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概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章概率論的基本概念2樣本空間、隨機事件1事件間的關系則稱事件B包含事件A,指事件A發(fā)生必然導致事件B發(fā)生A稱為事件A與事件B的和事件,指當且僅X或當A,B中至少有一個發(fā)生時,事件發(fā)生稱為事件A與事件B的積事件,指當且A,B同時發(fā)生時,事件發(fā)生BA稱為事件A與事件B的差事件,指當且僅X且當A發(fā)生、B不發(fā)生時,事件發(fā)生,則稱事件A與B是互不相容的,或互斥的,指事件A與事件B不能同時發(fā)生,基本事件是兩兩互不相容的,則稱事件A與事件B互為逆事件,又稱事件且SBA與事件B互為對立事件2運算規(guī)則交換律BA結合律CC分配律B)(AA徳摩根律B3頻率與概率定義在相同的條件下,進行了N次試驗,在這N次試驗中,事件A發(fā)生的次數(shù)稱為AN事件A發(fā)生的頻數(shù),比值稱為事件A發(fā)生的頻率A概率設E是隨機試驗,S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實數(shù),記為P(A),稱為事件的概率1概率滿足下列條件(1)非負性對于每一個事件A10P(2)規(guī)范性對于必然事件S(3)可列可加性設是兩兩互不相容的事件,有NA,21(可以?。㎞KKNKPA112概率的一些重要性質(I)0(II)若是兩兩互不相容的事件,則有(可以?。㎞A,21NKKNKAP11(III)設A,B是兩個事件若,則,BBAP(IV)對于任意事件A,1(V)(逆事件的概率)1P(VI)對于任意事件A,B有ABP4等可能概型(古典概型)等可能概型試驗的樣本空間只包含有限個元素,試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含K個基本事件,即,里21KIIIEE個不同的數(shù),則有中某,是,KKN2,1II,21中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)S1JAEPJI5條件概率(1)定義設A,B是兩個事件,且,稱為事件A發(fā)生的0AP|PBA條件下事件B發(fā)生的條件概率(2)條件概率符合概率定義中的三個條件1。非負性對于某一事件B,有0|2。規(guī)范性對于必然事件S,1|AP3可列可加性設是兩兩互不相容的事件,則有,2111IIIABPP(3)乘法定理設,則有稱為乘法公式0|BAP(4)全概率公式NIIIBPA1|貝葉斯公式NIIIKKKA1|6獨立性定義設A,B是兩事件,如果滿足等式,則稱事件A,B相互獨BP立定理一設A,B是兩事件,且,若A,B相互獨立,則0PBPA|定理二若事件A和B相互獨立,則下列各對事件也相互獨立A與與,與,第二章隨機變量及其分布1隨機變量定義設隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實值單值函XES數(shù),稱為隨機變量XE2離散性隨機變量及其分布律1離散隨機變量有些隨機變量,它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個,這種隨機變量稱為離散型隨機變量滿足如下兩個條件(1),(2)1KPXXP0KP1KP2三種重要的離散型隨機變量(1)分布01設隨機變量X只能取0與1兩個值,它的分布律是,則稱X服從以P為參數(shù)的分布或,KPK1PP(,)(01兩點分布。(2)伯努利實驗、二項分布設實驗E只有兩個可能結果A與,則稱E為伯努利實驗設A,此時將E獨立重復的進行N次,則稱這一串重復的1P0P(P1P獨立實驗為N重伯努利實驗。滿足條件(1),(2)1注意N2,0KQKXN,0KP1KP到是二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項,我們稱隨機變量X服從參數(shù)KNQPNP)(K為N,P的二項分布。(3)泊松分布設隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,而取各個值的概率為其中是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記,210,KEP0為)(3隨機變量的分布函數(shù)定義設X是一個隨機變量,X是任意實數(shù),函數(shù)X,PXF稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù),具有以下性質1是一個不減函數(shù)(2)PXF(3)1,010F,且是右連續(xù)的即,0XFX4連續(xù)性隨機變量及其概率密度連續(xù)隨機變量如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F(X),存在非負可積函數(shù),使XF對于任意函數(shù)X有則稱X為連續(xù)性隨機變量,其中函數(shù)FX稱為X,DTFFX)(的概率密度函數(shù),簡稱概率密度1概率密度具有以下性質,滿足(1);F12,0DXFF(3);(4)若在點X處連續(xù),則有21XDFXXPF,F(xiàn)2,三種重要的連續(xù)型隨機變量1均勻分布若連續(xù)性隨機變量X具有概率密度,則成X在區(qū)間A,B上服,其他,0AB1BXXF從均勻分布記為),(BAU2指數(shù)分布若連續(xù)性隨機變量X的概率密度為其中為常數(shù),則稱,其他,00E1XF0X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。(3)正態(tài)分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,)XEXFX212的正態(tài)分布或高斯分布,記為,服從參數(shù)為為常數(shù),則稱(,其中0),(2N特別,當時稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布1,5隨機變量的函數(shù)的分布定理設隨機變量X具有概率密度又設函數(shù)處處可導且恒有,XF,XG,則Y是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為0,XGG其他,,YHYFYFXY第三章多維隨機變量1二維隨機變量定義設E是一個隨機試驗,它的樣本空間是和是定義在SXESYE上的隨機變量,稱為隨機變量,由它們構成的一個向量(X,Y)叫做二維隨機E變量設(X,Y)是二維隨機變量,對于任意實數(shù)X,Y,二元函數(shù)稱為二維隨機變量(X,Y)的PYXPYXF,記成),(分布函數(shù)如果二維隨機變量(X,Y)全部可能取到的值是有限對或可列無限多對,則稱(X,Y)是離散型的隨機變量。我們稱為二維離散型隨機變量(X,Y)的,2,1JIYYJJIPXP分布律。對于二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù),如果存在非負可積函數(shù)),(YXFF(X,Y),使對于任意X,Y有則稱(X,Y)是連續(xù)性,),(),(YDUVFF的隨機變量,函數(shù)F(X,Y)稱為隨機變量(X,Y)的概率密度,或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度。2邊緣分布二維隨機變量(X,Y)作為一個整體,具有分布函數(shù)而X和Y都是隨),(YXF機變量,各自也有分布函數(shù),將他們分別記為,依次稱為二維隨機變量)(,XXY(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布函數(shù)。,2,1IXPP1JII,2,1JYPP1IIJJ分別稱為(X,Y)關于X和關于Y的邊緣分布律。IJ分別稱,DYXFF),DXYFYFY),XFX為X,Y關于X和關于Y的邊緣概率密度。YY3條件分布定義設(X,Y)是二維離散型隨機變量,對于固定的J,若,0JYYP則稱為在條件下,21,IPYYPXXYXPJJIJIJ隨機變量X的條件分布律,同樣為在條件下隨機變量X,JXXYYIIJIJIXX的條件分布律。設二維離散型隨機變量(X,Y)的概率密度為,(X,Y)關于Y的邊緣概,YXF率密度為,若對于固定的Y,0,則稱為在YY的條件下X的條件YFYFFY概率密度,記為XFYX,FY4相互獨立的隨機變量定義設及,分別是二維離散型隨機變量(X,Y)的分布),(YXFXXFY函數(shù)及邊緣分布函數(shù)若對于所有X,Y有,即YPY,XXXP,則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。,YXXY對于二維正態(tài)隨機變量(X,Y),X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)05兩個隨機變量的函數(shù)的分布1,ZXY的分布設X,Y是二維連續(xù)型隨機變量,它具有概率密度則ZXY仍為連續(xù)性,YXF隨機變量,其概率密度為或DYZFZFYX),DXZFZYX),又若X和Y相互獨立,設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為則YXY和這兩個公式稱為DYFZFZFY()DZFXZFYX)的卷積公式YX,有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2,的分布的分布、XYZZ設X,Y是二維連續(xù)型隨機變量,它具有概率密度,則,YXFXYZ,仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為DZFZFXY,又若X和Y相互獨立,設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別DXZFZFXY,1為則可化為,YFXYDXZFFYYDXZFZFX1X3的分布及,,MINNAXYM設X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,它們的分布函數(shù)分別為由于,YFXYX不大于Z等價于X和Y都不大于Z故有A,又由于X和Y相互獨立,得到的分布函Z,PXZMYXMAX,M數(shù)為MAXFY的分布函數(shù)為,INN11MINZFZYX第四章隨機變量的數(shù)字特征1數(shù)學期望定義設離散型隨機變量X的分布律為,K1,2,若級數(shù)絕KPXP1KPX對收斂,則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學期望,記為,即1KPXXEIXE設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,若積分絕對收斂,則稱積XFDXF分的值為隨機變量X的數(shù)學期望,記為,即DXFXEXF定理設Y是隨機變量X的函數(shù)YG是連續(xù)函數(shù)G(I)如果X是離散型隨機變量,它的分布律為,K1,2,若KPPX絕對收斂則有KKPXG1)EGKK1)(II)如果X是連續(xù)型隨機變量,它的分概率密度為,若絕對收斂則XFDXFG有YEGDXF數(shù)學期望的幾個重要性質1設C是常數(shù),則有CE2設X是隨機變量,C是常數(shù),則有XE3設X,Y是兩個隨機變量,則有;YY4設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有2方差定義設X是一個隨機變量,若存在,則稱為X的方2XE2E差,記為D(X)即D(X),在應用上還引入量,記為,XDX稱為標準差或均方差。222E方差的幾個重要性質1設C是常數(shù),則有,0CD2設X是隨機變量,C是常數(shù),則有,C2XDDXC3設X,Y是兩個隨機變量,則有特別,若X,Y相互獨立,則有EY2EYYDD4的充要條件是X以概率1取常數(shù),即0XX1XP切比雪夫不等式設隨機變量X具有數(shù)學期望,則對于任意正數(shù),不等式2E成立2P3協(xié)方差及相關系數(shù)定義量稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差為,即YEXE,YXCOV,EYXCOV而稱為隨機變量X和Y的相關系數(shù)D),對于任意兩個隨機變量X和Y,,2_YXCOVD協(xié)方差具有下述性質1,YXABOVCOVVYCOV2,2121YXX定理1Y2的充要條件是,存在常數(shù)A,B使X1BXAYP當0時,稱X和Y不相關XY附幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學期望方差兩點分布10P,1,01KPKXPP1二項式分布N,NCKNKN,N泊松分布0,210,KEXP幾何分布1P,1PP12均勻分布BA,其他0,BXABXFBA12指數(shù)分布0其他,01XEXF2正態(tài)分布2XEXF2第五章大數(shù)定律與中心極限定理1大數(shù)定律弱大數(shù)定理(辛欣大數(shù)定理)設X1,X2是相互獨立,服從統(tǒng)一分布的隨機變量序列,并具有數(shù)學期望作前N個變量的算術平均,則對于任意,KEKNKX1,有011LIMNKNP定義設是一個隨機變量序列,A是一個常數(shù),若對于任意正數(shù),有NY,21,則稱序列依概率收斂于A,記為LIAYNNNY,21AYPN伯努利大數(shù)定理設是N次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),P是事件A在每次試AF驗中發(fā)生的概率,則對于任意正數(shù)0

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