2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.1.4函數(shù)的奇偶性學(xué)案.docx

2.1.4函數(shù)的奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義.2.掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法，了解奇偶性與函數(shù)圖象對(duì)稱性之間的關(guān)系.3.會(huì)利用函數(shù)的奇偶性解決簡單問題.知識(shí)鏈接1.關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).2.如圖所示，它們分別是哪種對(duì)稱的圖形？答案第一個(gè)既是軸對(duì)稱圖形、又是中心對(duì)稱圖形，第二個(gè)和第三個(gè)圖形為軸對(duì)稱圖形.3. 觀察函數(shù)f(x)x和f(x)的圖象(如圖)，你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？答案圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.函數(shù)奇偶性的定義(1)奇函數(shù)：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有xD，且f(x)f(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù).(2)設(shè)函數(shù)yg(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有xD，且g(x)g(x)，則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù).2.奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).(2)偶函數(shù)的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).解決學(xué)生疑難點(diǎn)要點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性例1判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)2|x|；(2)f(x)；(3)f(x)；(4)f(x)解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(x)2|x|2|x|f(x)，f(x)為偶函數(shù).(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,1，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)0，又f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x1，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)是非奇非偶函數(shù).(4)f(x)的定義域是(，0)(0，)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x0時(shí)，x0，f(x)1(x)1xf(x)；當(dāng)x0，f(x)1(x)1xf(x).綜上可知，對(duì)于x(，0)(0，)，都有f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù).規(guī)律方法判斷函數(shù)奇偶性的方法：(1)定義法：若函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則應(yīng)進(jìn)一步判斷f(x)是否等于f(x)，或判斷f(x)f(x)是否等于0，從而確定奇偶性.(2)圖象法：若函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)為偶函數(shù).(3)分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段說明f(x)與f(x)的關(guān)系，只有當(dāng)對(duì)稱區(qū)間上的對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足同樣的關(guān)系時(shí)，才能判定函數(shù)的奇偶性.跟蹤演練1(1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A.y|x| B.y3xC.y D.yx214(2)若f(x)ax2bxc(a0)是偶函數(shù)，則g(x)ax3bx2cx是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案(1)C(2)A解析(1)A、D兩項(xiàng)，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù).(2)f(x)ax2bxc是偶函數(shù)，f(x)f(x)，得b0.g(x)ax3cx.g(x)a(x) 3c(x)g(x)，g(x)為奇函數(shù).要點(diǎn)二利用函數(shù)奇偶性研究函數(shù)的圖象例2已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，且在區(qū)間0,5上的圖象如下圖所示，則使函數(shù)值y0的x的取值集合為_.答案(2,0)(2,5)解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以yf(x)在5,5上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由yf(x)在0,5上的圖象，可知它在5,0上的圖象，如圖所示.由圖象知，使函數(shù)值y0時(shí)此函數(shù)為增函數(shù)，又該函數(shù)為奇函數(shù).3.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x1，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)的解析式為()A.f(x)x1 B.f(x)x1C.f(x)x1 D.f(x)x1答案B解析設(shè)x0，則x0.f(x)x1，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù).f(x)f(x)x1，f(x)x1(x0).4.已知函數(shù)yf(x)為偶函數(shù)，其圖象與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)0的所有實(shí)根之和是()A.0 B.1 C.2 D.4答案A解析由偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以偶函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱，因此，四個(gè)交點(diǎn)中，有兩個(gè)在x軸的負(fù)半軸上，另兩個(gè)在x軸的正半軸上，所以四個(gè)實(shí)根的和為0.5.若f(x)(xa)(x4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.答案4解析由f(x)(xa)(x4)得f(x)x2(a4)x4a，若f(x)為偶函數(shù)，則a40，即a4.1.定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個(gè)條件，f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式.2.奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù).為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時(shí)需要先將函數(shù)進(jìn)行化簡，或應(yīng)用定義的等價(jià)形式：f(x)f(x)f