第三章微分中值定理小結(jié).doc

第三章 小結(jié)學(xué)院：創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)學(xué)院 專業(yè)：生物技術(shù) 班級：102姓名：許健龍 學(xué)號：2010015065 日期：2010-12-5一、 微分中值定理1) 羅爾定理（拉格朗日中值定理的特殊情況）：表述，推導(dǎo)2) 拉格朗日中值定理：表述，推導(dǎo)，幾何意義A. 推論1：如果函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)。B. 推論2：若在上成立，那么注*C. 推出有限增量公式D. 推廣：泰勒中值定理3) 柯西中值定理：表述，推導(dǎo)二、 洛必達(dá)法則1) 型：定理1（）；定理2（）2) 型：定理1（）；定理2（）三、 泰勒公式1) 泰勒中值定理：表述，推導(dǎo)2) 泰勒公式A. 拉格朗日余項(xiàng)B. 佩亞諾型余項(xiàng)C. 階泰勒多項(xiàng)式D. 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式E. 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式F. 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式；G. 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式3) 幾種常見的微分公式A.其中；B. ； C.其中D.其中；E.其中；四、 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性1) 單調(diào)性的判定：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)；1、如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)增加；2、如果在內(nèi)，那么函數(shù)在上單調(diào)減少。注*一般的，如果在某區(qū)間的有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)處均為正（或）負(fù)時(shí)，那么在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。2) 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)：定義1；定義2；判定。注*拐點(diǎn)的切線必定穿過曲線五、 函數(shù)的極值與最大值最小值1) 極值定義A. 必要條件：設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在處取得極值，那么。B. 第一充分條件：設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)；1、若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值；2、若時(shí)，而時(shí)，則在處取得極大值；3、若時(shí)，的符號保持不變，則在處沒有極值。證明C. 第二充分條件：設(shè)函數(shù)在處具有二階導(dǎo)數(shù)且，那么1、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值；2、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值。證明D. 步驟：1、求出導(dǎo)數(shù)；2、求出的全部駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)；3、考察的符號在每個(gè)駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)的左、右鄰近的情形，以確定該點(diǎn)是否為極值點(diǎn)；如果是極值點(diǎn)，進(jìn)一步確定是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；4、求出各極值點(diǎn)的函數(shù)值，就得函數(shù)的全部極值2) 最大值最小值（一般列表求簡便）六、 函數(shù)圖形的描繪A. 確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特征（如奇偶性、周期性等），并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；B. 求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并求出函數(shù)的間斷點(diǎn)及和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個(gè)部分區(qū)間；C. 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸，極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；D. 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；E. 算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形上相應(yīng)的點(diǎn)；為了把圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)；然后結(jié)合第三、四步得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形。注*漸進(jìn)線的求法1、水平：；2、鉛直：；3、斜漸近線：且則七、 曲率1) 弧微分A. 弧微分公式B. 推導(dǎo)方法2) 曲率及其計(jì)算公式A. 曲率公式1、2、參數(shù)方程推導(dǎo)出