高考數(shù)學(xué) 第九節(jié) 冪函數(shù)教材

1 第九節(jié)第九節(jié) 冪函數(shù)冪函數(shù) 教 材 面 面 觀 1 一般地 函數(shù) 叫做冪函數(shù) 其中 x 是自變量 是常數(shù) 注意 冪函數(shù)中底數(shù)是自變量 冪指數(shù)是常數(shù) 這與指數(shù)函數(shù)是不同的 指數(shù)函數(shù)中底數(shù) 是常數(shù) 冪指數(shù)是自變量 答案 y x 2 5 個最簡單的冪函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù)y xy x2y x3 y x 1 2 y 1 x 定義域 值域 奇偶性 單調(diào)性 圖象 過定點 答案 函數(shù)y xy x2y x3 y x 1 2 y 1 x 定義域RRR x x 0 x x 0 值域R y y 0 R y y 0 y y 0 奇偶性奇函數(shù) 偶函數(shù)奇函數(shù) 非奇非偶函 數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性在 R 上遞增 在 0 上遞減 在 0 上 遞增 在 R 上遞增在 0 在 0 和 0 上遞減 圖象 過定點 1 1 考 點 串 串 講 1 冪函數(shù)的圖象 冪函數(shù) y x 當(dāng) 1 2 3 時的圖象見圖 1 所示 1 3 1 2 當(dāng) 2 1 時的圖象見圖 2 所示 1 2 2 2 冪函數(shù)的性質(zhì) 1 0 時 圖象都通過點 0 0 1 1 在第一象限內(nèi) 函數(shù)值隨 x 的增大而增大 即在 0 上是增函數(shù) 2 0 時 圖象都通過點 1 1 在第一象限內(nèi) 函數(shù)值隨 x 的增大而減小 即在 0 上是減函數(shù) 在第一象限內(nèi) 圖象向上與 y 軸無限地接近 向右與 x 軸無限地接近 3 比較大小 利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較冪值的大小 具體方法如下 1 當(dāng)冪的底數(shù)相同 指數(shù)不同時 可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較 2 當(dāng)冪的底數(shù)不同 指數(shù)相同時 可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較 3 當(dāng)冪的底數(shù)和指數(shù)都不相同時 一種方法是作商 通過商與 1 的大小關(guān)系確定兩個冪值 的大小 另一種方法是運用媒介法 即找到一個中間值 通過比較兩個冪值與中間值的大 小 從而確定兩個冪值的大小 4 比較多個冪值的大小一般采用媒介法 即先判斷這組數(shù)中每個冪值與 0 1 等數(shù)的大小關(guān) 系 據(jù)此將它們分成若干組 然后將同一組內(nèi)的各數(shù)再利用相關(guān)方法進行比較 最終確定 各數(shù)之間的大小關(guān)系 典 例 對 對 碰 題型一 冪函數(shù)定義 例 1 若冪函數(shù) y m2 3m 17 x4m m2 的圖象不過原點 求實數(shù) m 的取值范圍 3 解析 依題意 得Error Error 所以 m 6 點評 問題切入點冪函數(shù)的形式是 y x2 因此 m2 3m 17 1 另一方面圖象不過原點 必有 4m m2 0 從而求出 m 熟練掌握并理解冪函數(shù)定義及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵 變式遷移 1 函數(shù) f x m2 m 1 xm2 2m 3 是冪函數(shù) 且在 x 0 上是減函數(shù) 則實數(shù) m 的值為 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 A 解析 由題知 m2 m 1 1 得 m 1 或 m 2 再驗證 m2 2m 3 0 得 m 2 故選 A 題型二 定義域問題 例 2 求下列函數(shù)的定義域 1 y x 3 5 2 y x 1 4 3 y x 2 3 4 y x 3 4 解析 把分數(shù)指數(shù)冪化為根式 1 y x 3 5 其定義域為 R 5 x3 2 y x 1 4 其定義域為 0 4 x 3 y x 2 3 其定義域為 0 0 1 3 x2 4 y x 3 4 其定義域為 0 1 4 x3 點評 注意 分母不能為 0 偶次根號下必須為非負實數(shù) 零的零次方?jīng)]有意義 奇次根號下不作限制 變式遷移 2 4 設(shè) 1 1 3 則使函數(shù) y x 的定義域為 R 且為奇函數(shù)的所有 的值為 1 2 答案 1 3 解析 定義域為 R 說明冪指數(shù)是正數(shù)且冪指數(shù)不等于 是奇函數(shù)說明 1 3 1 2 題型三 冪函數(shù)的圖象 例 3 已知點 2 在冪函數(shù) f x 的圖象上 點 2 在冪函數(shù) g x 的圖象上 問當(dāng) x 為何 2 1 4 值時 有 1 f x g x 2 f x g x 3 f x g x 分析 首先要理解冪函數(shù)是形式定義 y x 然后根據(jù)函數(shù)圖象可以解決 解析 設(shè) f x x 因為點 2 在冪函數(shù) f x 的圖象上 將點 2 代入 f x x 中 22 得 2 a 解得 a 2 f x x2 2 設(shè) g x xb 點 2 在冪函數(shù) g x 的圖象上 將點 2 代入 g x xb 中 得 1 4 1 4 2 b 解得 b 2 g x x 2 1 4 在同一坐標系下作出 f x x2 與 g x x 2 的圖象如圖所示 由圖象可知 1 當(dāng) x 1 或 x 1 時 f x g x 2 當(dāng) x 1 或 x 1 時 f x g x 3 當(dāng) 1 x 1 且 x 0 時 f x g x 點評 1 冪函數(shù)的一般形式是 y x 為常數(shù) 要求冪函數(shù)只要解出 即可 2 函數(shù)的 圖象在解方程和不等式時有著重要的作用 3 本題注意 g x x 2 的定義域是 x x 0 即 求冪函數(shù)的解析式問題的關(guān)鍵是掌握冪函數(shù)的定義特征 變式遷移 3 如圖所示為冪函數(shù) y x i i 1 2 3 4 在第一象限內(nèi)的圖象 則 1 2 3 4 按由小到大 的順序排列為 5 答案 3 2 4 1 解析 首先根據(jù)圖象特點和冪函數(shù)的單調(diào)性 得 1 0 4 0 2 0 3 0 令 x a 且 a 1 根據(jù)函數(shù)圖象特點可知 a 3 a 2 a 4 a 1 由于指數(shù)函數(shù) y ax a 1 是單調(diào) 遞增函數(shù) 故 3 2 4 1 題型四 比較大小問題 例 4 已知 0 71 3 m 1 30 7 m 求 m 的取值范圍 解析 根據(jù)冪函數(shù) y x1 3 知 0 0 71 3 1 由冪函數(shù) y x0 7 知 1 30 7 1 0 71 3 1 30 7 對于函數(shù) y xm 0 71 3 m 1 30 7 m m 0 點評 恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵 變式遷移 4 設(shè) b a 1 則下列不等關(guān)系成立的是 1 2 1 2 1 2 A aa ab ba B aa ba ab C ab aa ba D ab ba aa 答案 C 解析 b a 1 1 b a 0 在 A 和 B 中 y ax 0 a 1 在定義域內(nèi)是單調(diào)遞 1 2 1 2 1 2 減的 則 aa ab 所以結(jié)論不成立 在 C 中 y xn n 0 在 0 內(nèi)是單調(diào)遞增的 又 a b aa ba 即 ab aa ba 故選 C 題型五 冪函數(shù)的性質(zhì) 例 5 討論函數(shù)y x 2 3 的定義域 奇偶性 作出圖象 并由圖象指出函數(shù)的單調(diào)性 解析 函數(shù)y x 2 3 定義域為實數(shù)集 R 3 x2 f x x 2 3 x 2 1 3 x2 x 2 3 f x 1 3 6 函數(shù)y x 2 3 為偶函數(shù) 其圖象關(guān)于 y 軸對稱 下面用列表法作出函數(shù) y x 在 0 上的圖象 2 3 列表 x01234 y011 592 082 52 描點 連線 畫出 y 軸右邊部分 再由對稱性畫出 y 軸左側(cè)部分如圖所示 由圖象可以看出 函數(shù) y x 在區(qū)間 0 上是減函數(shù) 在區(qū)間 0 上是增函數(shù) 2 3 點評 描點法先要求出函數(shù)的定義域 變式遷移 5 給出關(guān)于冪函數(shù)的以下命題 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點 1 1 冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點 0 0 冪函數(shù)不可能既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第四象限 冪函數(shù)在第一象限內(nèi)一定有圖象 冪函數(shù)在 0 上不可能是增函數(shù) 其中正確的命題有 答案 解析 命題 顯然正確 只有當(dāng) 0 時冪函數(shù)的圖象才能經(jīng)過原點 0 0 若 0 則冪 函數(shù)的圖象不過原點 故命題 錯誤 冪函數(shù) y x 就是一個非奇非偶函數(shù) 所以命題 1 2 錯誤 由于在 y x R 中 只要 x 0 必有 y 0 所以冪函數(shù)的圖象不可能在第四象 限 故 正確 命題 也正確 冪函數(shù) y x3 在 0 上是增函數(shù) 故命題 錯誤 因 此正確的命題有 題型六 冪函數(shù)的綜合應(yīng)用 例 6 已知冪函數(shù) f x xm2 2m 3 m Z 為偶函數(shù) 且在區(qū)間 0 上是單調(diào)減函數(shù) 1 求 f x 7 2 討論 F x a 的奇偶性 f x b xf x 解析 1 mm f xx 2 23 xm m 2 3 由題意知 m m 2 為奇數(shù)且 m2 2m 3 0 又 m Z m 1 f x x 4 2 F x a a x 2 b x3 x 4 b x x 4 y x 2 是偶函數(shù) y x3 為奇函數(shù) 討論如下 a 0 且 b 0 時 F x 是非奇非偶函數(shù) a 0 且 b 0 時 F x 是奇函數(shù) a 0 且 b 0 時 F x 是偶函數(shù) a b 0 時 F x 既是奇函數(shù) 又是偶函數(shù) 變式遷移 6 函數(shù) y mx2 4x m 2 x2 mx 1 的定義域是全體實數(shù) 則實數(shù) m 的取值范圍 1 4 是 A 1 2 5 B 1 5 C 2 2 D 1 1 55 答案 B 解析 函數(shù) y mx2 4x m 2 x2 mx 1 有意義的條件是 mx2 4x m 2 0 因 1 4 此 要使函數(shù) y mx2 4x m 2 x2 mx 1 的定義域為全體實數(shù) 需滿足 1 4 mx2 4x m 2 0 對一切實數(shù)都成立 即Error 解得 m 1 5 教師備課資源 題型七 冪函數(shù)的判定 例 7 下列所給出的函數(shù)中 是冪函數(shù)的是 A y x3 B y x 3 C y 2x3 D y x3 1 分析 冪函數(shù)的定義是形式上的 即只有形如 y x 是常數(shù) 的函數(shù)才是冪函數(shù) 本例中 其余選項中的函數(shù)只是冪函數(shù)類函數(shù) 解析 形如 y x 是常數(shù) 的函數(shù)叫做冪函數(shù) 選 B 答案 B 變式遷移 7 給出下列函數(shù) y y 3x 2 y x4 x2 y 其中是冪函數(shù)的有 1 x3 3 x2 A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 8 答案 B 解析 可以對照冪函數(shù)的定義進行判斷 在所給出的四個函數(shù)中 只有 y x 3 和 1 x3 y x 符合冪函數(shù)的定義 是冪函數(shù) 其余兩個都不是冪函數(shù) 所以選 B 3 x2 2 3 題型八 數(shù)形結(jié)合題 例 8 當(dāng) k 0 時 試研究方程 kx 的解的個數(shù) 1 2 1 x 分析 令 y y kx 通過兩曲線交點個數(shù)來判斷方程解的個數(shù) 1 x 解析 令 y1 y2 kx 1 x 在同一直角坐標系下 先作過 y1 的圖象 如圖所示 1 x 再研究當(dāng) k 0 時 直線 y2 kx 與上述圖象交點的個數(shù) 顯然該直線與曲線 x 1 的部 1 2 分必有一交點 對于 x 1 的部分 將 y kx 代入 y2 1 x y 0 得 k2x2 x 1 0 1 4k2 當(dāng) k 0 時 0 所以 y kx 與曲線 y2 x 1 x 1 1 2 有兩交點 所以直線與曲線只有三個交點 點評 數(shù)形結(jié)合思想的恰當(dāng)引入使判斷方程根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為檢驗曲線交點個數(shù)問題 直觀 形象 易于理解 數(shù)形結(jié)合思想是高考考查的熱點之一 本題將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題 化繁為簡 化難 為易 深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想在解題中的重要地位 變式遷移 8 已知冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過點 P x1 y1 Q x2 y2 x1 x2 是函數(shù)圖象上的任意 1 8 2 4 不同兩點 給出以下結(jié)論 x1f x1 x2f x2 x1f x1 x2f x2 其中正確 f x1 x1 f x2 x2 f x1 x1 f x2 x2 結(jié)論的序號是 A B C D 答案 D 解析 依題意 設(shè) f x x 則有 即 1 2 1 8 所以 于是 1 8 2 4 1 8 1 2 9 f x x 1 2 由于函數(shù)f x x 1 2 在定義域 0 內(nèi)單調(diào)遞增 所以當(dāng) x1 x2 時 必有 f x1 f x2 從而有 x1f x1 x2f x2 故 正確 又因為 分別表示直線 f x1 x1 f x2 x2 OP OQ 的斜率 結(jié)合函數(shù)圖象 容易得出直線 OP 的斜率大于直線 OQ 的斜率 故 所以 正確 故選 D f x1 x1 f x2 x2 方 法 路 路 通 1 冪函數(shù) y x 隨 的不同 其定義域 值域 單調(diào)性 奇偶性等都有較大的差異 2 掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 要在掌握冪函數(shù)的定義域 奇偶性和它在第一象限內(nèi)的情況 等三個方面多下工夫 要強化對冪函數(shù)圖象的記憶 并了解 任何冪函數(shù)的圖象與坐標 軸最多有一個交點 原點 任何冪函數(shù)的圖象都不通過第四象限 任何兩個冪函數(shù)的 圖象最多有三個交點 3 當(dāng) 0 時 y x 在第一象限是增函數(shù) 當(dāng) 0 時 y x 在第一象限是減函數(shù) 正 誤 題 題 辨 例若 a 1 2 3 2a 2 則 a 的取值范圍是 錯解 由 y x 2 在 0 上是增函數(shù) 在 0 上是減函數(shù) 0 a 1 3 2a 或 0 a 1 3 2a 解之得 1 a 2 3 a 的取值范圍是 1 2 3 點擊 上述解法只考慮到 a 1 3 2a 在同一單調(diào)區(qū)間的情形 不全面 正解 解法一 由 y x 2 的圖象關(guān)于 y 軸對稱知 函數(shù) y x 2 在 0 上是減函數(shù) 在 0 上是增函數(shù) 有 4 種情況 1 Error 2 Error 3 Error 4 Error 分別解得 1 1 a 2 無解 3 a 1 4 a 4 2 3 因此 a 的取值范圍是 1 1 4 2 3 解法二 由 a 1 2 3 2a 2 10 得 a 1 2 3 2a 2 由 y x 2 在 0 上是減函數(shù) Error Error Error 解之得Error 故 a 的取值范圍是 1 1 4 2 3 答案 1 1 4 2 3 知 能 層 層 練 針對考點勤鉆研 金榜題名不畏難 1 在下列函數(shù)中 定義域 值域不同的是 A y x B y x 1 3 1 2 C y x D y x 5 3