數(shù)學(xué)練習(xí)題抽象函數(shù)(含答案).doc

抽象函數(shù)專練1、已知函數(shù)對任意的非零實數(shù)，恒有,試判斷的奇偶性。解：令，得；為了求的值，令，則，即,再令得代入得,可得是一個偶函數(shù)。2、 已知定義在-2，2上的偶函數(shù)，在區(qū)間0，2上單調(diào)遞減， ,求實數(shù)的取值范圍分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，但是和分別在的哪個區(qū)間內(nèi)呢？如果就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到偶函數(shù)，則f (x)有性質(zhì)f（-x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一場大規(guī)模討論。解：f (x)是偶函數(shù)， f (1-m)f(m) 可得，f(x)在0，2上是單調(diào)遞減的，于是 ，即 化簡得-1m0.（1）求;（2）求和;（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明.14函數(shù)的定義域為R，并滿足以下條件：對任意,有0；對任意,有；.（1）求的值;（2）求證: 在R上是單調(diào)減函數(shù);（3）若且，求證：.15已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當時,.（1）證明:;（2）證明: 在R上單調(diào)遞減;（3）設(shè)A=,B=,若=,試確定的取值范圍.16已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù),設(shè)F.（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:是R上的增函數(shù);（2）證明:函數(shù)=的圖象關(guān)于點(成中心對稱圖形.17已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線對稱.（1）求的值；（2）證明： 函數(shù)是周期函數(shù);（3）若求當時，函數(shù)的解析式，并畫出滿足條件的函數(shù)至少一個周期的圖象。18函數(shù)對于x0有意義，且滿足條件減函數(shù)。（1）證明：；（2）若成立，求x的取值范圍。19設(shè)函數(shù)在上滿足，且在閉區(qū)間0，7上，只有（1）試判斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程=0在閉區(qū)間-2005，2005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論20. 已知函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且當x0時，f（x）0，f（1）2，求f（x）在區(qū)間2，1上的值域。21. 已知函數(shù)f（x）對任意，滿足條件f（x）f（y）2 + f（xy），且當x0時，f（x）2，f（3）5，求不等式的解。22. 是否存在函數(shù)f（x），使下列三個條件：f（x）0，x N；f（2）4。同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。6.證明：（1）問題為求函數(shù)值，只需令x=y=0即可得。 （2）問題中令x=0即得f（y）+f（- y）=2f（0）f（y），且f（0）=1.所以f（y）+f（-y）=2f（y），因此y=f（x）為偶函數(shù).說明：這類問題應(yīng)抓住f（x）與f（-x）的關(guān)系，通過已知條件中等式進行變量賦值。7. 解：由y=f(x)是偶函數(shù)且在（2，6）上遞增可知，y=f(x)在（6，2）上遞減。令u=2-x，則當x(4,8)時，u是減函數(shù)且u(-6,-2)，而f(u)在（6，2）上遞減，故y=f(2-x)在（4，8）上遞增。所以（4，8）是y=f(2-x)的單調(diào)遞增區(qū)間。8. 解：（1）.因為ab，所以a-b0，由題意得0，所以f（a）+f（b）0，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（b）=f（b）， f（a）f（b）0，即f（a）f（b）（2）.由（1）知f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，又ff0，得ff，故，所以k令t,所以kt+，而t+2，即k219.解：等價于10.（1）證明：令，得 令，則 是奇函數(shù)。（2） 又11.（1）解：令，則令，則 （2）證明：令，則， 令，則 是奇函數(shù)。（3）當時，令，則 故，所以，故12.解：(1)對任意，函數(shù)滿足，且 ，=f(a)=a(2) 對任意，函數(shù)滿足,有且僅有一個實數(shù),使得對任意，有上式中，令，則，故若，則，則，但方程有兩個不相同的實根與題設(shè)茅盾，故若，則，則，此時方程有兩個相等的實根，即有且僅有一個實數(shù),使得13.（1）解：令，則 （2）數(shù)列是以為首項,1為公差的等差數(shù)列,故=(3)任取,則 =函數(shù)是R上的單調(diào)增函數(shù).14.(1)解: 對任意,有0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有0;對任意,有;函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù).(3) 由（1）（2）知，而15. (1)證明:令,則當時,故,當時,當時,則(2)證明: 任取,則,0,故0是R上的增函數(shù);(2)設(shè)為函數(shù)=的圖象上任一點,則點關(guān)于點(的對稱點為N(),則,故把代入F得, =-函數(shù)=的圖象關(guān)于點(成中心對稱圖形.17.(1)解:為R上的奇函數(shù), 對任意都有,令則=0(2)證明: 為R上的奇函數(shù), 對任意都有,的圖象關(guān)于直線對稱, 對任意都有, 用代得,即是周期函數(shù),4是其周期.(3)當時，當時，當時，圖象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)證明：令，則，故（2），令，則， 成立的x的取值范圍是。19解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對稱軸為,從而知函數(shù)不是奇函數(shù),由,從而知函數(shù)的周期為又,故函數(shù)是非奇非偶函數(shù);(2)由又故f(x)在0,10和-10,0上均有有兩個解,從而可知函數(shù)在0,2005上有402個解,在-2005.0上有400個解,所以函數(shù)在-2005,2005上有802個解.20. 解：設(shè)，當，即，f（x）為增函數(shù)。在條件中，令yx，則，再令xy0，則f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）為奇函數(shù)，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域為4，2。21. 解：設(shè)，當，則， 即，f（x）為單調(diào)增函數(shù)。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等