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專題復(fù)習(xí)二十五講第二十五講 平面向量(一)一、知識梳理:1平面向量的有關(guān)概念:1) 模:向量的長度叫向量的模,記作|a|或|.2) 零向量:長度為零的向量叫做零向量,記作0;零向量的方向不確定.3) 單位向量:長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.4) 共線向量:方向相同或相反的向量叫共線向量,規(guī)定零向量與任何向量共線.5) 相等的向量:長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.2向量的線性運算1) 向量的加、減及其與實數(shù)的積的結(jié)果仍是向量。2) 重要定理:向量共線定理:向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù),使得b=a,即bab=a(a0).3平面向量基本定理:如果,是同一平面內(nèi)的兩個_不共線_不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的_任一_向量,有且只有_一對實數(shù)1,2使=1+2特別提醒: (1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底;(2)基底不惟一,關(guān)鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解;(4)基底給定時,分解形式惟一 1,2是被,唯一確定的數(shù)量4平面向量的坐標表示 設(shè),則向量的坐標就是點的坐標;反過來,點的坐標也就是向量的坐標因此,在平面直角坐標系內(nèi),每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示5平面向量的坐標運算(1) 若,則=,= 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和與差(2) 若,則 ,一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標(3)若和實數(shù),則,實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標6向量坐標(1) 若,則(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)則,(3)設(shè)則向量共線:;向量垂直:, 二、基礎(chǔ)檢測:1、.斷下列各命題是否正確(1)零向量沒有方向 (2)若(3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段(5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若,則;(7)若,則 (8)若四邊形ABCD是平行四邊形,則解析:解:(1) 不正確,零向量方向任意, (2) 不正確 (3) 不正確 (4) 不正確,有向線段是向量的一種表示形式 (5)正確 (6)正確 (7)不正確,因若 (8) 不正確 2. 在所在的平面上有一點,滿足,則與的面積之比是( )A B C D【解析】由,得,即,所以點是邊上的第二個三等分點,如圖所示.故3. 設(shè)非零向量,若= + + ,則|的取值范圍是()A0,10,20,3-3,3答案:、是單位向量,把起點移至原點,終點在單位圓上;方向相同時|最大為3,終點均勻分布在單位圓上時|最小為0.4.已知+=,-=,用、表示= 。答案: 提示:(+)+(-)=+=所以=5. 已知、是兩個不共線的向量,若它們起點相同,、t(+)三向量的終點在一直線上,則實數(shù)t=_.【解析】如圖, 、t(+)三向量的終點在一直線上,存在實數(shù)使:t(+)=()得(t)=(t)又、不共線,t=0且t=0 解得t=6. 已知向量,若,則銳角等于( )A B C D7已知a=(1,2),b=(3,2),當(dāng)ka+b與a3b平行,k為何值( C )A B C D 8 如圖,設(shè)P、Q為ABC內(nèi)的兩點,且, ,則ABP的面積與ABQ的面積之比為( )A B C D 解析如圖,設(shè),則由平行四邊形法則知NPAB,所以=,同理可得。故,即選B.9.和= (3,4)平行的單位向量是_; A BC H M解:因為的模等于5,所以與平行的單位向量是,即(,)或(,)10.若M(3, -2) N(-5, -1) 且 , 則P點的坐標為(-1, -)11如圖,在中,已知,于,為的中點,若,則 . 答案: 解析:,,所以BH=1,為的中點,所以 12已知向量,若不超過5,則的取值范圍是解析: =解得的取值范圍是-6,213.已知向量,,向量與平行,=4則向量的坐標是_ 或三、典例導(dǎo)悟:14、平面內(nèi)給定三個向量,回答下列問題:(1)求滿足的實數(shù)m,n; (2)若,求實數(shù)k; ()(3)若滿足,且,求 ;設(shè) 得15、已知,當(dāng)實數(shù)取何值時,2與24平行?【解析】 24, 存在唯一實數(shù)使2=24),將、的坐標代入上式得(6,24)=14,4),得6=14且24= 4,解得= 116、已知中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求?!窘馕觥吭O(shè)D(x,y), 則,得所以17、如圖,在OAB中,AD與BC交于M點,設(shè),(1)試用和表示向量(2)在線段AC上取一點E,線段BD上取一點F,使EF過M點,設(shè),。求證:

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