專(zhuān)升本輔導(dǎo)第9講向量代數(shù)與空間解析幾何13252

1、第第9講講 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)向量及其線性運(yùn)算算第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量積第三節(jié)第三節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程第四節(jié)第四節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量概念一、向量概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角返回返回counselling on advance

2、d mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei復(fù)習(xí)要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。（2）掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的條件。 一、向量概念一、向量概念向量向量：有向線段：有向線段.符號(hào)表示：符號(hào)表示： ， ， ， ，等，等.ababc向量的大?。洪L(zhǎng)度的值向量的大?。洪L(zhǎng)度的值.向量的方向：箭頭方向向量的方向：箭頭方向.自由向量：只研究大小與方向，與起始點(diǎn)無(wú)關(guān)自由向量：只研究大小與方向

3、，與起始點(diǎn)無(wú)關(guān).自由向量的相等：大小相等且指向相同自由向量的相等：大小相等且指向相同.向量的模：向量的長(zhǎng)度向量的模：向量的長(zhǎng)度. | |， | |aba單位向量：模為單位向量：模為1的向量的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意零向量：模等于零的向量，其方向任意.向量平行：兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反向量平行：兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反.abk個(gè)向量共面：個(gè)向量共面： k( 3)個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的個(gè)有公共起點(diǎn)的向量的k個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)個(gè)終點(diǎn)和起點(diǎn)在一個(gè)平面上在一個(gè)平面上.返回返回二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1. 向量的加減法向量的加減法加法：加法：cba abba(2) 平行四邊

4、形法則平行四邊形法則(1) 三角形法則三角形法則向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba 多個(gè)向量相加，可以按照三角形法則多個(gè)向量相加，可以按照三角形法則.負(fù)向量負(fù)向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .aa abba ba)( baba 減法減法 ：babac )(abb b cabba ba . 0)( aa特例：特例：2. 2. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法向量向量 與實(shí)數(shù)與實(shí)數(shù) 的乘積記作的乘積記作a a, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0

5、)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa aa2a21 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(abdcabm , .,例例1 1 在平行四邊形在平行四邊形abcd中，中， aab bad 試用試用 和和 表示向量表示向量 、 、 和和abmamb這里這里m是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn).mcmd設(shè)設(shè)解解 由于平行四邊形的對(duì)角線由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分互相平分, 所以所以,2amacba 即即()2,abam于是于是).(21

6、bama 因?yàn)橐驗(yàn)?mamc 所以所以).(21bamc 又因又因,2mdbdba 所以所以).(21abmd 由于由于,mdmb 所以所以).(21bamb 設(shè)設(shè) 表示與非零向量表示與非零向量 同方向的單位向量，按照向量與數(shù)同方向的單位向量，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，的乘積的規(guī)定，aeaa| .|aeaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量量同方向的單位向量.aea兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系定理定理 設(shè)向量設(shè)向量 ，那么，向量，那么，向量 平行于平行于 的充分必的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)要條件

7、是：存在唯一的實(shí)數(shù) ，使，使 .0 aba ab 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸：取空間一個(gè)定點(diǎn)：取空間一個(gè)定點(diǎn)o, ,作三條互作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以相垂直的數(shù)軸，它們都以o為原點(diǎn)且一為原點(diǎn)且一般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別般具有相同的長(zhǎng)度單位，這三條軸分別叫作叫作x軸（橫軸）、軸（橫軸）、y軸（縱軸）、軸（縱軸）、z軸軸（豎軸（豎軸););點(diǎn)點(diǎn)o叫作坐標(biāo)原點(diǎn)（或原點(diǎn)）叫作坐標(biāo)原點(diǎn)（或原點(diǎn)）. .通常取通常取x軸、軸、y軸水平放置；軸水平放置； z軸豎直放軸豎直放置，它們的正向符合右手法則置，它們的正向符合右手法則. .ozyxoxyz坐標(biāo)系可記作坐標(biāo)系可記作o；

8、 ， ， 坐標(biāo)系坐標(biāo)系ijk坐標(biāo)面坐標(biāo)面：空間直角坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面。：空間直角坐標(biāo)系中任兩軸確定的平面。xoy面、面、 yoz面、面、xoz面面. .卦限卦限：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母：坐標(biāo)面將空間分為八個(gè)卦限，用字母、表示表示. .xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限),(zyxm )0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxcxyzor向量向量 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式：rkzj yi xomr 向徑：向徑： 以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，m為終點(diǎn)的向量，例如為

9、終點(diǎn)的向量，例如 .r空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),p,q,r坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),a,b,c)0 , 0 , 0(o返回返回四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibabazzyyxx ),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 設(shè)設(shè)),(zyxaaa .)()()(kajaiaazyx （ 為實(shí)數(shù)）為實(shí)數(shù)） zzyyxxbabababa /推論：推論：),(zzyyxxbababa ;)()()(kbajbaibabazzyyxx 則則五、向量的

10、模、方向角五、向量的模、方向角1. 向量的模與兩點(diǎn)的距離公式向量的模與兩點(diǎn)的距離公式),(zyxomr 向量的模：向量的模：222|zyxomr 設(shè)有點(diǎn)設(shè)有點(diǎn) ， 則其距離為則其距離為),(111zyxa212212212)()()(|zzyyxxabab ),(222zyxb例例 求證以求證以 三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形三角形是一個(gè)等腰三角形.)3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4(321mmm解解 因?yàn)橐驗(yàn)?14)12()31()47(222221 mm同理可得同理可得, 6213232 mmmm所以所以, , 即即 為等腰三角形為等腰三角

11、形.1332mmmm 321mmm 2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦兩向量的夾角的概念：兩向量的夾角的概念：特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. , 0 a, 0 b設(shè)設(shè) aabb類(lèi)似地，可定義類(lèi)似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.),(ba ),(ab 0() 向量向量a與向量與向量b的夾角的夾角 設(shè)設(shè)非零向量非零向量 r =(x,y,z) mpqrozyx非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角方向角方向角：r r 的方向角的

12、方向角： 、 、 ,0 ,cosrx ,0 ,cosry .0 .cosrz 方向余弦方向余弦:方向余弦的特征方向余弦的特征: :222coscoscos1單位向量單位向量 的方向余弦為的方向余弦為:rere|rr ).cos,cos,(cos 例例 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn) 和和 ，計(jì)算向量，計(jì)算向量 的模、方向余弦和方向角的模、方向余弦和方向角. )2, 2 , 2(1m)0 , 3 , 1(2m21mm解解)20 , 23 , 21(21 mm);2, 1 , 1( ; 2)2(1)1(22221 mm;22cos,21cos,21cos .43,3,32 第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積數(shù)量積 向量積向量

13、積 一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積返回返回一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積實(shí)例實(shí)例 cos|sfw 1m2mfs 啟示啟示兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, , 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量. .定義定義 cos|baba ).,(ba ab cos|baba 數(shù)量積也稱(chēng)為數(shù)量積也稱(chēng)為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”. .關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba,ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b.ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos , 0 .|cos|2aaaaa 證證證證, 0cos ,2 ,2 ).0, 0

14、( ba. 0cos| baba數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：;abba （2 2）分配律：）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)：為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(baba 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbb

15、baaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式： ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為).0, 0( ba例例 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn)m(1,1,1)、a(2,2,1)和和b(2,1,2)，求，求 .amb 解解 作向量作向量ma及及mb， 就是向量就是向量ma與與mb的夾角的夾角.這里，這里， ma=(1,1,0)， mb=(1,0,1),從而從而amb ; 1100111 mbma;2011222 ma.2101222 mb代入兩向量夾角余弦的表達(dá)式，得代入兩向量夾角余弦的表達(dá)式，得.21221cos mbma

16、mbmaamb由此得由此得.3 amb二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積|foqm sin|fop 設(shè)設(shè) o為為一一根根杠杠桿桿 l的的支支點(diǎn)點(diǎn)，有有一一力力 f作作用用于于這這杠杠桿桿上上 p點(diǎn)點(diǎn)處處力力 f與與 op的的夾夾角角為為 ，力力 f對(duì)對(duì)支支點(diǎn)點(diǎn) o的的力力矩矩是是一一向向量量 m，它它的的模模 實(shí)例實(shí)例lfpqo m的方向垂直于的方向垂直于op與與f所決定的所決定的平面平面, 指向符合右手系指向符合右手系. sin|bac 定義定義關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba. 0sin| baba)(, 0

17、 ba, 0| a, 0| b證證, 0sin , 0 ba/)(0sin ba/或或0 向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：.)(cbcacba ).()()(bababa .abba （1）（2）分配律）分配律：（3）若若 為數(shù)為數(shù)： ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx , 0 kkjjii,kji , jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示

18、zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出0, 0 yxaa補(bǔ)充：補(bǔ)充：|ba 表示以表示以 a和和 b為鄰邊為鄰邊 的平行四邊形的面積的平行四邊形的面積. . xb、yb、zb不能同時(shí)為零，但允許兩個(gè)為零，不能同時(shí)為零，但允許兩個(gè)為零， zzyxbaaa 00例如，例如，abbac 解解zyxzyxbbbaaakjiba 211112 kji.35kji 例例 設(shè)設(shè) ， ，計(jì)算，計(jì)算 .)1, 1 , 2( a)2 , 1, 1( bba abc例例 已知三角形已知三角形abc的頂點(diǎn)分別是的頂點(diǎn)分別是a(1,2,3)1,2,3)、b(3,4,

19、5)(3,4,5)和和c(2,4,7)(2,4,7)，求三角形，求三角形abc的面積的面積. .解解 根據(jù)向量積的定義根據(jù)向量積的定義，三角形三角形abc的面積為的面積為aacabsabc sin|21|21acab ),2 , 2 , 2( ab),4 , 2 , 1( ac由于由于因此因此,264421222kjikjiacab 于是于是.142)6(42126421222 kjisabc第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角counselling on advanced mathe

20、matics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei 復(fù)習(xí)要求（1）會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。（2）會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。（3）了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。（4）會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei一、平面的點(diǎn)法式方程一

21、、平面的點(diǎn)法式方程如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線法線向量向量. 容易知道，平面上的任一向量均與該平面的法線向量容易知道，平面上的任一向量均與該平面的法線向量垂直垂直. 因?yàn)檫^(guò)空間任一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直因?yàn)檫^(guò)空間任一點(diǎn)可以作而且只能作一平面垂直于一已知直線，所以當(dāng)平面線，所以當(dāng)平面ii上一點(diǎn)上一點(diǎn)和它的一個(gè)法線向量和它的一個(gè)法線向量 ),(000zyxmo),(cban 為已知時(shí)，平面為已知時(shí)，平面的位置就完全確定了的位置就完全確定了. counselling on advanced mathematics

22、臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei則則 0*0 mmn設(shè)設(shè) ),(00zyxmo是平面是平面ii任一點(diǎn)任一點(diǎn)(如圖如圖). 由于由于 ),(cban , ),(0000zzyyxxmm 0)()()(000 zzcyybxxa所以所以 不垂直不垂直, 反過(guò)來(lái)，如果反過(guò)來(lái)，如果 ),(zyxm不在平面不在平面ii上上,那么向量那么向量 mm0與法線向量與法線向量 這就是平面這就是平面ii上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) m的坐標(biāo)的坐標(biāo) zyx,所滿(mǎn)足的方程所滿(mǎn)足的方程 . 從而從而 ,即不在平面即不在平面ii上上的點(diǎn)的點(diǎn)m

23、的坐標(biāo)的坐標(biāo)x，y，z不滿(mǎn)足方程不滿(mǎn)足方程. 0*0 mmnnxyzo0mmncounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei由此可知，平面由此可知，平面ii上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)x，y，z都滿(mǎn)足方程都滿(mǎn)足方程 所以方程叫做平面的所以方程叫做平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程. 例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(2, -3, 0)且以且以n=(1, -2, 3)位法線向量的平面的方程位法線向量的平面的方程. 解解 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程根據(jù)平面的

24、點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程 (x - 2) 2(y + 3) + 3z=0, 即即 x 2y + 3z 8=0 向量向量 由于方程是由平面由于方程是由平面ii上的一點(diǎn)上的一點(diǎn) ),(000zyxmo),(cban 及它的一個(gè)法線及它的一個(gè)法線確定的，確定的，counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 求過(guò)三點(diǎn)求過(guò)三點(diǎn)m1 (2, -1, 4), m2 (-1, 3, -2)和和m3 (0, 2, 3)的平面的平面的方程的方程. 解解 先找

25、出這平面的法線向量先找出這平面的法線向量 n. 由于向量由于向量n與向量與向量 31mm21mm都垂直，而都垂直，而 21mm(-3, 4, -6), 31mm=(-2, 3, -1)， 所以可取它們的向量積為所以可取它們的向量積為n： n= 3121mmmm 132643 kji= =14i + 9j k, 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求的平面的方程為根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求的平面的方程為14(x - 2) + 9(y + 1) (z 4 ) = 0, 14x + 9y z 15 = 0.counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou

26、vocational & technical college wangrongwei二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程設(shè)有三元一次方程 ax + by + cz + d = 0. 任取滿(mǎn)足方程的一組數(shù)任取滿(mǎn)足方程的一組數(shù) x0, y0, z0，即，即 a x0 + b y0+ c z0 + d = 0. 上兩式相減，得上兩式相減，得 a(x-x0 ) + b(y- y0) + c (z-z0) = 0. 由此可知，任一三元一次的圖形總是一個(gè)平面由此可知，任一三元一次的圖形總是一個(gè)平面.稱(chēng)方程稱(chēng)方程 ax + by + cz + d = 0. 平面的一般方程，其中平面的

27、一般方程，其中x, y, z的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo)，即的坐標(biāo)，即n=(a, b, c).counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei對(duì)于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn)對(duì)于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn). 當(dāng)當(dāng)d=0時(shí)，時(shí)，ax + by + cz = 0表示一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)的平面表示一個(gè)通過(guò)原點(diǎn)的平面.當(dāng)當(dāng)a=0時(shí)，時(shí)，by + cz + d = 0，法線向量，法線向量

28、n(0, b, c)垂直于垂直于x軸，軸，其表示一個(gè)平行于其表示一個(gè)平行于x軸的平面軸的平面. 同樣，方程同樣，方程ax + cz + d = 0和和ax + by + d = 0，分別表示一，分別表示一個(gè)平行于個(gè)平行于y軸和軸和z軸的平面軸的平面. 當(dāng)當(dāng)a=b=0時(shí)，時(shí)，cz + d=0或或z=dc垂直垂直x軸和軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于軸，方程表示一個(gè)平行于xoy面的平面面的平面. ，法線向量法線向量n(0, 0, c)同時(shí)同時(shí)counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical col

29、lege wangrongwei例例 求通過(guò)求通過(guò)x軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)(4, -3, -1)的平面的方程的平面的方程. 解解 由于平面通過(guò)由于平面通過(guò)x軸，從而它的法線向量垂直于軸，從而它的法線向量垂直于x軸，于是軸，于是法線向量在法線向量在x軸上的投影為零，軸上的投影為零， 即即a=0；又由平面通過(guò)；又由平面通過(guò)x軸，軸，它必通過(guò)原點(diǎn)，于是它必通過(guò)原點(diǎn)，于是d=0. 因此可設(shè)這平面的方程為因此可設(shè)這平面的方程為 by + cz = 0. 又因這平面通過(guò)點(diǎn)又因這平面通過(guò)點(diǎn)(4, -3, -1)，所以有，所以有 -3b c = 0, 或或 c = -3b.以此代入所設(shè)方程并除以以此代入所設(shè)方程并除以

30、b(b 0)，便得所求的平面方程為，便得所求的平面方程為 y 3z = 0. counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 設(shè)一平面與設(shè)一平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為軸的交點(diǎn)依次為p(a, 0, 0)、q(0, b,0)、r(0, 0, c)三點(diǎn)三點(diǎn)(見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖)，求這平面的方程，求這平面的方程(其中其中 a 0, b 0, c 0). 解解 設(shè)所求平面的方程為設(shè)所求平面的方程為 ax + by + cz+d = 0 因因p(a, 0,

31、0)、q(0, b, 0)、r(0, 0, c)三點(diǎn)都在三點(diǎn)都在這平面上，所以點(diǎn)這平面上，所以點(diǎn)p、q、r的坐標(biāo)都滿(mǎn)足的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程；即有方程；即有 , 0, 0, 0adccdbbda得得a=- ad，b=- bd，c=- cdxyzocounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei. 1 czbyax 本方程叫做平面的截距式方程，而本方程叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做依次叫做平面在平面在x、y、z軸上的截距軸上的截距.故所求的平面方

32、程為故所求的平面方程為 counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角通常指銳角)稱(chēng)為稱(chēng)為兩平面的夾角兩平面的夾角.設(shè)平面設(shè)平面ii1和和ii2的法線向量依次為的法線向量依次為n1=(a1, b1, c1)和和n2=(a2, b2, c2),那么那么 222222212121212121coscbacbaccbbaa 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列

33、結(jié)論：從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論： ii1、ii2互相垂直相當(dāng)與互相垂直相當(dāng)與 0212121ccbbaa ii1、ii2互相平行或重合的相當(dāng)于互相平行或重合的相當(dāng)于 212121ccbbaacounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 求兩平面求兩平面xy + 2z 6 = 0和和2x + y + z 5 = 0的夾角的夾角. 解解 由前公式有由前公式有211122)1(1121)1(21cos222222 因此，所求

34、夾角因此，所求夾角 3 counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例如，求點(diǎn)例如，求點(diǎn)(2,1,1)到平面到平面x+y-z+1=0的距離的距離.d= 333)1(111111121222 可利用公式，便得可利用公式，便得 點(diǎn)點(diǎn)p0 (x0 ,y0 ,z0)到平面到平面 0axbyczd的距離公式：的距離公式： 000222axbyczddabccounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou

35、vocational & technical college wangrongwei第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程 一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei復(fù)習(xí)要求（1）了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直

36、線平行、垂直。（2）會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 設(shè)兩個(gè)相交的平面設(shè)兩個(gè)相交的平面ii1 和和ii2 的方程分別為的方程分別為a1x+b1y+c1z+d1=0和和a2x+b2y+c2z+d2=0，則其交線（直線），則其交線（直線）l上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面的方程，即應(yīng)滿(mǎn)足方程組應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)平面的方程，即

37、應(yīng)滿(mǎn)足方程組 0,dzcybxa0,dzcbxa22221111y(1) 方程組方程組(1)叫做叫做空間直線的一般方程空間直線的一般方程.通過(guò)空間一直線通過(guò)空間一直線l的平面有無(wú)限多個(gè)，只要在這無(wú)限多個(gè)平面的平面有無(wú)限多個(gè)，只要在這無(wú)限多個(gè)平面中任意選取兩個(gè)，把它們的方程聯(lián)立起來(lái)，所得的方程組就表中任意選取兩個(gè)，把它們的方程聯(lián)立起來(lái)，所得的方程組就表示空間直線示空間直線l.xyzo1 2 lcounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei二、空間直線

38、的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對(duì)稱(chēng)式方程與參數(shù)方程如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就叫做這條如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量就叫做這條直線的直線的方向向量方向向量. 設(shè)直線設(shè)直線l上一點(diǎn)上一點(diǎn)m0(x0,y0,z0)，已知它的一方向向量為，已知它的一方向向量為s=(m,n,p)，下面建立這直線方程下面建立這直線方程. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m(x,y,z)時(shí)直線時(shí)直線l上的任一點(diǎn)，那么向量上的任一點(diǎn)，那么向量 mm0與與l的方向向量的方向向量s平行平行(見(jiàn)圖見(jiàn)圖). 由于由于 mm0=(x-x0 , y-y0 , z-z0 ),s=(m, n, p)，從而有從而有 .000pz

39、znyymxx xyzosl0m m 上方程組稱(chēng)為直線的上方程組稱(chēng)為直線的對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程或或點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程.counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei直線的任一方向向量直線的任一方向向量s的坐標(biāo)的坐標(biāo)m、n、p叫做這直線的一組方向叫做這直線的一組方向數(shù)，而向量數(shù)，而向量s的方向余弦叫做該直線的的方向余弦叫做該直線的方向余弦方向余弦.由直線的對(duì)稱(chēng)式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程由直線的對(duì)稱(chēng)式方程容易導(dǎo)出直線的參數(shù)方程. 如設(shè)如設(shè)tpzzn

40、yymxx 000那么那么 ,000ptzzntyymtxx上方程組就是直線的上方程組就是直線的參數(shù)方程參數(shù)方程.counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱(chēng)式方程及參數(shù)方程表示直線 , 0432, 01zyxzyx解解 先找出這直線上的一點(diǎn)先找出這直線上的一點(diǎn)(x0,y0,z0). 例如，可以取例如，可以取x0=1，代入方程組，得代入方程組，得 . 63, 2zyzy解這個(gè)二元一次方程組，得解這個(gè)二元一

41、次方程組，得y0=0, z0=-2. 即即(1, 0, -2)是這直線上的一點(diǎn)是這直線上的一點(diǎn). 下面再找出這直線的方向向量下面再找出這直線的方向向量s.由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量由于兩平面的交線與這兩平面的法線向量n1 =(1,1,1)， n2(2,-1,3)都垂直，所以可取都垂直，所以可取counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei.3431211121kjikjinns 因此，所給直線的對(duì)稱(chēng)式方程為因此，所給直線的對(duì)稱(chēng)式方程為 3

42、2141 zyx令令 tzyx 32141得所給直線的參數(shù)方程為得所給直線的參數(shù)方程為 ,32,41tztytxcounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩條直線的方向向量的夾角兩條直線的方向向量的夾角(通常指銳角通常指銳角)叫做兩直線的叫做兩直線的夾角夾角.設(shè)直線設(shè)直線l1和和l2的方向向量依次為的方向向量依次為s1=(m1,n1,p1)和和s2=(m2,n2,p2)，那么那么l1和和l2的夾角的夾角 則則 c

43、os = 222222212121212121pnmpnmppnnmm 從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論：從兩向量垂直、平行的充分必要條件立即推得下列結(jié)論： 兩直線兩直線l1、l2互相垂直相當(dāng)與互相垂直相當(dāng)與m1m2+n1n2+p1p2=0； 兩直線兩直線l1、l2互相平行或重合相當(dāng)于互相平行或重合相當(dāng)于 212121ppnnmm counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 求直線求直線l1： 13411 zyx和和l2：

44、1222 zyx的夾角的夾角. 解解 直線直線l1的方向向量為的方向向量為s1 =(1,-4,1)；直線；直線l2的方向向量為的方向向量為s2=(2,-2,-1). 設(shè)直線設(shè)直線l1和和l2的夾角為的夾角為 ，那么那么coos = 22222)1()2(21)4(1)1(1)2()4(212 = ,21所以所以 .4 counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongweisin =|cos(s,n)|， | -(s,n)|，因此，因此 ，那么，那么 設(shè)直線

45、的方向向量為設(shè)直線的方向向量為s=(m,n,p)，平面的法，平面的法線向量為線向量為n=(a,b,c)，直線與平面的夾角為，直線與平面的夾角為 2 按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有按兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式，有 四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)，直線和它在平面上的投影直線的夾角 )20( 垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為垂直時(shí)，規(guī)定直線與平面的夾角為 稱(chēng)為直線與平面的夾角稱(chēng)為直線與平面的夾角(見(jiàn)圖見(jiàn)圖)，當(dāng)直線與平面，當(dāng)直線與平面2 sin 222222pnmcbacpbnam (1) counselling

46、on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei直線與平面垂直相當(dāng)于直線與平面垂直相當(dāng)于pcnbma (2) 直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于 am+bn+cp=0. (3)例例 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(1,-2,4)且與平面且與平面2x-3y+z-4=0垂直的直線的方程垂直的直線的方程.解解 因?yàn)樗笾本€垂直于已知平面，所以可以取已知平面的因?yàn)樗笾本€垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法線向量法線向量(2,-3,1)作為所求直線的方向向量作為所

47、求直線的方向向量. 由此可得所求直由此可得所求直線的方程為線的方程為143221 zyxcounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei五、雜例五、雜例例例1 求與兩平面求與兩平面x-4y=3和和2x-y-5z=1的交線平行且過(guò)點(diǎn)的交線平行且過(guò)點(diǎn)(-3,2,5)的直線的方程的直線的方程.解解 因?yàn)樗笤谥本€與兩平面的交線平行，也就是直線的方向因?yàn)樗笤谥本€與兩平面的交線平行，也就是直線的方向向量向量s一定同時(shí)與兩平面的法線向量一定同時(shí)與兩平面的法線向

48、量n1、n2垂直，所以可以取垂直，所以可以取 )34(51240121kjikjinns 因此所求直線的方程為因此所求直線的方程為 153243 zyxcounselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 2 求直線求直線 241312 zyx與平面與平面2x+y+z-6=0的交點(diǎn)的交點(diǎn). 解解 所給直線的參數(shù)方程為所給直線的參數(shù)方程為x=2t, y=3t, z=4+2t, 代入平面方程中，得代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)

49、-6=0. 解上列方程，得解上列方程，得t=-1. 把求得的把求得的t值代入直線的參數(shù)方程中，值代入直線的參數(shù)方程中，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為 x=1, y=2, z=2. counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei例例 3 求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且與直線且與直線 12131 zyx的方程的方程. 垂直相交的直線垂直相交的直線解解 先作一平面過(guò)點(diǎn)先作一平面過(guò)點(diǎn)(2,1,3)且垂直與已知直線，那么這平面的且垂直與已知直線，那么

50、這平面的方程應(yīng)為方程應(yīng)為 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0. (1) 再求已知直線與這平面的交點(diǎn)再求已知直線與這平面的交點(diǎn). 已知直線的參數(shù)方程為已知直線的參數(shù)方程為 x=-1+3t, y=1+2t, z=-t. (2) 把把(2)代入代入(1)中，求得中，求得t= 73，從而求得交點(diǎn)為，從而求得交點(diǎn)為 73,713,72以點(diǎn)以點(diǎn)(2,1,3)為起點(diǎn)，點(diǎn)為起點(diǎn)，點(diǎn) 73,713,72為終點(diǎn)的向量為終點(diǎn)的向量 4 , 1, 276373, 1713, 272 是所求直線的一個(gè)方向向量，故所求直線的方程為是所求直線的一個(gè)方向向量，故所求直線的方程為431122 zyxcounsellin

51、g on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei有時(shí)用有時(shí)用平面束平面束的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來(lái)介紹它的方程的方程解題比較方便，現(xiàn)在我們來(lái)介紹它的方程.設(shè)直線設(shè)直線l由方程組由方程組11112222a xbc zd0, (1)a xb yc zd0, (2)y所確定，其中系數(shù)所確定，其中系數(shù)a1、b1、c1與與a2、b2、c2不成比例不成比例. 我們建立三元一次方程：我們建立三元一次方程： 0)dzcybxa(dzcbxa22221111 y (3)其中其中 為任

52、意常數(shù)為任意常數(shù). 因?yàn)橐驗(yàn)閍1、b1、c1與與a2、b2、c2不成不成 比例，所以對(duì)于任何一個(gè)比例，所以對(duì)于任何一個(gè) 值，方程值，方程(3)的系數(shù)：的系數(shù)： 212121ccbbaa 、不全為零，從而方程不全為零，從而方程(3)表示表示 counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei反之，通過(guò)直線反之，通過(guò)直線l的任何平面的任何平面(除平面除平面(2)外外)都包含在方程都包含在方程(3)所表示的一族平面內(nèi)所表示的一族平面內(nèi). 通過(guò)定直線的所有平面

53、的全體通過(guò)定直線的所有平面的全體稱(chēng)為平面束，而方程稱(chēng)為平面束，而方程(3)就作為通過(guò)直線就作為通過(guò)直線l的平面束的方程的平面束的方程(事實(shí)上，事實(shí)上，方程方程(3)表示缺少平面表示缺少平面(2)的平面束的平面束). 一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線一個(gè)平面，若一點(diǎn)在直線l上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程上，則點(diǎn)的坐標(biāo)必同時(shí)滿(mǎn)足方程(1)和和(2)，因而也滿(mǎn)足方程，因而也滿(mǎn)足方程(3)，故方程，故方程(3)表示通過(guò)直線表示通過(guò)直線l的平面，且對(duì)于于不同的的平面，且對(duì)于于不同的 同的平面同的平面. 值，方程值，方程(3)表示通過(guò)直線表示通過(guò)直線l的不的不 counselling on advanced math

54、ematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei第第三三節(jié)節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面返回返回counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei復(fù)習(xí)要求復(fù)習(xí)要求: 了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及

55、其圖形。旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei曲面方程的定義：曲面方程的定義：水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡曲面的實(shí)例：曲面的實(shí)例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面以下給出幾例常見(jiàn)的曲面. .解解rmm |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 rzzyyxx 202020 2202020

56、rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為2222rzyx 例例建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)),(0000zyxm、半徑為、半徑為r的的球面方程球面方程. counselling on advanced mathematics臺(tái)州職業(yè)技術(shù)學(xué)院taizhou vocational & technical college wangrongwei原方程表示球心在點(diǎn)原方程表示球心在點(diǎn))0 , 2, 1(0 m、半徑為、半徑為5 r的球面的球面.例例 方程方程 表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？042222 yxzyx解解 通過(guò)配方，原方程可以改寫(xiě)成通過(guò)配

57、方，原方程可以改寫(xiě)成5)2()1(222 zyx以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（討論柱面、二次曲面）（討論柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程三、柱面三、柱面定義定義: 平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動(dòng)的直線移動(dòng)的直線 所形成所形成的曲面稱(chēng)為的曲面稱(chēng)為柱面柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動(dòng)直線，動(dòng)直線 叫柱面叫柱面的的母線母線. .cloxz222ryx ymcl柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面clclxyzocf (x, y)=0 xyzox -z=0l從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征：（其他類(lèi)推）（其他類(lèi)推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸