信息光學(xué)chap1線(xiàn)性系統(tǒng)分析1

1、第一章第一章 線(xiàn)性系統(tǒng)分析線(xiàn)性系統(tǒng)分析n 信息處理系統(tǒng)信息處理系統(tǒng) 線(xiàn)性系統(tǒng)線(xiàn)性系統(tǒng) 非線(xiàn)性系統(tǒng)非線(xiàn)性系統(tǒng) 除一些特例外沒(méi)有統(tǒng)一的理論描述除一些特例外沒(méi)有統(tǒng)一的理論描述可以用可以用ftft分析方法來(lái)描述分析方法來(lái)描述n 物理上，實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)系統(tǒng)不是嚴(yán)格物理上，實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)系統(tǒng)不是嚴(yán)格的線(xiàn)性系統(tǒng)，但在某些條件或一定近似下可以的線(xiàn)性系統(tǒng)，但在某些條件或一定近似下可以作為線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)處理。作為線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)處理。n 許多光學(xué)系統(tǒng)就是如此。許多光學(xué)系統(tǒng)就是如此。1.1.1 矩形函數(shù)（矩形函數(shù)（rectangular function）定義定義其它,)(021100axxaxxrect的矩形。，高

2、度為為中心，寬度為表示以10ax。為偶函數(shù)。時(shí)，形式為；當(dāng))(xrectax100二維形式：二維形式：00rect()rect()xxyyab當(dāng)當(dāng)x為空間變量時(shí)，在光學(xué)中常用矩形函數(shù)的一維表為空間變量時(shí)，在光學(xué)中常用矩形函數(shù)的一維表示一維透光縫；二維表示矩形透光孔。示一維透光縫；二維表示矩形透光孔。其中其中a, b0當(dāng)當(dāng)x為時(shí)間變量時(shí)，可表示一個(gè)時(shí)間方波，如：為時(shí)間變量時(shí)，可表示一個(gè)時(shí)間方波，如： 電路中的開(kāi)關(guān)（閘門(mén)）作用；電路中的開(kāi)關(guān)（閘門(mén)）作用； 相機(jī)的快門(mén)；相機(jī)的快門(mén)；1.1.2 sinc 函數(shù)函數(shù)定義定義：000sin()/sinc()()/xxxxbbxxb式中式中 b0當(dāng)當(dāng)x0=0

3、，b=1時(shí)，上式變?yōu)闀r(shí)，上式變?yōu)?sinsinc( )xxx當(dāng)當(dāng)x=x0時(shí)處有最大值時(shí)處有最大值1，第一個(gè)正負(fù)零之間的寬度為主瓣，第一個(gè)正負(fù)零之間的寬度為主瓣寬度為寬度為2b.二維形式：二維形式：其中其中a, b0)(sin)(sinbycaxc描述狹縫或矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。描述狹縫或矩形孔的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。1.1.4 符號(hào)函數(shù)10sgn( )0010 xxxx定義：高斯函數(shù)2)(axexf性質(zhì)：adxeax20212adxeax0212dxex 光學(xué)意義：光學(xué)上梳狀函數(shù)表示點(diǎn)光源的陣列，或者光學(xué)上梳狀函數(shù)表示點(diǎn)光源的陣列，或者 小孔陣列的透過(guò)率函數(shù)小孔陣列的透過(guò)率函數(shù)1.3 二維傅里

4、葉變換二維傅里葉變換1.3.1 傅里葉級(jí)數(shù)一個(gè)周期函數(shù)f(t)，周期 ，滿(mǎn)足狄里赫利條件，即函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則f(t)可展開(kāi)成三角函數(shù)1）（）1 . 3 . 12sin2cos(2)(10tnbtnaatfnnn系數(shù)為：00)(2dttfa02cos)(2tdtntfan02sin)(2tdtntfbn1.3.2 傅里葉變換傅里葉變換1.直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換直角坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換非周期函數(shù)非周期函數(shù)f(x,y)在整個(gè)無(wú)限在整個(gè)無(wú)限xy平面上滿(mǎn)足狄里赫利條件平面上滿(mǎn)足狄里赫利條件,且且( , )f x y dxdy 存在，則有二元函數(shù)存在，則有二元函數(shù)

5、f(x,y)的傅里葉變換：的傅里葉變換：-( , )( , )exp j2 ()ff x yxy dxdy f(x,y)可以是實(shí)函數(shù)或是復(fù)函數(shù)可以是實(shí)函數(shù)或是復(fù)函數(shù).f(,)稱(chēng)頻譜函數(shù)。逆變換稱(chēng)頻譜函數(shù)。逆變換:-( , )( , )expj2 ()f x yfxy d d 上述公式將非周期函數(shù)分解為連續(xù)頻率的頻譜函數(shù)的積分。上述公式將非周期函數(shù)分解為連續(xù)頻率的頻譜函數(shù)的積分。 f(,)表示各連續(xù)頻率成分的權(quán)重因子表示各連續(xù)頻率成分的權(quán)重因子2 存在條件存在條件傅里葉變換要求函數(shù)傅里葉變換要求函數(shù)f(x,y)滿(mǎn)足滿(mǎn)足1、絕對(duì)可積條件、絕對(duì)可積條件 dxxf)(2、在任意的有限間隔中只有有限個(gè)不

6、連續(xù)點(diǎn)；、在任意的有限間隔中只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；3、沒(méi)有無(wú)限大的間斷點(diǎn)。、沒(méi)有無(wú)限大的間斷點(diǎn)。 實(shí)際上，只要實(shí)際上，只要f(x)準(zhǔn)確地描述一個(gè)實(shí)際的物理量，準(zhǔn)確地描述一個(gè)實(shí)際的物理量，則以上條件自動(dòng)滿(mǎn)足。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，物則以上條件自動(dòng)滿(mǎn)足。對(duì)于一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)，物理量的傅里葉變換總是存在的。理量的傅里葉變換總是存在的。 對(duì)于一些理想化的函數(shù)，如余弦函數(shù)、階躍函數(shù)、對(duì)于一些理想化的函數(shù)，如余弦函數(shù)、階躍函數(shù)、常數(shù)、常數(shù)、函數(shù)不存在經(jīng)典意義下的傅里葉變換，但存在函數(shù)不存在經(jīng)典意義下的傅里葉變換，但存在廣義的傅里葉變換。廣義的傅里葉變換。3、極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅里葉變換、極坐標(biāo)系內(nèi)的二維傅

7、里葉變換（1）定義式）定義式設(shè)設(shè)xy平面上的極坐標(biāo)為平面上的極坐標(biāo)為r,；平面上的極坐標(biāo)為平面上的極坐標(biāo)為, ,有有以下關(guān)系以下關(guān)系sin,cossin,cosryrx-( , )( , )exp j2 ()ff x yxy dxdy 代入直角坐標(biāo)下的定義式得：代入直角坐標(biāo)下的定義式得： 020)cos(2exp)sin,cos()sin,cos(rdrdrjrrff令)sin,cos(),(fg)sin,cos(),(rrfrg當(dāng)當(dāng) 具有圓對(duì)稱(chēng)性時(shí)有具有圓對(duì)稱(chēng)性時(shí)有),(rg)(),(rgrgdrdrjrrgg020)cos(2exp)(),(利用貝賽爾函數(shù)關(guān)系：利用貝賽爾函數(shù)關(guān)系：)(2)

8、cos(exp020ajdja1.4 卷積與相關(guān)卷積與相關(guān) 是兩種運(yùn)算關(guān)系（或過(guò)程）；都是含參變量的無(wú)窮是兩種運(yùn)算關(guān)系（或過(guò)程）；都是含參變量的無(wú)窮積分，與積分，與ft、線(xiàn)性系統(tǒng)密切相關(guān)。、線(xiàn)性系統(tǒng)密切相關(guān)。 都是兩個(gè)函數(shù)通過(guò)某種運(yùn)算得到另外一函數(shù)。都是兩個(gè)函數(shù)通過(guò)某種運(yùn)算得到另外一函數(shù)。n 其中一個(gè)函數(shù)是輸入函數(shù)（待觀(guān)測(cè)量、輸入信號(hào)）其中一個(gè)函數(shù)是輸入函數(shù)（待觀(guān)測(cè)量、輸入信號(hào)）n 一個(gè)函數(shù)描述觀(guān)測(cè)方式或觀(guān)測(cè)儀器的特征（或作用特點(diǎn)）一個(gè)函數(shù)描述觀(guān)測(cè)方式或觀(guān)測(cè)儀器的特征（或作用特點(diǎn)）n 另外一個(gè)函數(shù)就是輸出函數(shù)（信號(hào)），即觀(guān)測(cè)得到的結(jié)果。另外一個(gè)函數(shù)就是輸出函數(shù)（信號(hào)），即觀(guān)測(cè)得到的結(jié)果。n “

9、某種運(yùn)算某種運(yùn)算”：就是觀(guān)測(cè)方式或觀(guān)測(cè)儀器對(duì)輸入函數(shù)作：就是觀(guān)測(cè)方式或觀(guān)測(cè)儀器對(duì)輸入函數(shù)作用的數(shù)學(xué)描述。用的數(shù)學(xué)描述。 卷積運(yùn)算：卷積運(yùn)算： 用來(lái)表示一個(gè)觀(guān)測(cè)系統(tǒng)或一個(gè)觀(guān)測(cè)儀器對(duì)用來(lái)表示一個(gè)觀(guān)測(cè)系統(tǒng)或一個(gè)觀(guān)測(cè)儀器對(duì)輸入信號(hào)的作用過(guò)程。輸入信號(hào)的作用過(guò)程。 相關(guān)運(yùn)算：相關(guān)運(yùn)算：常用于比較兩個(gè)函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，相似程度，常用于比較兩個(gè)函數(shù)的關(guān)聯(lián)性，相似程度，用于信號(hào)檢測(cè)。用于信號(hào)檢測(cè)。1.4.1 卷積卷積1.定義定義dxhfxhxfxg)()()(*)()( ddyxhfyxhyxfyxg),(),(),(*),(),(二維卷積定義二維卷積定義2.一維實(shí)函數(shù)卷積的幾何說(shuō)明一維實(shí)函數(shù)卷積的幾何說(shuō)明圖中在

10、圖中在y軸處表示的是函數(shù)軸處表示的是函數(shù)g(t)的的圖形圖形(三角狀的實(shí)線(xiàn)三角狀的實(shí)線(xiàn))，并假定，并假定g(t)的定義域是有限的，而且極大值的定義域是有限的，而且極大值等于等于1。g(-t)的圖形是以的圖形是以y軸為轉(zhuǎn)軸為轉(zhuǎn)軸，把軸，把g(t)的圖形左右翻轉(zhuǎn)，如的圖形左右翻轉(zhuǎn)，如圖中虛線(xiàn)所示圖中虛線(xiàn)所示； g(x-t)就是把就是把g(-t)的圖形沿的圖形沿x軸平移了軸平移了x的位移的位移.再假定再假定h(t)是一直線(xiàn)，則是一直線(xiàn)，則g(x-t)與與h(t)的乘積成為二次曲線(xiàn)，左半部的乘積成為二次曲線(xiàn)，左半部分凹向上，有半部分凹向下，如圖中的實(shí)線(xiàn)所示。卷積的幾何意分凹向上，有半部分凹向下，如圖中

11、的實(shí)線(xiàn)所示。卷積的幾何意義是義是g(x)圖形先左右翻轉(zhuǎn)，平移圖形先左右翻轉(zhuǎn)，平移x，再與再與h(x)相乘，然后在相乘，然后在( ， )區(qū)間上的積分面積。而這一面積值是位移量區(qū)間上的積分面積。而這一面積值是位移量x的函數(shù)。的函數(shù)。卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)）展寬效應(yīng) 假如函數(shù)只在一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)不為零，假如函數(shù)只在一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)不為零，這個(gè)區(qū)間可稱(chēng)為函數(shù)的寬度。一般說(shuō)來(lái)，卷積函數(shù)的這個(gè)區(qū)間可稱(chēng)為函數(shù)的寬度。一般說(shuō)來(lái)，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)寬度之和。寬度等于被卷函數(shù)寬度之和。 (2)平滑效應(yīng)平滑效應(yīng) 被卷函數(shù)經(jīng)過(guò)卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在被卷函數(shù)經(jīng)過(guò)卷積運(yùn)算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在一定

12、程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。在數(shù)學(xué)上有關(guān)卷積的一條定理說(shuō)，在某些相當(dāng)普滑。在數(shù)學(xué)上有關(guān)卷積的一條定理說(shuō)，在某些相當(dāng)普遍的條件下，遍的條件下，n個(gè)函數(shù)的卷積，當(dāng)個(gè)函數(shù)的卷積，當(dāng)n時(shí)時(shí)(在實(shí)用上在實(shí)用上n10也就可以了也就可以了)，趨于高斯函數(shù)形式，趨于高斯函數(shù)形式5.卷積運(yùn)算舉例卷積運(yùn)算舉例兩矩形函數(shù)卷積兩矩形函數(shù)卷積0 xa2/2/)1 ()(*)(axaaxaxadaxrectaxrectax 02/2/)1 ()(*)(aaxaxaxadaxrectaxrect合并寫(xiě)成其它0,1)(*)(axaxaaxrectaxrect)(axa故)()(*)(xxrectxrect1.4.2 互相關(guān)互相關(guān)1.互相關(guān)的定義互相關(guān)的定義一維實(shí)函數(shù)一維實(shí)函數(shù))()()()(xfdagxfxr)(xg或或)()()()(xfdaxgfxr)(xg3.性質(zhì)性質(zhì)（1）),(),(yxryxrfgfg互相關(guān)運(yùn)算不具有交換性，而有*( , )(,)g ffgrx yrxy當(dāng)f和g皆為實(shí)數(shù)時(shí)，( , )(,)g ffgrx yrxy（2）2( , )(0,0)(0,0)fgffggr