彈性波場理論基本概念介紹.doc

物理大地測量讀書筆記 張永奇 0826010彈性波場理論基本概念介紹引言 測繪是一門數(shù)學(xué)性很強(qiáng)的學(xué)科，許多數(shù)學(xué)的理論在測繪中應(yīng)用非常的普遍。如最小二乘法，最小范數(shù)法，回歸分析法，各種曲線擬合法，蒙特卡羅法，模擬退火法，遺傳算法，等等。只要是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域可以應(yīng)用的方法，在測繪的實(shí)際應(yīng)用中同樣可以。同時(shí)，測繪學(xué)科也是一門與地球物理緊密相關(guān)的學(xué)科，在地球物理中的很多理論方法在解決測繪問題中都起到了非常重要的作用。如流體力學(xué)的應(yīng)用，彈性力學(xué)的應(yīng)用，等等。本文主要是介紹一下地球物理學(xué)的關(guān)于彈性波場的理論，最后做了簡要的展望。彈性波場就是在彈性介質(zhì)中傳播的波。彈性介質(zhì)在外力或擾動(dòng)的作用下會(huì)發(fā)生體積和形狀的變化(稱為形變)，產(chǎn)生所謂應(yīng)變。應(yīng)變可分為縱向(或脹縮)應(yīng)變和橫向(或剪切)應(yīng)變。這些應(yīng)變用彈性常數(shù)來表示。當(dāng)一擾動(dòng)作用于均勻各向同性完全彈性介質(zhì)時(shí)，在彈性介質(zhì)內(nèi)有脹縮應(yīng)變的縱向位移形式向前傳播的縱波存在，同時(shí)也有以剪切橫向位移形式向前傳播的橫波存在。縱波傳播速度比橫放傳播速度快，在地震時(shí)縱波比橫波先到。 地震波的實(shí)質(zhì)就是地下巖石中傳播的彈性波。在地震波傳播范圍內(nèi)絕大部分巖石都可以近似地看成理想彈性體或完全彈性體。因此彈性力學(xué)的許多理論和概念可以引人地震勘查中來。在這里我們重復(fù)了一些彈性力學(xué)的概念，是為了將它們引伸到地震勘查范圍中來，著眼點(diǎn)是從地震勘查的角度描述這些基本概念。一 應(yīng)力和應(yīng)變(一)應(yīng)力 當(dāng)彈性體在外力作用下發(fā)生形變時(shí)，總有一種阻止彈性體形變，欲恢復(fù)彈性體原狀的內(nèi)力，這種內(nèi)力稱為內(nèi)應(yīng)力，簡稱應(yīng)力。應(yīng)力可定義為單位面積上的內(nèi)力。注意，應(yīng)力的量綱不是力的量綱而是單位面積上力的量綱，因此有的書將應(yīng)力稱為“脅強(qiáng)”。 根據(jù)力的分解定理，可將彈性體內(nèi)任意方向的應(yīng)力分解為垂直于單位面積的法向應(yīng)力和相切于單位面積的剪切應(yīng)力。描述彈性體內(nèi)某一點(diǎn)M的應(yīng)力，在直角坐標(biāo)系中常取一小平行六面體、六面體的每個(gè)面都垂直坐標(biāo)軸(圖1)，考慮這些面上的應(yīng)力，可得九個(gè)應(yīng)力分量，即法向應(yīng)力，剪切應(yīng)力，。圖1應(yīng)力分量示意圖下標(biāo)的第一個(gè)腳碼i表示應(yīng)力的作用方向，第二個(gè)腳碼j表示應(yīng)力作用在垂直j軸的平面上。彈性體處在靜平衡時(shí)這些應(yīng)力互相抵消。我們已知，由于，9個(gè)應(yīng)力分量只有六個(gè)是獨(dú)立的。（二）應(yīng)變當(dāng)彈性體受到應(yīng)力作用，產(chǎn)生體積和形狀的變化，這種變化稱為應(yīng)變。彈性體在外力作用下可產(chǎn)生上述兩種應(yīng)變的綜合，正如前述，這兩種基本類型的應(yīng)變正好對應(yīng)著地震勘查中的縱波和橫波。 在連續(xù)彈性介質(zhì)中，在力的作用下發(fā)生形狀變化時(shí)，我們說介質(zhì)受到了形變。于是，在物質(zhì)內(nèi)部，在一直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)的位置移動(dòng)到鄰近位置點(diǎn)，產(chǎn)生一個(gè)位移矢量U(圖2)圖2 位移示意圖其沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別用u，v，w來表示。P點(diǎn)附近的位移分量可由泰勒級(jí)數(shù)展開式給出。 （1.1）在彈性波中主要討論小變形，因此高次項(xiàng)可忽略不計(jì)，對上式稍加變化，可得 （1.2）引入下列符號(hào)： （1.3）由這些表達(dá)式可以把位移分量式（1.2）表示成下列形式： （1.4）由此可見，這些表達(dá)式的第一項(xiàng)為p點(diǎn)的位移分量，第一個(gè)括號(hào)中的各項(xiàng)相當(dāng)于一個(gè)體積元的純轉(zhuǎn)動(dòng)，第二個(gè)括號(hào)中的各項(xiàng)與此體積元的應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)變分量表示平行于x，y，z軸的簡單伸長，稱為線應(yīng)變。其余三個(gè)分量為形變的切變分量，可以證明他們分別等于原始直角體積元在平面內(nèi)的角度變化。體積元受力后的體積相對變化，可以用體變系數(shù)來描述，按體積相對變化的定義可得 （1.5）據(jù)數(shù)學(xué)場論可知，上述體變系數(shù)的表達(dá)式恰好是位移向量U的散場，所以（1.5）式亦可以寫成： （1.6）這就告訴我們一個(gè)向量場的散度在彈性波傳播理論中的物理意義體現(xiàn)為彈性介質(zhì)體積的相對變化（膨脹或壓縮）二 應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系對大多數(shù)固體而言，在彈性極限范圍以內(nèi)，測得的應(yīng)變與外作用力成比例。這個(gè)規(guī)律由廣義虎克定律描述。若固體中6個(gè)應(yīng)力分量中的每一個(gè)都是6個(gè)應(yīng)變分量的線性函數(shù)，在一般情況下，應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系中將出現(xiàn)6636個(gè)彈性系數(shù)。但在各向同性的理想彈性體中，由于各向同性所具有的對稱性，彈性常數(shù)減少為兩個(gè)，應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可寫成下列虎克定律形式： （1.6）式中彈性系數(shù)和就是著名的拉梅常數(shù)。由上式還可看出 當(dāng)值較大時(shí)，就變小，這說明的物理意義是阻止剪切應(yīng)變的，因此常稱為剪切模量。除和外，還常用一些其他彈性常數(shù)來描述應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，最常用的有楊氏模量E，泊松比，體積壓縮模量K.他們的定義分別是：楊氏模量E表示圓或多角形柱形，在其一端受力，側(cè)面為自由面，所加應(yīng)力與伸出之比，即 （1.7）泊松比則是上述實(shí)驗(yàn)中，橫向縮短與縱向伸長之比，即 （1.8）體積壓縮模量K表示當(dāng)固體受均勻流體靜壓力時(shí)，所加壓力與體積變化之比 （1.9）考慮到上述實(shí)驗(yàn)只有應(yīng)力，其余5個(gè)應(yīng)力分量為零。由方程式（1.6）和E，K的定義可得出彈性常數(shù)之間的關(guān)系 (1.10) (1.11) (1.12)上述彈性常數(shù)都是正數(shù)，泊松比是小于1的數(shù)，在之間。松軟和不膠結(jié)物質(zhì)泊松比可達(dá)0.45，堅(jiān)硬巖石泊松比值很低。液體沒有剪切應(yīng)變，其三 運(yùn)動(dòng)方程波動(dòng)是彈性體內(nèi)相鄰質(zhì)點(diǎn)問應(yīng)力的變化，從而引起質(zhì)點(diǎn)問應(yīng)變的傳遞。研究波動(dòng)應(yīng)該考慮應(yīng)力不平衡的狀態(tài)。仍以小六面體為例。若讓作用在每個(gè)面上的力由作用在這個(gè)面中心的應(yīng)力乘上它的面積來表示，在應(yīng)力不平衡的情況下，從一個(gè)面到另個(gè)面應(yīng)力分量是要發(fā)生變化的。此外小六面體還受體力F作用。體力F的三個(gè)分量分別用X，Y，Z表示。根據(jù)牛頓第二定律我們可得出沿x，y，z方向的運(yùn)動(dòng)方程 （1.13）將應(yīng)力分量表達(dá)式（1.6）代入便可得到在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中用位移表達(dá)的運(yùn)動(dòng)方程（亦稱拉梅方程） （1.14）式中為拉普拉斯算符。若將式（1.14）用向量形式表示，則可得 （1.15）對上式分別取散度和旋度，可得 （1.16） （1.17）式中式（1.16）和式（1.17）說明。在兩種不同外力作用下，在彈性介質(zhì)中產(chǎn)生兩種不同的擾動(dòng)，式（1.16）表明在脹縮力表明在脹縮力作用下，介質(zhì)產(chǎn)生由體變系數(shù)決定的脹縮擾動(dòng)。式（1.17）表明在旋轉(zhuǎn)力作用下，介質(zhì)將產(chǎn)生由決定的形變擾動(dòng)。這兩種擾動(dòng)在介質(zhì)中獨(dú)立存在。若用標(biāo)量位的梯度和矢量位的旋度米來表示位移矢量和力矢量，并引入速度，則可得到最常見的用為函數(shù)表示的縱波和橫波的波動(dòng)方程波動(dòng)方程描述了波的傳播特征，要了解地震波的傳播具體特征，要解波動(dòng)方程。有關(guān)地震波在無限介質(zhì)，層狀介質(zhì)中傳播的特點(diǎn)，本文將不做詳細(xì)介紹。四展望上面是基于地震勘察進(jìn)行的波動(dòng)理論的公式推導(dǎo)，沒有進(jìn)行具體應(yīng)用的分析，但是該公式在大地測量中應(yīng)用非常廣泛。因此研究該理論對研究地學(xué)，尤其是地殼形變監(jiān)測，