取值正解：將xcos ，ysin 代入xy0得cos sin 0，(cos sin )0，tan 1.(0)和(0)綜上所述，直線xy0的極坐標(biāo)方程為(0)和(0)或(r)或(r)1極坐標(biāo)方程cos (0)表示的曲線是()a余弦曲線 b兩條相交直線c一條射線 d兩條射線2在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)p(3，)且垂直于極軸的直線方程為()acos bsin ccos dsin 3(2012廣東惠州一模)在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)p(2，)到直線l：3cos4sin3的距離為_(kāi)4求過(guò)a(2，)且平行于極軸的直線5在圓心的極坐標(biāo)為a(4,0)，半徑為4的圓中，求過(guò)極點(diǎn)o的弦的中點(diǎn)的軌跡答案：1dcos ，2k(kz)又0，cos 表示兩條射線2a設(shè)直線與極軸的交點(diǎn)為a，則|oa|op|cos，又設(shè)直線上任意一點(diǎn)m(，)，則|om|cos |oa|，即cos .31在相應(yīng)直角坐標(biāo)系中，p(0，2)，直線l方程：3x4y30，所以p到l的距離：d.4.解：如圖所示，在直線l上任意取一點(diǎn)