【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：2.3.1直線與平面垂直的判定學(xué)案設(shè)計 新人教A版必修2

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料第二章點、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探究直線與平面垂直的判定定理,培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2.掌握直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.讓學(xué)生明確直線與平面垂直在立體幾何中的地位.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境日常生活中,我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識,比如,旗桿與地面的位置關(guān)系,大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系等,都給我們以直線與平面垂直的印象.問題1:如果一條直線垂直于一個平面的無數(shù)條直線,那么這條直線是否與這個平面垂直?舉例說明.二、信息交流,揭示規(guī)律問題

2、2:借助生活中垂直的含義,能不能說出直線與平面垂直的定義?問題3:如何畫直線與平面垂直?問題4:如圖,請同學(xué)們準(zhǔn)備一塊三角形的紙片,我們一起做一個試驗:過abc的頂點a翻折紙片,得折痕ad,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(bd,dc與桌面接觸).(1)折痕ad與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕ad與桌面所在的平面垂直?問題5:如何判定直線和平面平行呢?問題6:什么是斜線在平面上的射影?問題7:討論直線與平面所成的角.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例1】 如圖,已知點p為平面abc外一點,pabc,pcab,求證:pbac.【例2】 如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,求直線a1b和平面a

3、1b1cd所成的角.四、變式演練,深化提高如圖,在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,已知dc=dd1=2ad=2ab,addc,abdc.(1)求證:d1cac1;(2)設(shè)e是dc上一點,試確定e的位置,使d1e平面a1bd,并說明理由.五、反思小結(jié),觀點提煉請同學(xué)們總結(jié)下本節(jié)課所學(xué)習(xí)內(nèi)容:六、作業(yè)精選,鞏固提高課本p67練習(xí)第1,2,3題.參考答案一、問題1:在陽光下觀察直立于地面的旗桿ab及它在地面的影子bc.隨著時間的變化,盡管影子bc的位置在移動,但是旗桿ab所在直線始終與bc所在直線垂直.也就是說,旗桿ab所在直線與地面內(nèi)任意一條不過點b的直線b'c'也是垂直的.

4、二、問題2:一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,我們說這條直線和這個平面互相垂直,直線叫做平面的垂線,平面叫做直線的垂面.過一點有且只有一條直線和一個平面垂直;過一點有且只有一個平面和一條直線垂直.平面的垂線和平面一定相交,交點叫做垂足.問題3:直線和平面垂直的畫法及表示如下:如圖,表示方法為a.問題4:當(dāng)且僅當(dāng)折痕ad是bc邊上的高時,ad所在直線與桌面所在的平面垂直.如圖.所以,當(dāng)折痕ad垂直平面內(nèi)的一條直線時,折痕ad與平面不垂直,當(dāng)折痕ad垂直平面內(nèi)的兩條直線時,折痕ad與平面垂直.問題5:直線與平面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.進(jìn)一

5、步指出直線與平面垂直的判定定理的符號語言和圖形語言.符號語言為l.圖形語言為如圖,問題6:斜線:一條直線和一個平面相交,但不和這個平面垂直,這條直線就叫做這個平面的斜線.斜足:斜線和平面的交點.斜線在平面上的射影:過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影.問題7:直線與平面相交,直線與平面的相互位置類同于兩條相交直線,也需要用角來表示,但過交點在平面內(nèi)可以作很多條直線.與平面相交的直線l與平面內(nèi)的線a,b所成的角是不相等的.為了定義的確定性,我們必須找到一些角中有確定值,又能準(zhǔn)確描述其位置的一個角,所以就以由斜線與其在平面上的射影所成的銳角作為直線和平面

6、所成的角.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.特別地:如果一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角為直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角為0°的角.如圖,l是平面的一條斜線,點o是斜足,a是l上任意一點,ab是的垂線,點b是垂足,所以直線ob(記作l')是l在上的射影,aob(記作)是l與所成的角.三、【例1】 證明:過p作po平面abc于o,連接oa,ob,oc.po平面abc,bc平面abc,pobc.又pabc,bc平面pao.又oa平面pao,bcoa.同理,可證aboc.o是abc的垂心.obac.可證poa

7、c.ac平面pbo.又pb平面pbo,pbac.【例2】 解:連接bc1交b1c于點o,連接a1o.設(shè)正方體的棱長為a,因為a1b1b1c1,a1b1b1b,所以a1b1平面bcc1b1.所以a1b1bc1.又因為bc1b1c,所以bc1平面a1b1cd.所以a1o為斜線a1b在平面a1b1cd內(nèi)的射影,ba1o為直線a1b與平面a1b1cd所成的角.在rta1bo中,a1b=a,bo=a,所以bo=a1b,ba1o=30°.因此,直線a1b和平面a1b1cd所成的角為30°.四、解:(1)證明:在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,連接c1d,如圖.dc=dd1,四邊形dcc1d1是正方形.dc1d1c.又addc,addd1,dcdd1=d,ad平面dcc1d1,d1c平面dcc1d1.add1c.ad,dc1平面adc1,且addc1=d,d1c平面adc1.又ac1平面adc1,d1cac1.(2)連接ad1,ae,d1e,如圖.設(shè)ad1a1d=m,bdae=n,連接mn,平面ad1e平面a1bd=mn,要使d1e平面a1bd,需使mnd1e,又m是ad1的中點,n是ae的中點.又易知abnedn,ab=de,即e是dc