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截長補(bǔ)短法培優(yōu)教案XX1118 “截長補(bǔ)短法”在幾何證明中的運(yùn)用萬全縣第三初級中學(xué)李彥軍人教八年級上冊課本中,在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì),這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法;截長補(bǔ)短法,是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法,也是把幾何題化難為易的一種思想。 所謂“截長”,就是將三者中最長的那條線段一分為二,使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條,然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等。 所謂“補(bǔ)短”,就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等。 然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系。 有的是采取截長補(bǔ)短后,使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。 在無法進(jìn)行直接證明的情形下,利用此種方法常可使思路豁然開朗.請看幾例.例1.已知,如圖1-1,在四邊形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC.求證BAD+BCD=180.分析因?yàn)槠浇堑扔?80,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)B化成為平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形,可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,作DFBC于點(diǎn)F,如圖1-2BD平分ABC,DE=DF,ECAD圖1-1在RtADE與RtCDF中,AD?DE?DF?AD?CD?BRtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180,BAD+DCF=180,A圖1-2FCD即BAD+BCD=180例2.如圖2-1,ADBC,點(diǎn)E在線段AB上,ADE=CDE,DCE=ECB.E求證CD=AD+BC.C分析結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”,即在CD上截取CF=CB,只要再證DF=DA即可,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,從而B圖2-1達(dá)到簡化問題的目的.證明在CD上截取CF=BC,如圖2-2在FCE與BCE中,AD4E?CF?CB?FCE?BCE?CE?CE?FCEBCE(SAS),2=1.又ADBC,ADC+BCD=180,DCE+CDE=90,2+3=90,1+4=90,3=4.在FDE與ADE中,321FCB圖2-2?FDE?ADE?DE?DE?3?4?FDEADE(ASA),DF=DA,CD=DF+CF,CD=AD+BC.例3.已知,如圖3-1,1=2,P為BN上一點(diǎn),且PDBC于點(diǎn)D,AB+BC=2BD.求證BAP+BCP=180.分析與例1相類似,證兩個(gè)角的和是180,可把它們移到一起,讓它們是鄰補(bǔ)角,即證明BCP=EAP,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,如圖3-2ANP1=2,且PDBC,PE=PD,在RtBPE與RtBPD中,B12D?PE?PD?BP?BP?RtBPERtBPD(HL),BE=BD.C圖3-1EANPAB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE,AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,B12D C圖3-2?PE?PD?PEA?PDC?AE?DC?RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例4.已知如圖4-1,在ABC中,C2B,12.A求證AB=AC+CD.分析從結(jié)論分析,“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,即延長AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.證明方法一(補(bǔ)短法)延長AC到E,使DC=CE,則CDECED,如圖ACB2E,ACB2B,BE,在ABD與AED中,B DA1212B DC圖4-14-2C?1?2?B?E?AD?AD?ABDAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC.方法二(截長法)在AB上截取AF=AC,如圖4-3在AFD與ACD中,圖4-2EA12F?AF?AC?1?2?AD?AD?AFDACD(SAS),DF=DC,AFDACD.B DC圖4-3又ACB2B,F(xiàn)DBB,F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD,AB=AC+CD.上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中,時(shí)常是互為補(bǔ)充,但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn)行分析。 讓掌握學(xué)生掌握好“截長補(bǔ)短法”對于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。 作業(yè) 1、已知?ABC中,?A?60?,BD、CE分別平分?ABC和.?ACB,BD、CE交于點(diǎn)O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系,并加以證明A EDO BC 2、如圖,點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外),作?DMN?60?,射線MN與DBA外角的平分線交于點(diǎn)N,DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?D NA M B E3如圖2-9所示已知正方形ABCD中,M為CD的中點(diǎn),E為MC上一點(diǎn),且BAE=2DAM求證AE=BC+CE 4、已知如圖,ABCD是正方形,F(xiàn)AD=FAE.求證BE+DF=AE.A DFBCE 5、五邊形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,ABC+AED=180,求證AD平分CDE ABE DC 6、如圖所示,?ABC是邊長為1的正三角形,?BDC是頂角為120?的等腰三角形,以D
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