高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.3.1圓的標準方程課件

2 3 1圓的標準方程 一 二 三 一 圓的定義 問題思考 1 填空 平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓 定點是圓心 定長是圓的半徑 設(shè)M x y 是 C上的任意一點 點M在 C上的條件是 CM r r為 C的半徑 2 平面內(nèi)到一個定點的距離小于或等于定長的點的集合是什么 提示 是一個以定點為圓心 以定長為半徑的圓面 一 二 三 二 圓的方程 問題思考 1 在平面直角坐標系中 圓是函數(shù)的圖象嗎 提示 根據(jù)函數(shù)知識 對于平面直角坐標系中的某一曲線 如果垂直于x軸的直線與此曲線至多有一個交點 那么這條曲線是函數(shù)的圖象 否則 不是函數(shù)的圖象 對于平面直角坐標系中的圓 垂直于x軸的直線與其至多有兩個交點 因此圓不是函數(shù)的圖象 2 填空 1 圓心在坐標原點 半徑為r的圓的標準方程為x2 y2 r2 2 圓心坐標為 a b 半徑為r的圓的標準方程為 x a 2 y b 2 r2 一 二 三 答案 A 一 二 三 三 點與圓的位置關(guān)系 問題思考 1 用數(shù)形結(jié)合的思想方法說明直線y k x 3 與圓x2 y2 16的位置關(guān)系怎樣 提示 相交 因為直線y k x 3 恒過定點 3 0 又點 3 0 在圓x2 y2 16的內(nèi)部 故直線與圓是相交的 2 填空 設(shè)點P x0 y0 和圓C x a 2 y b 2 r2 則 點P在圓上 x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 點P在圓外 x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 點P在圓內(nèi) x0 a 2 y0 b 2 r2 PC r 一 二 三 3 做一做 點 1 1 在圓 x a 2 y a 2 4的外部 則a的取值范圍為 解析 由題意知 1 a 2 1 a 2 4 所以a 1或a 1 答案 1 1 一 二 三 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)畫 錯誤的畫 1 x 2 2 y 3 2 4是表示以 2 3 為圓心 以2為半徑的圓 2 在平面直角坐標系中 只要確定了圓心和半徑 那這個圓的標準方程就確定了 3 與兩坐標軸均相切的圓的標準方程可設(shè)為 x R 2 y R 2 R2 其中R為圓的半徑 4 函數(shù)y b r 0 的圖象是以 a b 為圓心 半徑為r的位于直線y b下方的半圓弧 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 直接法求圓的標準方程 例1 1 圓心是C 3 4 半徑長為5的圓的方程為 A x 3 2 y 4 2 5B x 3 2 y 4 2 25C x 3 2 y 4 2 5D x 3 2 y 4 2 25 2 已知點A 4 5 B 6 1 則以線段AB為直徑的圓的方程為 解析 1 因為圓心是C 3 4 半徑長為5 所以圓的方程為 x 3 2 y 4 2 25 2 AB的中點坐標即為圓心坐標C 1 3 又圓的半徑r AC 所以所求圓的方程為 x 1 2 y 3 2 29 答案 1 D 2 x 1 2 y 3 2 29 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟通過以上例題可總結(jié)出以下規(guī)律 1 由圓的標準方程 x a 2 y b 2 r2可知 圓心為 a b 半徑為r 它體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì) 圓的標準方程 x a 2 y b 2 r2中有三個參數(shù)a b r 只要求出a b r 圓的方程也就確定了 因此確定圓的方程需三個獨立條件 其中圓心是圓的定位條件 半徑是圓的定形條件 2 幾種特殊形式的圓的標準方程 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 變式訓(xùn)練1圓心為 1 1 且過原點的圓的方程是 A x 1 2 y 1 2 1B x 1 2 y 1 2 1C x 1 2 y 1 2 2D x 1 2 y 1 2 2解析 圓的半徑r 圓心坐標為 1 1 所以圓的標準方程為 x 1 2 y 1 2 2 答案 D 探究一 探究二 探究三 思想方法 待定系數(shù)法求圓的標準方程 例2 求下列圓的方程 1 圓心在直線y 2x上 且與直線y 1 x相切于點 2 1 2 圓心C 3 0 且截直線y x 1所得的弦長為4 3 已知一個圓關(guān)于直線2x 3y 6 0對稱 且經(jīng)過點A 3 2 B 1 4 思路分析 利用圓的標準方程 把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓心和半徑的方程組來求解 解 1 設(shè)圓心為 a 2a 半徑為r 則圓的方程為 x a 2 y 2a 2 r2 所以所求圓的方程為 x 1 2 y 2 2 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 2 設(shè)圓的半徑為r 則圓的方程為 x 3 2 y2 r2 利用點到直線的距離公式可以求得 所以所求圓的方程為 x 3 2 y2 12 探究一 探究二 探究三 思想方法 即x 3y 1 0 因為圓心在弦AB的垂直平分線上 也在對稱軸上 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 待定系數(shù)法求圓的標準方程 需求出圓心和半徑 即列出關(guān)于a b r的方程組 求出a b r 一般步驟如下 1 根據(jù)題意 設(shè)所求的圓的標準方程為 x a 2 y b 2 r2 2 根據(jù)已知條件 建立關(guān)于a b r的方程組 3 解方程組 求出a b r 代入圓的方程中 求出圓的標準方程 2 有時求圓的方程時 用上初中所學(xué)圓的幾何性質(zhì)往往使問題容易解決 圓的常用幾何性質(zhì)如下 1 圓心在過切點 且與切線垂直的直線上 2 圓心必是兩條不平行的弦的中垂線的交點 3 不過圓心的弦 弦心距d 半弦長m及半徑r滿足r2 d2 m2 4 直徑所對的圓周角是90 即圓的直徑的兩端點與圓周上異于端點的任意一點的連線互相垂直 探究一 探究二 探究三 思想方法 變式訓(xùn)練2求圓心在直線x 2y 3 0上 且過點A 2 3 B 2 5 的圓的標準方程 解 設(shè)點C為圓心 因為點C在直線l x 2y 3 0上 所以可設(shè)點C的坐標為 2a 3 a 又因為該圓經(jīng)過A B兩點 所以 CA CB 解得a 2 所以圓心坐標為C 1 2 半徑r 故所求圓的標準方程為 x 1 2 y 2 2 10 探究一 探究二 探究三 思想方法 點與圓的位置關(guān)系 例3 已知在平面直角坐標系中有A 0 1 B 2 1 C 3 4 D 1 2 四點 這四點能否在同一個圓上 為什么 思路分析 先確定出過其中三點的一個圓的方程 再驗證第四個點是否在這個圓上 即可得出答案 解 設(shè)經(jīng)過A B C三點的圓的標準方程為 x a 2 y b 2 r2 把A B C的坐標分別代入 得 所以 經(jīng)過A B C三點的圓的標準方程是 x 1 2 y 3 2 5 把點D的坐標 1 2 代入上述圓的方程 得 1 1 2 2 3 2 5 所以 點D在經(jīng)過A B C三點的圓上 即A B C D四點在同一個圓上 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟判斷點P x0 y0 與圓 x a 2 y b 2 r2的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種 1 對于幾何法 主要是利用點與圓心的距離與半徑比較大小 2 對于代數(shù)法 主要把點的坐標代入圓的標準方程 左端與r2比較 探究一 探究二 探究三 思想方法 試求過三點A 0 1 B 2 1 C 3 4 的圓的方程 并且判斷點 3 6 與所求圓的關(guān)系 解 所求方程同例題中的結(jié)論 x 1 2 y 3 2 5 經(jīng)判斷 因為點 3 6 代入圓方程左邊可得 3 1 2 6 3 2 13 5 因此點 3 6 在該圓外 探究一 探究二 探究三 思想方法 利用數(shù)形結(jié)合思想求有關(guān)圓的最值問題 典例 如圖所示 圓C x 8 2 y 6 2 1 點A 0 1 B 0 1 設(shè)P是圓上的動點 令d PA 2 PB 2 求d的最大值和最小值 思路點撥 本題考查點與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合思想 可先列出函數(shù)關(guān)系式 再借助圖形特點解決問題 解 設(shè)點P的坐標為 x0 y0 所以d PA 2 PB 2 因為原點O在圓外 點C的坐標為 8 6 圓的半徑為1 所以 OP max CO 1 10 1 11 OP min CO 1 10 1 9 所以dmax 2 112 2 244 dmin 2 92 2 164 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法點睛如圖所示 點P x0 y0 是圓C x a 2 y b 2 r2 r 0 外一點 則圓上到點P距離最近的點為點P與圓C的圓心的連線與圓的交點A 圓上離點P最遠的點為點P與圓C的圓心的連線的延長線與圓的交點B 探究一 探究二 探究三 思想方法 變式訓(xùn)練實數(shù)x y滿足x2 y2 4 y 0 試求m x y的取值范圍 解 作出半圓 x2 y2 4 y 0 和動直線l y x m 如圖知 在l與半圓有公共點的前提下 當l與半圓相切時 縱截距最大 設(shè)這時切點為B l與y軸相交于A 則OB AB OB 2 OAB 30 OA 4 當l通過半圓與x軸的負半軸的交點C時 縱截距最小 設(shè)這時l與y軸相交于D點 OC 2 CDO 30 1 2 3 4 5 6 1 圓 x 3 2 y 2 2 13的周長是 答案 B 1 2 3 4 5 6 2 以點A 5 4 為圓心 且與x軸相切的圓的標準方程為 A x 5 2 y 4 2 16B x 5 2 y 4 2 16C x 5 2 y 4 2 25D x 5 2 y 4 2 25解析 因為圓與x軸相切 所以半徑r 4 所以圓的標準方程為 x 5 2 y 4 2 16 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 圓 x 2 2 y2 5關(guān)于原點 0 0 對稱的圓的方程為 A x 2 2 y2 5B x2 y 2 2 5C x 2 2 y 2 2 5D x2 y 2 2 5解析 求圓關(guān)于某點或某直線的對稱圖形的方程 主要是求圓心關(guān)于點或直線的對稱點 易求得圓心 2 0 關(guān)于 0 0 的對稱點為 2 0 則所求的圓的方程為 x 2 2 y2 5 答案 A 1 2 3 4 5 6 A 一條射線B 一個圓C 兩條射線D 半個圓答案 D 1 2 3 4 5 6 5 已知圓C經(jīng)過A 5 1 B