高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.5 隨機(jī)變量的均值和方差 數(shù)學(xué)期望與方差素材 蘇教版選修2-3（通用）

隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)習(xí)目的與要求：本章主要討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征，概率分布全面地描述隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，而數(shù)字特征則描述這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的某些重要特征。本章總的要求是：理解期望與方差的概念，掌握期望與方差的性質(zhì)與計(jì)算，會(huì)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的期望；掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的期望與方差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)，會(huì)求相關(guān)系數(shù)，知道矩與協(xié)方差陣的概念及求法。重點(diǎn)內(nèi)容是：期望、方差、協(xié)方差的計(jì)算，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字期望；難點(diǎn)內(nèi)容是：隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。3.1 數(shù)學(xué)期望與方差3.2 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣3.3 條件數(shù)學(xué)期望與回歸3.4 特征函數(shù)及其性質(zhì)3.1 數(shù)學(xué)期望與方差1. 隨機(jī)變量的期望）離散型隨機(jī)變量的期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，則的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱均值或期望）為。）連續(xù)型隨機(jī)變量的期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（或稱期望或均值），記為，即 。連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，又隨機(jī)變量，則 。）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望若為離散型隨機(jī)變量，若其分布律為 ，邊緣分布律為和則， 若為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，分別為的概率密度與邊緣概率密度，則，。 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量的函數(shù)，若為離散型隨機(jī)變量，則；若為連續(xù)型隨機(jī)變量，則。2. 期望的性質(zhì) ）常數(shù)的期望等于這個(gè)常數(shù)，即，其中為常數(shù)。） 常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于該常數(shù)與隨機(jī)變量的期望的乘積，即 ） 隨機(jī)變量和的期望等于隨機(jī)變量期望的和，即，若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則3. 隨機(jī)變量的方差）隨機(jī)變量的方差：設(shè)隨機(jī)變量的期望存在，則稱為隨機(jī)變量的方差，記作，即=，稱為的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。）離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布律為，則 ）連續(xù)型隨機(jī)變量的方差設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，則）方差計(jì)算的重要公式：4 方差的性質(zhì)）常數(shù)的方差等于零，隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即， 。）常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于這個(gè)常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即 ，其中為常數(shù)。）若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則。5. 幾種重要的隨機(jī)變量的數(shù)字特征匯總表離散型分布期望方差服從參數(shù)為的0-1分布服從二項(xiàng)分布服從泊松分布連續(xù)型均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布3.2 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、協(xié)方差矩陣1. 協(xié)方差設(shè)有二維隨機(jī)變量，且存在，如果存在，則稱此值為與的協(xié)方差，記為，即。 當(dāng)為二維離散型隨機(jī)變量時(shí)，其分布律為 則。 當(dāng)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，為的概率密度，則 。 協(xié)方差有下列計(jì)算公式：（重要公式），特別的取時(shí)，有2. 協(xié)方差的性質(zhì)） ；） ，其中為任意常數(shù)；） ；） 若，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則。3. 相關(guān)系數(shù)若,稱為與的相關(guān)系數(shù)，記為，即。4. 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)） ；）的充分必要條件是存在常數(shù)使且。兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量，越接近1， 與之間的線性關(guān)系越密切。當(dāng)時(shí)，與存在完全的線性關(guān)系，即；時(shí)，與之間無(wú)線性關(guān)系。若相關(guān)系數(shù)，則稱與不相關(guān)。很明顯，當(dāng)時(shí)，隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條件是。注意：若隨即變量與相互獨(dú)立，則 ，因此與不相關(guān)，反之，隨機(jī)變量與不相關(guān)，但與不一定相互獨(dú)立。若