北京郵電大學(xué)工程數(shù)學(xué)概率部分復(fù)習(xí).pdf

北京郵電大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院 通信工程專業(yè) 本科 工程數(shù)學(xué) 概率論部分期末復(fù)習(xí) 工程數(shù)學(xué) 概率論部分期末復(fù)習(xí) 一 隨機(jī)事件及其概率 一 隨機(jī)事件及其概率 1 事件 了解基本概念 隨機(jī)實(shí)驗(yàn) 隨機(jī)事件 必然事件 不可能事件 基本事件 樣本 點(diǎn) 樣本空間等 掌握事件間的關(guān)系與運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)律 2 事件的概率 掌握概率的定義及性質(zhì) 3 條件概率 掌握條件概率的定義與計(jì)算 4 獨(dú)立性 掌握事件獨(dú)立的定義 掌握 n 重貝努里試驗(yàn)中 事件 A P A p 出現(xiàn) k 次 的概率的計(jì)算公式 01 1 kkn k nn p kC p qpqp 例 判斷 A B C 為三事件 則ABCABCABC 表示 A B C 三事件恰好有一 個(gè)發(fā)生 分析 結(jié)論正確 例 設(shè) A B C 為三事件 則 A B C 三事件沒有都發(fā)生 表示為 解 A B C 三事件沒有都發(fā)生 意味著 A B C 三事件至少有一個(gè)不發(fā)生 應(yīng)為 ABC 例 判斷 若事件 A 與 B 同時(shí)發(fā)生時(shí)必導(dǎo)致事件 C 發(fā)生 則 CABAB 分析 因?yàn)?A 與 B 同時(shí)發(fā)生時(shí)必導(dǎo)致事件 C 發(fā)生 則有 所以 結(jié)論不正確 ABC CABC 例 10 件產(chǎn)品中有 4 件次品 從中任取 求 3 件產(chǎn)品中至少有 2 件次品的概率 解 P 3 件產(chǎn)品中至少有 2 件次品 P 恰好有 2 件次品 恰好有 3 件次品 P 恰好有 1 件次品 P 恰好有 2 件次品 2130 4646 32 1010 1 3 C CC C CC 例 一批產(chǎn)品共 20 件 其中有 4 件不合格 從中任取 2 件進(jìn)行檢查 如果發(fā)現(xiàn)有不合格 產(chǎn)品就拒絕接受這批產(chǎn)品 求該批產(chǎn)品被拒絕接受的概率 解 設(shè) A 產(chǎn)品被拒絕接受 Bi 2 件產(chǎn)品有 i 件不合格產(chǎn)品 i 0 1 2 則 12 ABB 1212 P AP BBP BP B 1120 416416 22 2010 7 19 C CC C CC 1 例 擲一枚均勻的骰子 3 次 則 P 恰好出現(xiàn)兩次 6 點(diǎn) A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 5 72 解 因?yàn)?P 每次出現(xiàn) 6 點(diǎn) 1 6 P 恰好出現(xiàn)兩次 6 點(diǎn) 2 2 3 155 667 C 2 所以選 D 例 設(shè) A B 為兩個(gè)互不相容事件 且 則 0P B P A B 解 因?yàn)?A B 為兩個(gè)互不相容 即AB 所以 P ABP P A B P BP B 0 例 設(shè) A B 為兩個(gè)事件 且 0P AB9 0 6P A 0 5P B 求 P B A 解 因?yàn)?1 P ABP BAB P B A P AP A 1 P BP AB P A 而 0 60 50 90 2P ABP AP BP AB 所以 0 50 2 0 75 1 1 0 6 P ABP BAB P B A P AP A 例 設(shè) A 與 B 為兩相互獨(dú)立事件 且 0 6P A 0 7P B 則 P AB A 0 36 B 0 04 C 0 88 D 0 12 解 1 1 P ABP ABP A P BP AP B 0 4 0 30 12 所以選 D 二 隨機(jī)變量及其分布二 隨機(jī)變量及其分布 1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù) 了解隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念 性質(zhì) 掌握分布函數(shù)與隨 機(jī)變量取值概率的關(guān)系 2 離散型隨機(jī)變量 掌握離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì) 掌握分布律的求法 掌握離散型 隨機(jī)變量分布函數(shù)的求法 3 連續(xù)型隨機(jī)變量 掌握連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì) 掌握概率密度與分布函數(shù)的關(guān) 系 4 幾個(gè)重要分布 掌握以下常用隨機(jī)變量的分布 2 1 二項(xiàng)分布 B n p 分布律 0 1 2 kkn k n P XkC p qkn 其中01 1pqp 2 泊松分布 分布律 0 1 2 k P Xkek k 其中0 3 均勻分布 U a b 概率密度 其它 0 1 bxa abxf 4 正態(tài)分布 2 N 概率密度 xexf x 2 1 2 2 2 其中 0 為常數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 0 1 N 2 2 1 2 x xe 2 2 1 2 t x xedt 1 xx 公式 若 2 XN 則有 ab bXaP 5 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 掌握離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律求法 掌握連續(xù)型隨機(jī)變量函 數(shù)的概率密度的求法 分布函數(shù)法 6 二維隨機(jī)變量及其概率分布 1 二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布 了解二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)的概念 性質(zhì) 2 二維離散型隨機(jī)變量 掌握二維離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)及概率的計(jì)算 3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量 掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)及概率的計(jì)算 4 邊緣分布 了解邊緣分布函數(shù)的概念 掌握二維離散型隨機(jī)變量邊緣分布律的求法 掌握二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣概率密度的求法 5 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 了解隨機(jī)變量獨(dú)立的概念 掌握兩類隨機(jī)變量獨(dú)立的充分必要條 件 例 判斷 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 0 0 xxk f x 其他 則常數(shù) k 1 分析 因?yàn)?0 1 d k df xxxx 22 0 22 k xk 所以2k 結(jié)論錯(cuò)誤 例 判斷 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 2 01 0 kxx f x 其他 則常數(shù) k 2 3 分析 因?yàn)?1 0 1 ddf xxkxx 1 2 0 22 kxk 所以2k 結(jié)論正確 例 設(shè) 1 2XN x 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù) 則 13PX A B 3 1 2 2 2 1 C 2 2 1 D 2 2 1 解 因?yàn)?1 2XN 所以 13PX 3 11 1 22 22 221 所以選 D 例 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 1 P 1 2 1 3 1 6 求 1 X 的分布函數(shù) 2 F x 2 1YX 的分布列 3 二維隨機(jī)變量 X Y 的分 布列 4 0P XY 解 1 當(dāng)時(shí) 1x 0F xP XxP 當(dāng)時(shí) 10 x 1 1 2 F xP XxP x 當(dāng)01x 時(shí) 1 0 F xP XxPXX 115 1 0 236 P XP X 當(dāng)1x 時(shí) 1 0 1 F xP XxPXXX 111 1 0 1 236 P XP XP X 1 總之 0 1 1 10 2 5 01 6 1 1 x x F x x x 4 2 因?yàn)?X 1 0 1 Y 2 1 2 P 1 2 1 3 1 6 所以 Y 的分布列為 Y 1 2 P 1 3 2 3 3 ijiji xXyYPxXPyYxXP 1 10P XY 1 1 2 2 P XY 1 0 1 3 P XY 0 20P XY 1 10P XY 1 1 2 6 P XY Y X 1 2 1 0 1 0 1 2 1 3 0 0 1 6 4 115 11 20 1 236 P XYP XYP XY 例 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 1 P 1 2 1 4 1 4 求 1 X 的分布函數(shù) 2 F x 2 YX 的分布列 3 二維隨機(jī)變量 X Y 的分布列 4 0P XY 解 1 當(dāng)時(shí) 1x 0F xP XxP 當(dāng)時(shí) 10 x 1 1 2 F xP XxP x 當(dāng)01x 時(shí) 1 0 F xP XxPXX 113 1 0 244 P XP X 5 當(dāng)1x 時(shí) 1 0 1 F xP XxPXXX 111 1 0 1 244 P XP XP X 1 總之 0 1 1 10 2 3 01 4 1 1 x x F x x x 2 因?yàn)?X 1 0 1 Y 1 0 1 P 1 2 1 4 1 4 所以 Y 的分布列為 Y 0 1 P 1 4 3 4 3 ijiji xXyYPxXPyYxXP 1 00P XY 1 1 1 2 P XY 1 0 0 4 P XY 0 10P XY 1 00P XY 1 1 1 4 P XY Y X 0 1 1 0 1 0 1 2 1 4 0 0 1 4 4 113 00 01 1 424 P XYP XYP XY 6 例 判斷 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的分布列為 則 X 與 Y 相互獨(dú)立 分析 Y X 0 1 2 1 0 1 0 01 0 03 0 06 0 02 0 06 0 12 0 07 0 21 0 42 0 1 0 2 0 7 0 1 0 3 0 6 因?yàn)?ijij pp p 所以 X 與 Y 相互獨(dú)立 結(jié)論正確 例 判斷 設(shè) X Y 的概率密度為 01 01 0 xyxy f x y 其他 則 X 與 Y 相互獨(dú)立 分析 X fxf x y dy 1 0 0 0 1xy dyx 其他 1 01 2 0 xx 其他 Y fyf x y dx 1 0 0 0 1xy dxy 其他 1 01 2 0 yy 其他 XY f x yfx fy 所以 X 與 Y 不相互獨(dú)立 結(jié)論不正確 例 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 的概率密度為 02 02 0 kxyxy f x y 其他 X 1 求常數(shù) k 2 求關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣概率密度fx Y 與fy并判定 X 與 Y 是否相互獨(dú) 立 3 求 P XY 7 解 1 因?yàn)?1 f x y dxdy 22 00 kxydxdy 22 00 kdyxydx 2 22 0 0 1 2 kyxdy 2 0 2kydy 22 0 4kyk 所以 1 4 k 2 因?yàn)?2 0 1 4 X fxf x y dyxydy 2 2 0 11 02 82 xyxx 所以 1 02 2 0 X xx fx 其他 因?yàn)?2 0 1 4 Y fyf x y dxxydx 2 2 0 11 02 82 yxyy 所以 1 02 2 0 Y yy fy 其他 XY f x yfx fy X 與 Y 相互獨(dú)立 3 P XY 2 00 1 4 x xydxdy 22 2 000 0 111 442 x x dxxydyxydx 22 34 00 11 832 x dxx 1 2 三 隨機(jī)變量的數(shù)字特征三 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1 數(shù)學(xué)期望 掌握隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義 性質(zhì)與計(jì)算 掌握隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 的計(jì)算 2 方差 掌握隨機(jī)變量方差的定義 性質(zhì)與計(jì)算 熟記二項(xiàng)分布 泊松分布 均勻分布 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望 方差與其參數(shù)的關(guān)系 1 XB n p E Xnp D Xnpq 2 X E XD X 3 XU a b 12 2 2 ab XD ba XE 4 2 XN 2 E XD X 8 例 判斷 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度 3 8 2 0 x f xx 其他 則 4E X 分析 3 2 2 88 4E Xxf x dxxdx xx 結(jié)論正確 例 設(shè) XB n p 如果 2 4E X 1 44D X 則 n p 分別為 A 4 0 6 B 6 0 4 C 3 0 8 D 8 0 3 分析 因?yàn)?XB n p 所以 2 4 1 1 44 np npp 6 0 4np 所以 選 B 例 設(shè) X 與 Y 獨(dú)立且 求 1 2 XU 3 4 YN E XY 解 因?yàn)?1 2XU 所以 3 4YN 123 22 E X 又因?yàn)?X 與 Y 獨(dú)立 所以 3E Y 9 E XY E X E Y 4 5 2 例 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 其他 0 22 cos xxA xf 求 1 系數(shù) A 2 4 0 XP 3 求 X 的分布函數(shù) 4 F x E X D X 解 1 2 2 1 dcos df xxAx x 2 0 2cos dAxx 2 0 2 sin2AxA 1 2 A 于是 其他 0 22 cos 2 1 xx xf 2 4 0 1 0cos 42 PX xdx 4 2 4 sin 2 1 sin 2 1 4 0 x 3 當(dāng) 2 x 時(shí) 0F x 9 10 當(dāng) 22 x 時(shí) x F xf