截長補(bǔ)短法培優(yōu)教案XX1118

截長補(bǔ)短法培優(yōu)教案XX1118 “截長補(bǔ)短法”在幾何證明中的運(yùn)用萬全縣第三初級中學(xué)李彥軍人教八年級上冊課本中，在全等三角形部分介紹了角的平分線的性質(zhì)，這一性質(zhì)在許多問題里都有著廣泛的應(yīng)用.而“截長補(bǔ)短法”又是解決這一類問題的一種特殊方法；截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法，也是把幾何題化難為易的一種思想。 所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段等于已知的兩條較短線段中的一條，然后證明其中的另一段與已知的另一條線段相等。 所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長至與另一個(gè)已知的較短的長度相等。 然后求出延長后的線段與最長的已知線段的關(guān)系。 有的是采取截長補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。 在無法進(jìn)行直接證明的情形下，利用此種方法常可使思路豁然開朗.請看幾例.例1.已知，如圖1-1，在四邊形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求證BAD+BCD=180.分析因?yàn)槠浇堑扔?80，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的通過全等轉(zhuǎn)B化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn).證明過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，作DFBC于點(diǎn)F，如圖1-2BD平分ABC，DE=DF，ECAD圖1-1在RtADE與RtCDF中，AD?DE?DF?AD?CD?BRtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，A圖1-2FCD即BAD+BCD=180例2.如圖2-1，ADBC，點(diǎn)E在線段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.E求證CD=AD+BC.C分析結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而B圖2-1達(dá)到簡化問題的目的.證明在CD上截取CF=BC，如圖2-2在FCE與BCE中，AD4E?CF?CB?FCE?BCE?CE?CE?FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE與ADE中，321FCB圖2-2?FDE?ADE?DE?DE?3?4?FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.例3.已知，如圖3-1，1=2，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD.求證BAP+BCP=180.分析與例1相類似，證兩個(gè)角的和是180，可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造.證明過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E，如圖3-2ANP1=2，且PDBC，PE=PD，在RtBPE與RtBPD中，B12D?PE?PD?BP?BP?RtBPERtBPD(HL),BE=BD.C圖3-1EANPAB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtAPE與RtCPD中,B12D C圖3-2?PE?PD?PEA?PDC?AE?DC?RtAPERtCPD(SAS),PAE=PCD又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180例4.已知如圖4-1，在ABC中，C2B，12.A求證AB=AC+CD.分析從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.證明方法一（補(bǔ)短法）延長AC到E，使DC=CE，則CDECED，如圖ACB2E，ACB2B，BE，在ABD與AED中,B DA1212B DC圖4-14-2C?1?2?B?E?AD?AD?ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截長法）在AB上截取AF=AC，如圖4-3在AFD與ACD中,圖4-2EA12F?AF?AC?1?2?AD?AD?AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.B DC圖4-3又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.上述兩種方法在實(shí)際應(yīng)用中，時(shí)常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn)行分析。 讓掌握學(xué)生掌握好“截長補(bǔ)短法”對于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。 作業(yè) 1、已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分別平分?ABC和.?ACB，BD、CE交于點(diǎn)O，試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明A EDO BC 2、如圖，點(diǎn)M為正三角形ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)B除外)，作?DMN?60?，射線MN與DBA外角的平分線交于點(diǎn)N，DM與MN有怎樣的數(shù)量關(guān)系?D NA M B E3如圖2-9所示已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且BAE=2DAM求證AE=BC+CE 4、已知如圖，ABCD是正方形，F(xiàn)AD=FAE.求證BE+DF=AE.A DFBCE 5、五邊形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求證AD平分CDE ABE DC 6、如圖所示，?ABC是邊長為1的正三角形，?BDC是頂角為120?的等腰三角形，以D