線性代數(shù)期末考試試題及答案

20052006學(xué)年第一學(xué)期一填空題（每小題3分，共15分）1013215202若階方陣A的秩,則0NRNA3設(shè)，是5階方陣，且3,則基礎(chǔ)解系中含2個(gè)解向量0XR4若階矩陣的特征值為，則125設(shè)是對(duì)稱陣的兩個(gè)不同的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，則021,A21,P,21P二選擇題（每小題3分，共15分）1若為3階方陣，且，則C2A4416162設(shè)為階方陣，滿足等式，則必有（）BA,NOB或或O0OBA03設(shè)元線性方程組，且，則該方程組NBXANBAR,有無(wú)窮多解有唯一解無(wú)解不確定4設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（A）A組成單位正交向量組B都是單位向量C兩兩正交D必含零向量5若二次型為正定,則對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣A的特征值FX都大于0；都大于等于0；可能正也可能負(fù)都小于0三（8分）計(jì)算行列式的值21D解21234314210555RRR四（8分）設(shè)，求1023A1A解E102021R（或用伴隨矩陣）13201R21A五（8分）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解032414321XX解321A01021通解方程組，基礎(chǔ)解系，通解為，（04321X01221K為任意常數(shù)）21,K六8分已知向量，求向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)3211253關(guān)組，并把其余向量用極大線性無(wú)關(guān)組表示解5132,21A20101012極大無(wú)關(guān)組，且21,2七（10分）討論取何值時(shí)，非齊次線性方程組2321321XX1有唯一解；2無(wú)解；3有無(wú)窮多解解法1312A（）當(dāng)且時(shí)，有，方程組有惟一解；030A（）當(dāng)時(shí)，931260321，所以無(wú)解；32AR（）當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解001AR法2220111A200113八（8分）用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可312321324,XXXF逆的線性變換（或上屆題）解，23231232164,XXF232316令，即，所以，32XY32YX3213210YX變換矩陣標(biāo)準(zhǔn)形,10C0C23216YF九（10分）求矩陣的特征值與最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量4032A解，特征值12E1,4321當(dāng)時(shí)，解得，的對(duì)應(yīng)于42104XEA0112A的全體特征向量為，）21221K21K十（每小題5分，共10分）1設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，討論向量組的線性相關(guān)性321,12123,解令即1230,KK123K因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以有，321,12330K由于方程組只有零解，故線性無(wú)關(guān)。12123,設(shè)為滿足等式的矩陣，證明A可逆，并求AOEA321解32123E所以A可逆，且1220082009學(xué)年第一學(xué)期A卷一、填空題（共75分每空3分）1設(shè)，則6，3102AA1/361/02A362得分2,210320112584323行列式18，行列式_12_6322014兩個(gè)向量的內(nèi)積為3，夾角為,21,016/把用施密特正交化方法得21，0,/121）（，5若向量，則用組合的表達(dá)式是3,742121,216向量組的線性相關(guān)性為3,0,1,0432線性相關(guān)，它的秩是37已知向量組11,0,0,22,5,2,31,5,K線性相關(guān),則K_2_8若3階方陣A的三個(gè)根分別是1，2，3，則方陣A的行列式69設(shè)矩陣A，則矩陣A的秩為2，線性方程組001的基礎(chǔ)解系的向量個(gè)數(shù)為3OXA10給定線性方程組,2321321XX）（則當(dāng)1且0時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)1時(shí)方程組有無(wú)窮解；當(dāng)0時(shí)方程組無(wú)解11矩陣的特征值為2、1，對(duì)應(yīng)于特征值的12A1特征向量為0,1K12設(shè)設(shè)方陣滿足,則_AEA113二次型的矩陣的系數(shù)矩陣為232212321,XXXXF，該二次型為正定二次型0二、計(jì)算題（共5分）設(shè)矩陣A,求矩陣X,使12EAX2解由AXA2E得21352033142即523X三、計(jì)算題（共6分）已知向量組12,34,12,41求向量組的一組極大線性無(wú)關(guān)組,并把其余向量用此組向量表示4321，出來(lái)姓名學(xué)號(hào)系別年級(jí)專業(yè)密封線內(nèi)不答題密封線線得分得分解01213424321R，由此可知,為一組極大線性無(wú)關(guān)向量組,421，3四、計(jì)算題（共6分）求非齊次線性方程組的通解22431XX解增廣矩陣210RB還原成線性方程組12431X可得方程組通解為,為任意常數(shù)2021021432CX1C五、限選題（共8分）（經(jīng)管類學(xué)生可選做第1、2小題中的一題，理工類學(xué)生僅限做第2小題）1理工類學(xué)生不做此小題已知二次型，312321XXFA）出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣AB）用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，C寫出相應(yīng)的可逆線性變換矩陣。解A）210AB223132321XXXF得分得分令321XY即有變換,321YX3213210YX把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型21221F21YXFC對(duì)應(yīng)變換矩陣20P2（理工類學(xué)生必做此小題）已知二次型的秩為2,212321XXAFA寫出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣,并求參數(shù)AB求出二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值C求正交變換，把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形（不寫正交變換）PYX解A）2301A1,2ARB解特征方程，得2EA3201，C）分別解方程組，得單位特征向量,IOXI）（，；021P022P103P及正交矩陣，正交變換2P1020PYX把二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)型123YF20082009學(xué)年第一學(xué)期B卷一、填空題（共66分每空3分）1設(shè)矩陣，則行列式6，3021A201BAA12，1/6，361A2設(shè),則,20A98765431BB825876143BA,186423設(shè)是三階方陣,則A88，0其中13121AAA13123132AAAA為的代數(shù)余子式IJIJ4，它的第3行第2列元素0的代數(shù)余子式202A323/11得分的伴隨矩陣A20365向量與向量，則向量的長(zhǎng)度,夾角），（1），（12的與，436向量，則向量組的秩等于2），（21），（34），（321，該組向量線性相關(guān)7設(shè),則120AB321XX當(dāng)2時(shí)，線性方程組有唯一解；BA當(dāng)時(shí)，線性方程組的解為任意常數(shù)1XK,138設(shè)，是階矩陣，2，則基礎(chǔ)解系中含有3個(gè)解向量0XA54AR9設(shè)是對(duì)稱陣的兩個(gè)不同的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，則021,21,P,21P10設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值分別為，則矩陣為負(fù)定定矩陣，3，A6；多項(xiàng)式，則55A2XFF二、選擇題（共14分每空2分）1設(shè)元線性方程組，且，則該方程組BNBXANBAR,無(wú)解有唯一解有無(wú)窮多解不確定2設(shè)元線性方程組，且，則該方程組的解由A個(gè)向O1量構(gòu)成有無(wú)窮多個(gè)1不確定KN3設(shè)為階方陣，滿足等式，則必有（B）BA,NA得分或或OAB0ABOBA04設(shè)為階方陣，滿足等式，則必有（D）,NOAR0BRNBRAB5設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（C）A可能不正交B有非單位向量C組成單位正交向量組C必含零向量6階方陣的行列式,則的列向量（A）N0A線性相關(guān)線性無(wú)關(guān)0R0R7階方陣的行列式是矩陣可逆的（C）充分條件必要條件充要條件無(wú)關(guān)條件三、計(jì)算題（共6分）向量，），（21），（21），（123請(qǐng)把向量組表示成向量組的線性組合3,0301），（1，321，解4042214321R，由此可知321224姓名學(xué)號(hào)系別年級(jí)專業(yè)密封線內(nèi)不答題密封線線得分四、計(jì)算題（共6分）非齊次線性方程組當(dāng)取何值時(shí)（1）無(wú)解；（2）有唯一解；321321X（3）有無(wú)窮解，并相應(yīng)的通解解方程組的系數(shù)矩陣的行列式21A21A（1）當(dāng)時(shí)，方程有唯一解；121且（2）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解；1（3）當(dāng)時(shí)，增廣矩陣，可得方程組有無(wú)窮多解0RB通解為21012CX五、計(jì)算題（共8分）試求一個(gè)正交的相似變換矩陣,把矩陣化為對(duì)角矩陣210A解解特征方程，得特征值30EA3，解方程,得相應(yīng)的特征向量,1OX11021CCX021CC得分得分解方程,得相應(yīng)的特征向量,1OXA310CX令，121012P，2103，正交相似變換，2210P301AP20082009學(xué)年第一學(xué)期C卷一、填空題（共60分每空3分）1行列式28，它的第2行第3列元素1的代數(shù)余子式2323A2若為3階方陣，且，則16，BA，ABAB4，1/213設(shè),則,210A20BBA42011A1024設(shè)是階方陣,，則3得分3,013121AAAA2312121AAAA5向量與向量，則夾角，），（0），（0的與6向量，則向量組的秩等于2），（1），（2），（3321，該組向量線性相關(guān)7設(shè),則20A1B321XX當(dāng)0時(shí)，線性方程組有唯一解；BA當(dāng)時(shí)，線性方程組的解（1，1，0）。8設(shè)，是階矩陣，基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，則3XA43AR9設(shè)是對(duì)稱陣的兩個(gè)不同的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量，則021,21,P,21P10設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的三個(gè)特征值分別為，則矩陣為正定矩陣,的A3，行列式611二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣為,該矩陣32321321,XXXF10A的最大特征值是2,該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是,1C二、選擇題（共20分每空2分）1設(shè)元線性方程組，且，則該方程組BNBXA1,NR有唯一解有無(wú)窮多解無(wú)解不確定2設(shè)元線性方程組，且，則該方程組的基礎(chǔ)解系由COK個(gè)向量構(gòu)成有無(wú)窮多個(gè)有唯一個(gè)不確定N3設(shè)矩陣，為階方陣，滿足等式，則下列錯(cuò)誤的論述是（BBA,CNA）得分矩陣的行向量由矩陣的行向量線性表示；A矩陣的列向量由矩陣的列向量線性表示；CBA矩陣的行向量由矩陣的行向量線性表示4設(shè)矩陣，為階方陣，滿足等式，則下列關(guān)于矩陣秩的論述正確的是,NCAB（D）CRARNBRA5設(shè)P為正交矩陣，則P的列向量（C）A可能不正交B有非單位向量C組成單位正交向量組C必含零向量6階方陣的乘積的行列式,則的列向量（B）NB，5AB方陣的列向量線性相關(guān)方陣的列向量線性無(wú)關(guān)5ARNR7階方陣的行列式是齊次線性方程組有非零解的（C）注此N0OX空得分值為2分充分條件必要條件充要條件無(wú)關(guān)條件三、計(jì)算題（共6分）向量，請(qǐng)把向量表示成向），（21），（21），（123），（01量組的線性組合3，解解方程21902191,1321AX知即3即1321四、計(jì)算題（共6分）姓名學(xué)號(hào)系別年級(jí)專業(yè)密封線內(nèi)不答題密封線線得分得分求非齊次線性方程組的通解2424321XX解增廣矩陣210RB還原成線性方程組12431X可得方程組通解為,為任意常數(shù)021021432CX1C2五、計(jì)算題（共8分）用配方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆32123213214,XXXXF的線性變換解2233213216,F）（）（令321XY得3231YX即有可逆線性變換23213210YX把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形32123213