偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)課件

1、偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)三、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法 1、偏增量的概念、偏增量的概念),(00yx),(yxfz 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)當(dāng) 從從 取得改變量取得改變量0 xxx ),0( x 而而 保持不變時(shí)，函數(shù)保持不變時(shí)，函數(shù) 得到一個(gè)改變量得到一個(gè)改變量0yy zzx ),(),(0000yxfyxxf 稱為稱為 在在點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于 的偏增量的偏增量. . ),(yxfz ),(00yxxzy ),(

2、),(0000yxfyyxf 稱為稱為 在在點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于關(guān)于 的偏增量的偏增量. . ),(yxfz ),(00yxy偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué) 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有定義，并設(shè)定義，并設(shè)),(00yyxxP 為這鄰域內(nèi)的任意為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差一點(diǎn)，則稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 ),(),(0000yxfyyxxf 為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)),(00yx對(duì)應(yīng)于自變量增量對(duì)應(yīng)于自變量增量yx ,的全增的全增量，記為量，記為z ， 即即 z =),(),(0000yxfyyxxf 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)2、二元函數(shù)在點(diǎn)、二元函數(shù)在點(diǎn)(x0, y0)

3、的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)有定義，當(dāng) y 固定在固定在 y0而而 x 在在 x0處有增量處有增量 x 時(shí)，時(shí)， 如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，存在，稱此極稱此極限為函數(shù)限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). . ;),(00yxxz ;),(00yxxz;),(00yxxf ;),(00yxfx. ),(001yxf 記為記為 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)xyxfyxxfx ),(),(lim00000 0),(dd0 xxyxfx ),(00yxf

4、x注意注意: :偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì) y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為 ;),(00yxyz ;),(00yxyz;),(00yxyf ;),(00yxfy. ),(002yxf ),(00yxfy0),(dd0yyyxfy 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)3、偏導(dǎo)函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)的函數(shù)，它就稱為函數(shù)),(yxfz 對(duì)

5、對(duì)自變量自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx. 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)),(zyxfx lim0 x ), (zyf),(zyf x xx ?),( zyxfy?),( zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元以上函數(shù)如如 在在 處處對(duì)對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfz

6、yxfzz 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)4、偏導(dǎo)數(shù)求法、偏導(dǎo)數(shù)求法 (1) 求關(guān)于求關(guān)于 x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，把把 z=f (x , y) 中的中的 y 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) x 仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo)仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo). . (2) 求關(guān)于求關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，把把 z=f (x , y) 中的中的 x 看成常數(shù)，對(duì)看成常數(shù)，對(duì) y 仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo)仍用一元函數(shù)求導(dǎo)法求偏導(dǎo). .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)ln(),.xyxyz例1 設(shè)z=求zyxz )1, 0( xxzyzxxzyx2ln1 例例2 設(shè)設(shè) ，求證求證 .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzy

7、x ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立yxz )1, 0( xxzyzxxzyx2ln1 例例2 設(shè)設(shè) ，求證求證 .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)解解 法一法一 先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn)先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn). . xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 法二法二 先固定先固定 y=2 或或 x=1 ，再對(duì)再對(duì) x 或或 y 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)解法解法2:) 2, 1(xz) 2, 1(yz462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy2yz偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)),(00yxfx求求 的兩種常用方法：的兩

8、種常用方法： 法一法一 先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn)先求偏導(dǎo)數(shù)再代入具體點(diǎn). . 法二法二 先將先將然后再用關(guān)系式然后再用關(guān)系式代入代入, ),(0yxfy0),(dd),(000 xxxyxfxyxf 但但 法二法二 并不總是適用，如求并不總是適用，如求.)0 , 0(0, 00,),(222222只只能能用用定定義義求求的的xfyxyxyxxyyxf 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)yxyxyxfarcsin)1(),( . )1 , 2(, )1 ,(xxfxf例例4 設(shè)設(shè) ，求求偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)5、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：、有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分是一個(gè)整體記號(hào)，不

9、能拆分, , 即即不能不能看作看作分子分子與與分母分母的的商商. .不能看作不能看作 RTpV R1 pTTVVp例例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程 （ 為常數(shù)），求證：為常數(shù)），求證： .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)).0, 0(),0, 0(,),(:yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 (2) 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 . 0)0 , 0( yf同

10、同理理：偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)(3) 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，連續(xù)連續(xù). .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)多元函數(shù)中在某點(diǎn)連續(xù)多元函數(shù)中在某點(diǎn)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在，例如例如：函數(shù)函數(shù) 22),(yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù)， 連續(xù)連續(xù)但但

11、 )0 , 0(, )0 , 0(yxff 不不存存在在. 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)又又如如：函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù)， 且且有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff. 可見(jiàn)，二元函數(shù)可見(jiàn)，二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在和連在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)沒(méi)有必然的聯(lián)系續(xù)沒(méi)有必然的聯(lián)系. .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)6、 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上上一一點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 就是就是曲面被平面曲面被平面 所所截得的曲線在點(diǎn)截得的曲線在點(diǎn) 處處的切線的切線 對(duì)對(duì)

12、 軸的軸的斜率斜率.),(00yxfx0yy 0MxTM0 x偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) 就是就是曲面被平面曲面被平面 所所截得的曲線在點(diǎn)截得的曲線在點(diǎn) 處處的切線的切線 對(duì)對(duì) 軸的軸的斜率斜率.0 xx 0MyTM0y),(00yxfy偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義: : 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn)在點(diǎn) M0 處的切線處的切線對(duì)對(duì) x 軸的斜率軸的斜率. .在點(diǎn)在點(diǎn)M0 處的切線處的切線斜率斜率. .是曲線是曲線yxz0 xyToxT0y0M對(duì)對(duì) y 軸的軸的00),(dd00 xx

13、yxfxxfxxyy 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué) 1222xyyxz)2 , 0 , 1(例例6 求曲線求曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的處的 切線與切線與 y 軸正向夾角軸正向夾角.解解)0, 1(2)14()0 , 1( yxzy1 .43)1arctan( 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是則稱它們的偏導(dǎo)數(shù)是z = f ( x , y )的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) . .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué) xz)(yzx xzy.

14、),()(22yxfyzyzyyy 按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, , 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù): :22xz );,(yxfxx yxz 2;),(yxfyx . ),(2yxfxyzxy x 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322xzxzx z = f (x , y) 先關(guān)于先關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù) , , 再關(guān)于再關(guān)于 y 的一階偏導(dǎo)數(shù)為的一階偏導(dǎo)數(shù)為: : yyxznn 111 nnxz類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類(lèi)似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù). .定義定義：二階及

15、二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù). .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz

16、 2在在區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)說(shuō)明說(shuō)明 因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)，因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)，而初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，故求初而初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序. .定理可以推廣，例如：定理可以推廣，例如：對(duì)三元函數(shù)對(duì)三元函數(shù) u = f (x , y , z) , 當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), , 有有),(),(),(zyxfzyxfz

17、yxfyxzxzyzyx ),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué). 02222 yuxu偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)若在若在 f ( x , y ) 的表達(dá)式中將的表達(dá)式中將 x 換為換為 y ，同時(shí)，同時(shí)把把 y 換為換為 x 時(shí)，表達(dá)式不變，則稱時(shí)，表達(dá)式不變，則稱 f ( x , y ) 對(duì)對(duì) x , y 具具有有輪換對(duì)稱性輪換對(duì)稱性. .對(duì)有輪換對(duì)稱性的函數(shù)，若已經(jīng)求得對(duì)有輪換對(duì)稱性的函數(shù)，若已經(jīng)求得 ，則，則只要在只要在 的表達(dá)式中將的表達(dá)式中將 換為換為 ，同時(shí)把，同時(shí)把換為換為 即可得到即可得到 . .xyyxxf xf yf 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué). 02222

18、 yuxu偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)222),(zyxzyxu 例例 設(shè)設(shè) ，求求,22xu ,22yu .22zu 函數(shù)的輪換對(duì)稱性可推廣到三元以上的函數(shù)函數(shù)的輪換對(duì)稱性可推廣到三元以上的函數(shù) . .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)

19、（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）三、小結(jié)三、小結(jié)偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點(diǎn)在 點(diǎn)),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)yxztanln , ,則則 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _

20、 _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè) xzyxezxy則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; yz_ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 設(shè)設(shè),zyxu 則則 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 設(shè)設(shè),arctanxyz 則則 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 22yz_ _ _ _ _ _ _ _; ; yxz2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí) 題題偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué) 5

21、 5、設(shè)、設(shè)zyxu)( , ,則則 yzu2_. .二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、yxyz)1( ； 2 2、zyxu)arctan( . .三、三、 曲線曲線 4422yyxz, ,在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)(2,4,5)處的切線與正向處的切線與正向x軸所成的傾角是多少軸所成的傾角是多少? ?四、四、 設(shè)設(shè)xyz , ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、設(shè)五、設(shè))ln(xyxz , ,求求yxz 23和和23yxz . .偏導(dǎo)數(shù)同濟(jì)大學(xué)六、六、 驗(yàn)證驗(yàn)證: : 1 1、)11(yxez , ,滿足滿足zyzyxzx222 ； 2 2、222zyxr 滿足滿足 rzzryrxr 222222. . 七、設(shè)七、設(shè) 0, 00,arctanarctan