不等式中的三角代換

1、精品資源歡迎下載適合高三年級不等式中的三角代換在解證不等式的問題中，若根據(jù)不等式的特點以及三角函數(shù)的有界性和三角函數(shù)基 本關系式，巧用三角代換，能使問題大大簡化，起到事半功倍的效果，下面試舉幾例說 明。例 1.已知 m2+n2 = 2, x2+y2 = 2,求證y'6wmx+nyw J6。解析：: m2+n2= 2, x2+y2= 2，可設 m=，2 sin c( , n= J2 cosot , x = sin P , y= V3cos Pmx+ny = , 6 sin、工 sin I ： + 6 cos。】 cos l ：1 = 6 cos(: - -),一 1< cos(ot

2、 - P)<1,6 0 浜 cosQ - P) < 展,即一< 6 & mx+ny & < 6。 O O一. 。1例 2.已知 a2+b2< 1,求證 I a3b ab3 I W 一。4解析：a2+b2< 1,，可設 a= msin a , b= mcosa , | m | < 1I a3b-ab3 I = I ab | | a2- b2 |=m2 | sin a cosa I I m2 (cos2a - sin2a ) |4sin 4a |I sin 2a cos2a | =2例 3.若 1Wx2+y2w2,求證：<x2 xy+

3、y 2< 3o2解析：設 x = r cos日,y= r sin 日，(1< r< e,0w 日 <2 兀)sin2 )1' x2 xy+y 2= r2 cos" r cos®r sin 8 + r 2sin2 = r2 (1 21 wr2 (1 1 sin29 ) < 3, 221 < 1- 1 sin29 < 3 , 1<r2<2, 222一 1cc即一w x2-xy+y2< 3。2例 4.求證1 & x+ v11 -x2 < V2 o解：-.1 1x2>0, 1WxW1, .,.設

4、 x=cos , 6 £ 0 0,n則 y= x+ V1 - x2 = cos +sin 日=V2 sin ( 6 +),4HT9 ： 0,冗,.日 + 二 C掌，sin®：)'-1, . J2sin ( 6 +三)C 1, V2 , - 1 & x+ 出x2 & 72。4例 5.已知 a>0, b> 0, a+b= 1,求證：(a+1) ( b+a b 4解析：a>0, b>0, a+b=1,，可令 a= sin2a , b=cos2o(, 口 £0,一，112121于是有(a+ ) ( b+ )= ( sin o

5、t + 2- ) ( cos a +2)a bsin .工cos :.4 .4 _. 4 .4 .sin - cos / ' sin cos / 1 1=-sin - cos -.4422、222sin 二 cos ;，(sin 二 ，cos ：) - 2sin 二 cos 二，1.2 .2 一sin - cos -sin4 2： 8sin22：32 (sin2 2： -4)2 16=2=24sin 2：4 sin 2二,0<sin22o( <1, . (sin22c(4) 2+16>25,又 12> 14sin 2：4(sin2*4)、16 1 ,即(a+二)

6、4 sin 2工4a(b+1)>25。b 4例 6.設 x, yCR, 3x2+2y2=6x,求 x2+y2 的最值。2解析：將3x2+2y2=6x化為（x1） 2+ = 1,這是一個橢圓方程，引入?yún)?shù) 8,令32x = 1+ cos 8y = sin 9( 0 w B v 2 n)，于是x2+y2= ( 1+ cos 8 ),3_212(Vising) =- 2(cos廿-2)0W日2n ,當日=0和n時，x2+y2有最小值0,最大值4。例7.解不等式V5一 x -Vx;M > 12解：因為"5 x)2 +(Jx、1)2=6,故可令 J5 x = J6 sin 0 , Jx +1 = J6 cos 0 , 0 ： 0,'1則原不等式化為66 sin Q - 66 cos Q > 2所以 66 sin 6 >1+76 cos2由 e e o,二知 1 + 76 cos e >o, 22 '將上式兩邊平方并整理，得48 cos 2 8+4 46 cos 日-23&