排列組合基礎(chǔ)知識(shí),

1、排列組合基礎(chǔ)知識(shí)一、兩大原理1. 加法原理（1）定義：做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中有 片中不同的方法，第二類方法中有 門2種不同的方法 第n類方法中nn種不同的方法，那么完成這件事共有 N = n 1 - n? n*種 不同的方法。（2）本質(zhì)：每一類方法均能獨(dú)立完成該任務(wù)。（3）特點(diǎn)：分成幾類，就有幾項(xiàng)相加。例1.從甲地到乙地，可以乘動(dòng)車，也可以乘汽車；一天中動(dòng)車有 3班，汽車有2班，那么一天 中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種方法？如上圖，從甲地到乙地共有 3+2種方法。2. 乘法原理（1）定義做一件事，完成它需要 n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有 葉中不同的方法，做第二個(gè)步驟

2、有 m2種不同的方法 做第n個(gè)步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有 N二種不 同的方法。（2）本質(zhì)：缺少任何一步均無法完成任務(wù)，每一步是不可缺少的環(huán)節(jié)。（3）特點(diǎn)：分成幾步，就有幾項(xiàng)相乘。例2.從甲地到乙地，要先從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地，一天中火車2班，汽車3班。那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的方法？解：由上圖可知共有的可能路線為：火車 1汽車1，火車2汽車1 火車1汽車2，火車2汽車2 火車1汽車3，火車2汽車3所以共有2 48種方式。二、排列組合1. 排列（1）排列的定義：從n個(gè)不同的元素中，任取 m個(gè)（m乞n）元素，按照一定的順序排成一列， 叫做從n

3、個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。（2）使用排列的三條件 n個(gè)不同元素； 任取m個(gè)； 講究順序。2. 組合（1）組合的定義：從n個(gè)不同的元素中，任取 m個(gè)（m乞n ）元素并為一組，叫做從n個(gè)不同的 元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。（2）使用三條件 n個(gè)不同元素； 任取m個(gè)； 并為一組，不講順序。排列與組合的共同點(diǎn)：都是“從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素”； 排列與組合的不同點(diǎn)：排列與元素的順序有關(guān)系，而組合與元素的順序無關(guān)。 也就是說：組合是選擇的結(jié)果，而排列是選擇后再排列的結(jié)果。3排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中，任取m個(gè)（m乞n）元素所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不 同的元素中取出m個(gè)元素的排列

4、數(shù)，記為Am。例1.從甲、乙、丙三個(gè)中任取2個(gè)人分別參加明天上午和下午的比賽。問共有多少種方式？解：由上圖可知，共有6種方式。需要注意：此題相當(dāng)于從3個(gè)不同的元素中任取2個(gè)元素，并按一定的順序排列，所有共有的排 列數(shù)為A，即A = 6 = 3 2，其中上標(biāo)2是相乘的項(xiàng)數(shù)，下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng)3,而且之后的每項(xiàng)總是比前一項(xiàng)少1。例2.從a,b,c,d四個(gè)元素中任取2個(gè)排成一列共有多少種可能？解所以的可能排列為：ab,ba,ac,ca,ad,da,bc,cb,bd,db,cd,dc. 共有 12 種，即 a： =12=4 3， 其中上標(biāo)2是相乘的項(xiàng)數(shù)，下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng)4,而且之后的每項(xiàng)

5、總是比前一項(xiàng)少 1。例3.從a,b,c,d四個(gè)元素中任取3個(gè)排成一列共有多少種可能？解所以的可能排列為： abc,acb,bac,bca,cab,cba, abd,adb,bad,bda,dab,dba,acd,adc,cad,cda,dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24種，即a3 24 4 3 2，其中上標(biāo)3是相乘的項(xiàng)數(shù)，下標(biāo)是相乘中的最大那一項(xiàng)4，而且之后的每項(xiàng)總是比前一項(xiàng)少1由上面的規(guī)律可以得出下面排列數(shù)的計(jì)算公式=n(n-1)(n-2).(n-m+1) =!，其中上標(biāo) m表示相乘的項(xiàng)數(shù)，(n -m)!其中 n!二 n(n -1)2 1 0尤其：A01

6、, An =n,Anj 二 n!。5組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同的元素中，任取 m個(gè)(m乞n )元素所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不 同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，記為cn" o例4.從甲、乙、丙三個(gè)中任取2個(gè)人參加某項(xiàng)比賽。問共有多少種方式?解：可能的組合為：甲乙，要注意：此題相當(dāng)于從=3 o這個(gè)結(jié)果與例1rtn甲丙，乙丙。所以共有 3個(gè)不同的元素中任取 比較發(fā)現(xiàn)3種2個(gè)元素并成一組，所有共有的組合數(shù)為 C32，即解所以的可能排列為：ab,ac,ad,bc,bd,cd. 共有6種，即C： = 6。這個(gè)結(jié)果與例2比較發(fā)現(xiàn)共有多少種可能?C；_q_3 2 _ A；3o2 1 A例2.從a,b,c,d四個(gè)元素中任取2個(gè)并成一組,C：64 3 _ A22 1 一 A；解所以的可能排列為：abc,abd,acd,bcd。共有4種，即c：=4。這個(gè)結(jié)果與例3比較發(fā)現(xiàn)例6.從a,b,c,d四個(gè)元素中任取3個(gè)并成一組，共有多少種可能?C43 =4 二4 3 2 A3 2 1 A；o由上面的規(guī)律可以得出下面組合數(shù)的計(jì)算公式尤其：C0=1,cX n,C>1,Cn=C；我們這本書用m表示Cnm 下面3題要求學(xué)解題過程1. 甲、乙、丙、丁 4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽，(1)列出所有各場(chǎng)比賽的上方；(2)列出所有冠軍的可能情況。2. 由0,1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)沒有重