高等數(shù)學(xué)講義

1、高等數(shù)學(xué)講義第一章 函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.理解函數(shù)的概念2.了解分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)的概念3.了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的概念，會(huì)分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).4.會(huì)建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)模型.（二） 內(nèi)容提要1.函數(shù)的定義(1) 函數(shù)的定義定義1 設(shè)和是兩個(gè)變量,是一個(gè)給定的數(shù)集,如果對于每個(gè)數(shù),變量按照一定法則總有惟一確定的數(shù)值與其對應(yīng),則稱是的函數(shù),記作.數(shù)集稱為該函數(shù)的定義域, 稱為自變量, 稱為因變量.當(dāng)自變量取數(shù)值時(shí)，因變量按照法則所取定的數(shù)值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值，記作.當(dāng)自變量遍取定義域的每個(gè)數(shù)值時(shí),對應(yīng)的函數(shù)值的全體組成的數(shù)集=稱為函數(shù)的值域.定義2

2、 設(shè)與是兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集，如果存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則，使得對中任何一個(gè)實(shí)數(shù)，在中都有惟一確定的實(shí)數(shù)與對應(yīng)，則對應(yīng)規(guī)則稱為在上的函數(shù)，記為 ,稱為對應(yīng)的函數(shù)值，記為,其中，稱為自變量，稱為因變量.由定義2知, 函數(shù)是一種對應(yīng)規(guī)則，在函數(shù)中，表示函數(shù)，是對應(yīng)于自變量的函數(shù)值，但在研究函數(shù)時(shí)，這種對應(yīng)關(guān)系總是通過函數(shù)值表現(xiàn)出來的，所以習(xí)慣上常把在處的函數(shù)值稱為函數(shù)，并用的形式表示是的函數(shù).但應(yīng)正確理解，函數(shù)的本質(zhì)是指對應(yīng)規(guī)則.例如就是一個(gè)特定的函數(shù)，確定的對應(yīng)規(guī)則為就是一個(gè)函數(shù).(2) 函數(shù)的兩要素函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍，而函數(shù)值又是由對應(yīng)規(guī)則來確定的，所以函數(shù)實(shí)質(zhì)上是由其定義域和對應(yīng)規(guī)則所確定的，

3、因此通常稱函數(shù)的定義域和對應(yīng)規(guī)則為函數(shù)的兩個(gè)要素.也就是說，只要兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)規(guī)則也相同，就稱這兩個(gè)函數(shù)為相同的函數(shù)，與變量用什么符號(hào)表示無關(guān)，如，就是相同的函數(shù).2 函數(shù)的三種表示方法(1) 圖像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函數(shù)時(shí)經(jīng)常遇到下面幾種情況： 分段函數(shù) 在自變量的不同取值范圍內(nèi)，用不同的公式表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).如 就是一個(gè)定義在區(qū)間上的分段函數(shù). 用參數(shù)方程確定的函數(shù) 用參數(shù)方程 （）表示的變量與之間的函數(shù)關(guān)系，稱為用參數(shù)方程確定的函數(shù).例如函數(shù)可以用參數(shù)方程表示. 隱函數(shù) 如果在方程中，當(dāng)在某區(qū)間I內(nèi)任意取定一個(gè)值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的惟

4、一的值存在，則稱方程在區(qū)間I內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù).例如方程就確定了變量是變量之間的函數(shù)關(guān)系.注意 能表示成(其中僅為的解析式)的形式的函數(shù),稱為顯函數(shù). 把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)的過程稱為隱函數(shù)的顯化.例如可以化成顯函數(shù).但有些隱函數(shù)確不可能化成顯函數(shù),例如.3 函數(shù)的四種特性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間，函數(shù)的四種特性如下表所示.函數(shù)的四種特性表函數(shù)的特性定 義圖像特點(diǎn)奇偶性 設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，若對任意滿足則稱是上的偶函數(shù)；若對任意滿足則稱是上的奇函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的函數(shù)，稱為非奇非偶函數(shù)偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對稱;奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱單調(diào)性 若對任意，當(dāng)時(shí)，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的

5、單調(diào)增加函數(shù)；當(dāng)時(shí)，有,則稱函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)減少函數(shù)，單調(diào)增加函數(shù)和單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則稱區(qū)間為單調(diào)區(qū)間單調(diào)增加的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)上升的曲線; 單調(diào)減少的函數(shù)的圖像表現(xiàn)為自左至右是單調(diào)下降的曲線有界性 如果存在，使對于任意滿足則稱函數(shù)是有界的圖像在直線與之間周期性 如果存在常數(shù)，使對于任意，有則稱函數(shù)是周期函數(shù)，通常所說的周期函數(shù)的周期是指它的最小周期在每一個(gè)周期內(nèi)的圖像是相同的4 基本初等函數(shù)六種基本初等函數(shù)見下表 六種基本初等函數(shù)表函數(shù)解析表達(dá)式常函數(shù)（為常數(shù)）冪函數(shù)（為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）對數(shù)函數(shù)（,為常數(shù)）三角函數(shù)反三角函數(shù)arc

6、arc,arc5. 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)二、主要解題方法1求函數(shù)定義域的方法例1 求下列函數(shù)的定義域:(1) =+ ，(2) =.小結(jié) 函數(shù)由解析式給出時(shí)，其定義域是使解析式子有意義的一切函數(shù).為此求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)遵守以下原則：(I) 在式子中分母不能為零；(II)在偶次根式內(nèi)非負(fù)；(III)在對數(shù)中真數(shù)大于零；(IV)反三角函數(shù) ，要滿足；(V)兩函數(shù)和（差）的定義域，應(yīng)是兩函數(shù)定義域的公共部分；(VI) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.(VII)求復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)，一般是外層向里層逐步求.2將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)的方法例2 將下列復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)或簡

7、單函數(shù) (1) ， （2） . 小結(jié) （I）復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程是由里到外，函數(shù)套函數(shù)而成的.分解復(fù)合函數(shù)，是采取由外到內(nèi)層層分解的辦法.從而拆成若干基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算.（II）基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為簡單函數(shù).3 建立實(shí)際問題的函數(shù)模型的方法 例3 某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為若干臺(tái)，每臺(tái)售價(jià)為300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過600臺(tái)時(shí)，超過部分只能打8折出售，這樣可出售200臺(tái)，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型. 例4 一下水道的截面是矩形加半圓形(如圖)，截面積為，是一常量。這常量取決于預(yù)定的排水量.設(shè)截面的周長為，底寬為，試建立與的函數(shù)

8、模型. 小結(jié) 運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題時(shí)，通常要先找出變量間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式子表示出來，然后再進(jìn)行分析和計(jì)算.建立函數(shù)模型的具體步驟可為 ：(1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示.(2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)及其他知識(shí)，確定等量關(guān)系.(3) 具體寫出解析式，并指明其定義域.三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)等概念以及定義域的求法.2本章所介紹的內(nèi)容雖然絕大部分屬于基本概念，并且在中學(xué)已經(jīng)學(xué)過，但它們是微積分學(xué)本身研究問題時(shí)的主要依據(jù).因次，學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容應(yīng)在原有的基礎(chǔ)上進(jìn)行復(fù)習(xí)提高. 3從實(shí)際問題中建立函數(shù)模型是解決實(shí)際問題關(guān)鍵性的一步，也是

9、比較困難的一步，因?yàn)橐玫綆缀螌W(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面的知識(shí)與定律.但我們?nèi)砸⒁膺@方面的訓(xùn)練，以便逐步培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力.第二章 極限與函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解極限的描述性定義2了解無窮小、無窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會(huì)用兩個(gè)重要極限公式求極限4掌握極限的四則運(yùn)算法則5理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，知道間斷點(diǎn)的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7會(huì)用函數(shù)的連續(xù)性求極限（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號(hào)設(shè)函數(shù)在 為某個(gè)正實(shí)數(shù))時(shí)有定義

10、，如果當(dāng)自變量的絕對值無限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)為某個(gè)實(shí)數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)(為某個(gè)實(shí)數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無限增大且時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負(fù)無窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在內(nèi)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)（讀作“趨近于”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無限接近于時(shí)，

11、相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時(shí)函數(shù)的左極限或設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時(shí)函數(shù)的右極限或數(shù)列的極限對于數(shù)列，若當(dāng)自然數(shù)無限增大時(shí)，通項(xiàng)無限接近于某個(gè)確定的常數(shù),則稱為當(dāng)趨于無窮時(shí)數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于或若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散不存在（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理的充分必要條件是的充分必要條件是（）極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準(zhǔn)則若當(dāng)時(shí)，有，且，則2. 極限的四則運(yùn)算法則設(shè)及都存在，則(1) ；(2) , (為任意常數(shù));(3) 上述

12、極限四則運(yùn)算法則對自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個(gè)重要極限(1) 一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）(2) 一般形式為 （其中代表的任意函數(shù)） 無窮小量與無窮大量（）無窮小量在自變量的某個(gè)變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無窮小量，簡稱無窮小例如,如果，則稱當(dāng)時(shí),是無窮小量注意 一般說來，無窮小表達(dá)的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個(gè)變量無論多么小，都不能是無窮小量，數(shù)零是惟一可作為無窮小的常數(shù)（） 無窮大量在自變量的某個(gè)變化過程中，絕對值可以無限增大的變量稱為這個(gè)變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號(hào)，表示

13、“當(dāng)時(shí), 是無窮大量” （）無窮小量與無窮大量的關(guān)系在自變量的某個(gè)變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量（）無窮小量的運(yùn)算 有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量（5）無窮小量的比較下表給出了兩個(gè)無窮小量之間的比較定義無窮小量的比較表設(shè)在自變量的變化過程中，均是無窮小量無窮小的比較定 義記 號(hào)（）（）（） 極限與無窮小量的關(guān)系定理的充分必要條件是，其中是當(dāng)時(shí)的無窮小量（） 無窮小的替換定理設(shè)當(dāng)時(shí)，存在，則5函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義：定義

14、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，或稱是的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)定義若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 左右連續(xù)的概念若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，存在，這個(gè)極限等于函數(shù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右

15、連續(xù) 間斷點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn)的分類設(shè)為的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng)時(shí)，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)；否則，稱為的第二類間斷點(diǎn)對于第一類間斷點(diǎn)有以下兩種情形： 當(dāng)與都存在，但不相等時(shí)，稱為的跳躍間斷點(diǎn)； 當(dāng)存在，但極限不等于時(shí)，稱為的可去間斷點(diǎn) 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 設(shè)為閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得 介值定理 設(shè)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對介于之間的任意一個(gè)數(shù)，則至少

16、存在一點(diǎn)，使得二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當(dāng)為何值時(shí)，在的極限存在.解 (1),因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點(diǎn)處，兩邊的表達(dá)式不同，因此一般要考慮在分段點(diǎn)處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當(dāng)=1 時(shí)， 存在且 =1小結(jié) 對于求含有絕對值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時(shí)極限才存在，否則，極限不存在 （3）利用極限運(yùn)算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2)

17、當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運(yùn)算法則原式=(3) 當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運(yùn)算法則，可先進(jìn)行通分化簡，再用商的運(yùn)算法則即原式=(4) 當(dāng)時(shí)，分子分母均無極限，呈現(xiàn)形式需分子分母同時(shí)除以，將無窮大的約去，再用法則求原式=小結(jié) （）應(yīng)用極限運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意每項(xiàng)極限都存在（對于除法，分母極限不為零）才能適用（II）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn) 等情況，都不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，必須對原式進(jìn)行恒等變換、化簡，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（）對于型，往往需要先通分，

18、化簡，再求極限，（）對于無理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，（）對分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，（）對于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次冪，然后再求極限（3）利用無窮小的性質(zhì)求極限例3 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解（1） 因?yàn)?而，求該式的極限需用無窮小與無窮大關(guān)系定理解決因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是無窮小量，因而它的倒數(shù)是無窮大量，即 （2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當(dāng)時(shí)，為無窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小定理，即得.小結(jié) 利用無窮小與無窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)

19、極限）；利用有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小結(jié) （）利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)型冪指函數(shù)，其形式為型,為無窮小量，而指數(shù)為無窮大，兩者恰好互為倒數(shù)；（）用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。(5) 利用等價(jià)無窮小代換求極限常用等價(jià)無窮小有當(dāng) 時(shí)

20、,例5 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小結(jié) 利用等價(jià)無窮小可代換整個(gè)分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò)如上題 , 即得一錯(cuò)誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）解 (1) 因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，在處有定義，所以 ，(2) 函數(shù)看成由 復(fù)合而成，利用分子有理化，然后利用復(fù)合函數(shù)求極限的法則來運(yùn)算 =小結(jié) 利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序2判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)

21、總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性 例 7 討論函數(shù) ， 在點(diǎn)處的連續(xù)性 解 由于函數(shù)在分段點(diǎn)處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點(diǎn)處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是極限的求法及函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的概念，特別是求極限的方法，靈活多樣因此要掌握這部分知識(shí)，建議讀者自己去總結(jié)經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，多做練習(xí)2本章概念較多，且互相聯(lián)系，例如：收斂，有界，單調(diào)有界；發(fā)散，無界，無窮大；極限，無窮小，連續(xù)等只有明確它們之間的聯(lián)系，才能對它們有深刻的理解，因此讀者要注意弄清它們之間的實(shí)質(zhì)關(guān)系3要深刻理解在一點(diǎn)的連續(xù)概念，即極限值等于

22、函數(shù)值才連續(xù)千萬不要求到極限存在就下連續(xù)的結(jié)論，特別注意判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性第三章 導(dǎo)數(shù)與微分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1. 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念及其幾何意義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)（變化率）描述一些簡單的實(shí)際問題.2.熟練掌握導(dǎo)數(shù)和微分的四則運(yùn)算法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.3.熟練掌握復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的求法.4.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，熟練掌握初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.5.了解可導(dǎo)、可微、連續(xù)之間的關(guān)系.重點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法.難點(diǎn) 求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.（二） 內(nèi)容提要1.導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)設(shè)

23、函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處有增量，仍在該鄰域內(nèi)時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量，若極限 存在，則稱在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限值為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，也可記為，即 .若極限不存在，則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo).若固定，令，則當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)也可表示為 . 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù) . 函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù).函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等 導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線的切線在曲線上點(diǎn)的附近，再取一點(diǎn)，作割線，當(dāng)點(diǎn)沿曲線移動(dòng)而趨向于時(shí)，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點(diǎn)處的切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的3點(diǎn)說

24、明:曲線上點(diǎn)處的切線斜率是縱標(biāo)變量對橫標(biāo)變量的導(dǎo)數(shù).這一點(diǎn)在考慮用參數(shù)方程表示的曲線上某點(diǎn)的切線斜率時(shí)優(yōu)為重要.如果函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮(即,此時(shí)在處不可導(dǎo)),則曲線上點(diǎn)處的切線垂直于軸.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)幾何上意味著函數(shù)曲線在該點(diǎn)處必存在不垂直于軸的切線.3.變化率函數(shù)的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時(shí)的極限，即導(dǎo)數(shù).在科學(xué)技術(shù)中常常把導(dǎo)數(shù)稱為變化率(即因變量關(guān)于自變量的變化率就是因變量關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù)).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度. 4.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則在點(diǎn)處一定連續(xù).但反過來不一定成立，即在點(diǎn)處連續(xù)的函數(shù)未必在點(diǎn)處可導(dǎo).5. 高階

25、導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)仍然是的函數(shù)，則將一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記為或或，即= 或 =.階導(dǎo)數(shù) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)（=3，4，,）分別記為, , ,，或, , ,，或, , , ，二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù).6 . 微分微分的定義如果函數(shù)在點(diǎn)處的改變量，可以表示成 ，其中是比高階的無窮小，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可微，稱為的線性主部，又稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分，記為或，即.微分的計(jì)算，其中,為自變量.一階微分形式不變性對于函數(shù),不論是自變量還是因變量,總有成立.7. 求導(dǎo)公式 微分公式表3.1給出了基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及微分公式.表3.1求導(dǎo)與微分公式求導(dǎo)公式微分公式基本初等函數(shù)求

26、導(dǎo)公式 基本初等函數(shù)微分公式 對求導(dǎo)公式作如下兩點(diǎn)說明:(1) 求導(dǎo)公式表示函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，即=,(2) 求導(dǎo)公式表示函數(shù)對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即=.8. 求導(dǎo)法則 微分法則求導(dǎo)法則,微分法則見下表3.2復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法表3.2 求導(dǎo)與微分法則表求導(dǎo)法則微分法則函數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)法則函數(shù)的四則運(yùn)算微分法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 復(fù)合函數(shù)微分法則設(shè)函數(shù)，,則函數(shù)的微分為，此式又稱為一階微分形式不變性參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，則 或 =反函數(shù)求導(dǎo)法則設(shè)的反函數(shù)為，則或 9. 微分近似公式（1）微分進(jìn)行近似計(jì)算的理論依據(jù)對于

27、函數(shù),若在點(diǎn)處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)很小時(shí)，有函數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分, 即有近似公式.(2) 微分進(jìn)行近似計(jì)算的4個(gè)近似公式設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)，當(dāng)很小時(shí)，有近似公式，即， 令，則， 特別地，當(dāng)，很小時(shí)，有 . 二、主要解題方法1用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法例1 求在處的導(dǎo)數(shù).解 由導(dǎo)數(shù)的定義知.例2 求 ，的導(dǎo)數(shù).解 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以 ，因此 ，于是 小結(jié) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，除了在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù)定義求之外，其余點(diǎn)則仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求得.2 用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的方法例3 設(shè)求.解 ，.例 4 設(shè) 求 .解 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，得.小結(jié) 若函

28、數(shù)變形后能簡化求導(dǎo)運(yùn)算，應(yīng)先簡化后再求導(dǎo)，在求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)更要注意這一點(diǎn).另外，還要注意應(yīng)用四則運(yùn)算法則的前提條件是：函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，否則法則失效.如在點(diǎn)，用四則運(yùn)算法則求導(dǎo)，不存在，但由例1知 在的導(dǎo)數(shù)為0.對于復(fù)合函數(shù)，要根據(jù)復(fù)合結(jié)構(gòu)，逐層求導(dǎo)，直到最內(nèi)層求完，對例4中括號(hào)層次分析清楚，對掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)是有幫助的.3對數(shù)求導(dǎo)方法例 5 已知 = ，求.解 兩邊取對數(shù)，得：，兩邊對同一自變量求導(dǎo)，得，.小結(jié) 對數(shù)求導(dǎo)法適合兩類函數(shù)的求導(dǎo)：（1）冪指函數(shù)，（2）函數(shù)是由幾個(gè)初等函數(shù)經(jīng)過乘、除、乘方、開方構(gòu)成的.4隱含數(shù)的求導(dǎo)法例 6 已知 求.解 兩端對求導(dǎo)，得 ，整理得 ，故 ，上式兩端再對

29、求導(dǎo)，得=，將 代入上式，得.小結(jié) 在對隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，要將的表達(dá)式代入中，注意，在的最后表達(dá)式中，切不能出現(xiàn).5由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法例7 設(shè) 求 .解 ，.小結(jié) 求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，不必死記公式，可以先求出微分、，然后作比值，即作微商.求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行，必須分清是對哪個(gè)變量求導(dǎo).6求函數(shù)微分的方法例8 求函數(shù)的微分.解一 用微分的定義求微分， 有. 解二 利用一階微分形式不變性和微分運(yùn)算法則求微分，得 .小結(jié) 求函數(shù)微分可利用微分的定義，微分的運(yùn)算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變量之間是怎樣的復(fù)合關(guān)系，有時(shí)求微分更方

30、便.7利用微分求近似值例9 求的近似值.解 設(shè) ，由近似公式，得 ，取 ，則有 .例10 有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計(jì)每只球需要用銅多少克？（銅的密度為）解 所鍍銅的體積為球半徑從增加時(shí)，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為 ，質(zhì)量為 .小結(jié) 利用公式計(jì)算函數(shù)近似值時(shí)，關(guān)鍵是選取函數(shù)的形式及正確選取.一般要求 便于計(jì)算，越小，計(jì)算出函數(shù)的近似值與精確值越接近.另外，在計(jì)算三角函數(shù)的近似值時(shí)，必須換成弧度.8求曲線的切線方程例11 求曲線的切線，使該切線平行于直線. 解 方程 兩端對求導(dǎo)，得 ， ， ，由于該切線平行于直線 所以有 ， ， ，.因?yàn)榍芯€必在曲線上，

31、所以，將代入曲線方程得 ，解之 ，此時(shí) ，切點(diǎn)的坐標(biāo)為,，切線的斜率分別為 ，因此得切線的方程分別為 ， 即 ， ， 即 .9求函數(shù)的變化率例 12 落在平靜水面上的石頭，產(chǎn)生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動(dòng)的水面面積的增大率為多少？解 設(shè)最外圈波紋半徑為，擾動(dòng)水面面積為，則 兩邊同時(shí)對 求導(dǎo)，得 從而 ， 又 為常數(shù)，故 （類似于勻速直線運(yùn)動(dòng)路程與速度、時(shí)間的關(guān)系），因此 ，故有 .因此，2末受到擾動(dòng)的水面面積的增大率為.小結(jié) 對于求變化率的模型，要先根據(jù)幾何關(guān)系及物理知識(shí)建立變量之間的函數(shù)關(guān)系式.若是相關(guān)變化率模型，求變化率時(shí)要根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，弄清是對哪個(gè)

32、變量的導(dǎo)數(shù).三、學(xué)法建議 1本章重點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，其難點(diǎn)是求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法.2 要正確理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，弄清各概念之間的區(qū)別與聯(lián)系.比如，可導(dǎo)必連續(xù)，反之，不一定成立.可導(dǎo)與可微是等價(jià)的.這里等價(jià)的含義是：函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)必定得出在該點(diǎn)可微，反之，函數(shù)在某點(diǎn)可微，必能推出在該點(diǎn)可導(dǎo).但并不意味著可導(dǎo)與可微是同一概念.導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限，微分是函數(shù)增量的線性主部，在概念上兩者有著本質(zhì)的區(qū)別.3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，不易掌握，怎樣才能達(dá)到事半功倍的效果呢？首先，必須熟記基本的求導(dǎo)公式，其次，對求

33、導(dǎo)公式必須弄清每一項(xiàng)是對哪個(gè)變量求導(dǎo)，如 , 因?yàn)?理解公式還要和微商結(jié)合起來，右邊的微分約分之后必須等于左邊的微商.另外，要想達(dá)到求導(dǎo)既迅速又準(zhǔn)確，必須多做題.但要牢記，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量之比的極限，不能因?yàn)橛辛嘶境醯群瘮?shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則后，就認(rèn)為求導(dǎo)僅是利用這些公式與法則的某種運(yùn)算而忘記了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì). 4利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應(yīng)用，用來求切線、法線方程.其關(guān)鍵是求出切線的斜率及切點(diǎn)的坐標(biāo)；另一類是變化率模型，求變化率時(shí)，一定要弄清是對哪個(gè)變量的變化率，如速度再有一類是用微分近似計(jì)算求某個(gè)量的改變量，解決這類問題的關(guān)鍵是選擇合適的函數(shù)關(guān)系，正確選取及，切莫用中

34、學(xué)數(shù)學(xué)方法求問題的準(zhǔn)確值，否則是不符合題意的.第四章 微分學(xué)的應(yīng)用一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要（一）學(xué)習(xí)要求1.了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理與柯西中值定理.2.會(huì)用洛必達(dá)法則求未定式的極限.3.掌握利用一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法.4.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法，會(huì)解簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.5.會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹性及拐點(diǎn)，能描繪簡單函數(shù)的圖形.重點(diǎn) 用洛必達(dá)法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與圖形凹性及拐點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值的方法以及求簡單一元函數(shù)的最大值與最小值的應(yīng)用題.（二）內(nèi)容提要1. 三個(gè)微分中值定理 羅爾（Rolle

35、）定理如果函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：在閉區(qū)間上連續(xù);在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);,則至少存在一點(diǎn)使. 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點(diǎn)，使得或. 柯西（Cauchy）中值定理如果函數(shù)與滿足下列兩個(gè)條件：在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且,則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .2.洛必達(dá)法則如果;函數(shù)與在某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）可導(dǎo)，且；,則 .注意 上述定理對于時(shí)的型未定式同樣適用,對于或時(shí)的型未定式也有相應(yīng)的法則.3. 函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則有若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)增加；若在內(nèi)，則函數(shù)在上單調(diào)減少.4 . 函數(shù)

36、的極值、極值點(diǎn)與駐點(diǎn) 極值的定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，都有，則稱是函數(shù)的極大值；如果對于該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，都有，則稱是函數(shù)的極小值.函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn). 駐點(diǎn) 使的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn). 極值的必要條件 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處取得極值，那么. 極值第一充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)的某一去心鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)處可導(dǎo),當(dāng)在該鄰域內(nèi)由小增大經(jīng)過時(shí)，如果由正變負(fù)，那么是的極大值點(diǎn)，是的極大值；由負(fù)變正，那么是的極小值點(diǎn)，是的極小值；不改變符號(hào)，那么不是的極值點(diǎn). 極值的第二充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且，則是函數(shù)的極值點(diǎn)

37、，為函數(shù)的極值，且有如果，則在點(diǎn)處取得極大值；如果，則在點(diǎn)處取得極小值.5.函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定存在著最大值和最小值.連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值只可能在區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)或閉區(qū)間的端點(diǎn)處取得.6. 函數(shù)圖形的凹、凸與拐點(diǎn)曲線凹向定義 若在區(qū)間內(nèi)曲線各點(diǎn)的切線都位于該曲線的下方，則稱此曲線在內(nèi)是向上凹的（簡稱上凹，或稱下凸）；若曲線各點(diǎn)的切線都位于曲線的上方，則稱此曲線在內(nèi)是向下凹的（簡稱下凹，或稱上凸）.曲線凹向判定定理 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)， 如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是上凹的. 如果在區(qū)間內(nèi)，則曲線在內(nèi)是下凹的.拐點(diǎn)若連續(xù)曲線上的點(diǎn)是曲線凹、凸部分的分

38、界點(diǎn)，則稱點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn).7. 曲線的漸近線水平漸近線若當(dāng)(或或)時(shí)，有（為常數(shù)），則稱曲線有水平漸近線.垂直漸近線若當(dāng)(或或)（為常數(shù)）時(shí)，有，則稱曲線有垂直漸近線.斜漸近線若函數(shù)滿足， (其中自變量的變化過程可同時(shí)換成或)，則稱曲線有斜漸近線.二 、主要解題方法1 . 用洛必達(dá)法則求未定式的極限的方法例1 求下列極限（1） （2） （3）（4） （5） 解 （1）由于時(shí)，故原極限為型，用洛必達(dá)法則 所以 （分母等價(jià)無窮小代換）.（2） 此極限為，可直接應(yīng)用洛必達(dá)法則 所以 = .（3） 所求極限為型 ，不能直接用洛必達(dá)法則，通分后可變成或型. .（4）所求極限為型，得 （型） =（5）此極

39、限為 型，用洛必達(dá)法則，得不存在，但 .小結(jié) 使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）洛必達(dá)法則可以連續(xù)使用，但每次使用法則前，必須檢驗(yàn)是否屬于或未定型，若不是未定型，就不能使用法則；（2）如果有可約因子，或有非零極限的乘積因子，則可先約去或提出，以簡化演算步驟；（3）當(dāng)不存在時(shí)，并不能斷定也不存在，此時(shí)應(yīng)使用其他方法求極限.2 . 單調(diào)性的判別與極限的求法例2 試證當(dāng)時(shí)，.證 令，易見在內(nèi)連續(xù)，且.當(dāng)時(shí)，可知為上的嚴(yán)格單調(diào)減少函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，可知為上的嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)，即.故對任意 有即 .例 3 求函數(shù)的單調(diào)性與極值.解 函數(shù)的定義域?yàn)? ，令 駐點(diǎn) 列表 -0-0+極小由上表知，單調(diào)減區(qū)間

40、為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值 求函數(shù)的極值也可以用二階導(dǎo)數(shù)來判別，此例中 不能確定處是否取極值，得是極小值.小結(jié) 用單調(diào)性來證明不等式，其方法是將不等式兩邊的解析式移到不等式的一邊，再令此不等式的左邊為函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性；最后利用已知條件與單調(diào)性，得到不等式。由例3知，用二階導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)在某點(diǎn)的極值不需列表也很方便，但它的使用范圍有限，對、及同時(shí)不存在的點(diǎn)不能使用.3. 求函數(shù)的凹向及拐點(diǎn)的方法例4 求函數(shù)的凹向及拐點(diǎn).解 函數(shù)的定義域 ， ， 令 得，列表 1(1,1) 10+0拐點(diǎn)拐點(diǎn) 由此可知，上凹區(qū)間,下凹區(qū)間，曲線的拐點(diǎn)是.小結(jié) 求函數(shù)的凹向與拐點(diǎn)只需用拐點(diǎn)的定義及凹向的判別定理

41、即可，注意拐點(diǎn)也可在使不存在的點(diǎn)取得.4. 求函數(shù)的最大值與最小值的方法例5 求函數(shù) 在區(qū)間上的最大值與最小值 . 解 函數(shù)在上連續(xù)， 由于，令 ， 則 ，在處不存在. 故.小結(jié) 函數(shù)的最大（?。┲凳钦麄€(gè)區(qū)間上的最大（小）值，求最大（?。┲档囊话悴襟E為（1）求出在內(nèi)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)；（2）求出函數(shù)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；（3）比較這些值的大小，其中最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值.5 . 求曲線漸近線的的方法.例6 求下列曲線的漸近線（1） （2） .解 （1）所給函數(shù)的定義域?yàn)?由于 ，可知 為 所給曲線的水平漸近線.由于 ，可知 為曲線的鉛直漸近線.（2）

42、所給函數(shù)的定義域,.由于 ， ，可知 為所給曲線的鉛直漸近線（在的兩側(cè)的趨向不同）.又 ，所以 是曲線的一條斜漸近線.6 . 函數(shù)圖形的描繪例 7 作出函數(shù) 的圖形.解 函數(shù)的定義域， ， ，令 ， 解得 .列表-10+0+0 極小拐點(diǎn) 由上表可知： 極小值， 拐點(diǎn) .（3）漸近線-1 xyO，所以 是水平漸近線，所以 是鉛直漸近線. （4）作圖如圖所示.7 . 求實(shí)際問題的最大值，最小值的方法 例 8 一條邊長為的正方形薄片，從四角各截去一個(gè)小方塊，然后折成一個(gè)無蓋的方盒子，問截取的小方塊的邊長等于多少時(shí)，方盒子的容量最大？解 設(shè)截取的小方塊的邊長為 ，則方盒子的容積為 令 ， 得駐點(diǎn) （不

43、合題意，舍去）由于在內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，由實(shí)際意義可知，無蓋方盒子的容積一定有最大值.因此， 當(dāng)時(shí) 取得最大值.故當(dāng)正方形薄片四角各截去一個(gè)邊長是的小方塊后，折成一個(gè)無蓋方盒子的容積最大 .小結(jié) 求最優(yōu)化問題，關(guān)鍵是在某個(gè)范圍內(nèi)建立目標(biāo)函數(shù)，若根據(jù)實(shí)際問題本身可以斷定可導(dǎo)函數(shù)一定存在最大值或最小值，而在所討論的區(qū)間內(nèi)部有惟一的極值點(diǎn)，則該極值點(diǎn)一定是最值點(diǎn).三 、學(xué)法建議1.本章重點(diǎn)是用洛必達(dá)法則求未定式的極限，利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性與凹向及拐點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極限的方法以及求簡單函數(shù)的最大值與最小值問題.2.中值定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，一定要弄清楚它們的條件與結(jié)論.盡管定理中并沒有指明的確

44、切位置，但它們在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題與研究函數(shù)的性態(tài)方面所起的作用仍十分重要.建議在學(xué)習(xí)過程中借助幾何圖形，知道幾個(gè)中值定理的幾何解釋.3.洛必達(dá)法則求極限時(shí)，建議參照本章例1 中的幾點(diǎn)注意，并且和教科書第二章求極限的方法結(jié)合起來使用.4. 函數(shù)的圖形是函數(shù)的性態(tài)的幾何直觀表示，它有助于我們對函數(shù)性態(tài)的了解，準(zhǔn)確做出函數(shù)圖形的前提是正確討論函數(shù)的單調(diào)性，極值，凹向與拐點(diǎn)以及漸近線等，這就要求讀者按教材中指出的步驟完成.第五章 不定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解原函數(shù)、不定積分的概念及其性質(zhì)2掌握不定積分的基本公式3掌握不定積分的換元法和分部積分法重點(diǎn) 原函數(shù)、不定積分的概

45、念，不定積分的基本公式，不定積分的換元法和分部積分法難點(diǎn) 不定積分的換元法和分部積分法（二）內(nèi)容提要1原函數(shù)與不定積分（1）原函數(shù)設(shè)函數(shù)在某區(qū)間上有定義，若存在函數(shù)，使得在該區(qū)間任一點(diǎn)處，均有,則稱為在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)關(guān)于原函數(shù)的問題，還要說明兩點(diǎn):原函數(shù)的存在問題：如果在某區(qū)間上連續(xù)，那么它的原函數(shù)一定存在（將在下章加以說明）原函數(shù)的一般表達(dá)式：若是的一個(gè)原函數(shù)，則是的全部原函數(shù)，其中為任意常數(shù)(2)不定積分若是在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）稱為在該區(qū)間上的不定積分，記為，即 積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間有如下的互逆關(guān)系：,此式表明，先求積分再求導(dǎo)數(shù)（或求微分），兩種運(yùn)算

46、的作用相互抵消此式表明，先求導(dǎo)數(shù)（或求微分）再求積分，兩種運(yùn)算的作用相互抵消后還留有積分常數(shù)對于這兩個(gè)式子，要記準(zhǔn)，要熟練運(yùn)用2不定積分的基本積分公式不定積分的基本積分公式如下： 3不定積分的性質(zhì)（1）積分對于函數(shù)的可加性，即,可推廣到有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況，即 (2)積分對于函數(shù)的齊次性，即 4分部積分公式 二、主要解題方法1直接積分法例1 計(jì)算（1） ， （2）解 （1）不能直接用公式，用加項(xiàng)減項(xiàng)變換 ，即 =（2）不能直接用公式，用二項(xiàng)和公式展開再利用三角變換 得原式=+=小結(jié) 計(jì)算簡單的不定積分，有時(shí)只需按不定積分的性質(zhì)和基本公式進(jìn)行計(jì)算；有時(shí)需要先利用代數(shù)運(yùn)算或三角恒等變形將被積函數(shù)

47、進(jìn)行整理然后分項(xiàng)計(jì)算2換元積分法（1）第一換元積分法(湊微分法） = .例2 計(jì)算 （1） ， （2）解 （1） 選擇換元函數(shù)使所給積分化為基本積分形式，再求出結(jié)果 為此，令 ，則 ，于是 =為簡便起見，令 這一過程可以不寫出來，解題過程寫成下面形式即可,= （ 稱為湊微分）（2）=小結(jié) 湊微分法一般不明顯換新變量，而是隱換，像上面所做，這樣省掉了回代過程，更簡便（2）第二換元積分法= （其中 是單調(diào)可微函數(shù)） 例3 計(jì)算 （1） ， （2）解（1） 令, 則 , ,于是原式=.（2） 設(shè) , , 于是1原式= = = = 小結(jié) 第二換元法常用于消去根號(hào)，但有時(shí)也用于某些多項(xiàng)式 ，像 也可用函

48、數(shù)的三角代換求出結(jié)果通常 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時(shí)，可令 ,當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時(shí)，可令 , 當(dāng)被積分函數(shù)含有根式 時(shí)，可令 .3. 分部積分法 分部積分的公式為 =.應(yīng)用此公式應(yīng)注意:（1） 要用湊微分容易求出,（2） 比容易求.例4 計(jì)算 （1） ， （2） 解 （1） 選 ， ， , 于是 原式 , 對于 再使用分部積分法,選， , 則 ，,從而 =原式=（）,為了簡便起見，所設(shè) , 等過程不必寫出來，其解題步驟如下:=.（2） = = = =+ =+,式中出現(xiàn)了“循環(huán)”，即再出現(xiàn)了移至左端，整理得=+小結(jié) 此積分一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式,但也用于某些函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、反

49、三角函數(shù)等，對于被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積，還有以及上面所講的等，需多次使用分部積分公式，在積分中出現(xiàn)原來的被積分函數(shù)再移項(xiàng)，合并解方程，方可得出結(jié)果，而且要記住，移項(xiàng)之后，右端補(bǔ)加積分常數(shù)三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是原函數(shù)與不定積分的概念、基本積分公式、換元積分法與分部積分法難點(diǎn)是第一換元積分法，既基本又靈活，必須多下工夫，除了熟記積分基本公式外，還要熟記一些常用的微分關(guān)系式如 ， ，,等等2不定積分計(jì)算要根據(jù)被積函數(shù)的特征靈活運(yùn)用積分方法在具體的問題中，常常是各種方法綜合使用針對不同的問題采用不同的積分方法如 ，先換元，令，再用分部積分法即可， =，也可多次使用分部積分公式3求不定積分比求導(dǎo)數(shù)要難得多，盡管有一些規(guī)律可循，但在具體應(yīng)用時(shí)，卻十分靈活，因此應(yīng)通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗(yàn)，熟悉技巧，才能熟練掌握第六章定積分一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1理解定積分的概念及