淺議數(shù)列發(fā)散的方法

1、幺#石曲il本科學(xué)年論文論文題目：淺議數(shù)列發(fā)散的方法學(xué)生姓名：胡澤軍學(xué)號(hào)：0908290086專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：09級(jí)（2）班指導(dǎo)教師：牛耀明老師完成日期：2010年12月20日論文題目淺議數(shù)列發(fā)散的方法內(nèi)容摘要本文論述了數(shù)列發(fā)散的概念并研究了證明發(fā)散的方法。因?yàn)閿?shù)列發(fā)散是一個(gè)和數(shù)列收斂相 對(duì)應(yīng)的概念，所以本文首先論述了數(shù)列收斂的概念，其后引出數(shù)列發(fā)散的概念，從而進(jìn)一步研 究了數(shù)列發(fā)散的五種方法。本文共涉及到子數(shù)列、無界數(shù)列、和數(shù)列、柯西收斂準(zhǔn)則、和數(shù)項(xiàng)級(jí) 數(shù)等相關(guān)內(nèi)容。關(guān)鍵i司：數(shù)列發(fā)散數(shù)列收斂柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)目錄序言1一、數(shù)列£和數(shù)列同的極限1（一）數(shù)列£和

2、數(shù)列"的極限1（二）數(shù)列發(fā)散21. 數(shù)列發(fā)散的概念22. 利用數(shù)列發(fā)散的定義證明數(shù)列發(fā)散3二、數(shù)列發(fā)散的方法4（-）利用子數(shù)列判別數(shù)列發(fā)散41子數(shù)列42.利用子數(shù)列判別數(shù)列發(fā)散5（-）無界數(shù)列一定發(fā)散6（三）利用柯西收斂準(zhǔn)則的否定敘述判別數(shù)列發(fā)散6（四）收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列的和一定是發(fā)散數(shù)列7（五）利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別數(shù)列的斂散性8參考文獻(xiàn)9序言數(shù)列發(fā)散是一個(gè)和數(shù)列收斂相反的概念，因此，本文從數(shù)列收斂的定義入手，介紹了數(shù)列發(fā) 散的定義，從而進(jìn)一步研究了數(shù)列發(fā)散的幾種重要的方法.一、數(shù)列(丄!和數(shù)列司的極限i創(chuàng)(-)數(shù)列和數(shù)列的極限為了引入數(shù)列發(fā)散的概念，我們有必要先討論 和也這兩個(gè)

3、數(shù)列的極限我們給出數(shù)列收斂的是量泄義.定義：設(shè)有數(shù)列仏, g是有限常數(shù).若對(duì)任意，總存在正整數(shù)£>0,對(duì)任意正整數(shù)w,對(duì)任意正整數(shù)n> n,有an - a < e ,則稱數(shù)列的極限是d (或d是數(shù)列仏訃的極限)或數(shù)列血收斂于 仏訃是收斂數(shù)列)，表為：lima” = a 或仇 t a(ji t 8)ht8數(shù)列&“收斂于0,用邏輯符號(hào)可簡(jiǎn)要表為:lim an = a o * £ > 0.3n en，有 an - a < £">8下血我們結(jié)解決以上兩個(gè)數(shù)列的極限問題.對(duì)于數(shù)列,我們可以利用數(shù)列極限的定義來證明其極限為

4、0證法：直接結(jié)不等式必-d證明：v£>0,要是不等式n n成立，解得丄.取“二v£>o, 3 n丄 - ()v £n即 lim- = o（丄|收斂于0 ）而對(duì)于數(shù)列/?明顯有：v£>0,不等式n-a <e （ aw r且 too）都不成立.原因是：如果 m > °° ,貝9 n ci > +°° > £ n-a< e成立此時(shí)，我們就說數(shù)列時(shí)發(fā)散數(shù)列.（二）數(shù)列發(fā)散通過上一節(jié)的討論，我們初步對(duì)數(shù)列發(fā)散有了一定的了解，現(xiàn)在我們定量的研究數(shù)列發(fā)散的概念數(shù)列發(fā)散的概

5、念定義：設(shè)有數(shù)列an, d是任意實(shí)數(shù)，若存在一個(gè)£>0,對(duì)于任意的正整數(shù)n,總存在正 整數(shù)n>n,有an - a 2 £ ,則稱數(shù)列仏是發(fā)散數(shù)列，如果。是一個(gè)固定的常數(shù)，則稱數(shù)列%在發(fā)散于-相對(duì)于數(shù)列勺收斂于g的邏輯符號(hào)表示法，數(shù)列勺發(fā)散于g也可以用邏輯符號(hào)表示為:lim 色 h a <=> 立 > 0, x/n n+, bn > n，有 atl - a對(duì)于上式，如果d是任意實(shí)數(shù)，那么數(shù)列就在實(shí)數(shù)域上發(fā)散.2.利用數(shù)列發(fā)散的定義證明數(shù)列發(fā)散這種方法是證明數(shù)列發(fā)散很基礎(chǔ)的方法.英思想就是數(shù)列發(fā)散的定義.所以利用這種方證明 數(shù)列發(fā)散，只需證明

6、3£>o,v7vg n3n>ny 有an -ae“ vng n+ ”是證題者給出的，給出n之后，證題的關(guān)鍵就是找一個(gè)£ > 0，使得"> n時(shí), 有不等式an-ce成立.因此，找£是證明數(shù)列發(fā)散問題的關(guān)鍵.例1.證明數(shù)列(-1)"發(fā)散.證法：只需證明，/ae r都不是數(shù)列1)"的極限.證明：30 = 1 ,分兩種情況：當(dāng)cio. fnwn七,3 /:0(奇數(shù))>n，有|(1)/，0 a = q =1 + qn 呂)；當(dāng) a<0. pnwn*, 3 /?0(偶數(shù))>n，有(-1)"&q

7、uot; a = |1 =1 + (- a)>£o；即數(shù)列(-1)"發(fā)散.例2.證明曲在 =1處發(fā)散.證明：日£()二*>0, vng n 3n() > n ,有，心 +1+12nc lim工 0t8 n +1例3證明:數(shù)列(2-(-l)n發(fā)散.證明：30 = 1,分兩種情況證明.當(dāng) a2 吋，vng n+, pn = 2k>ngn冷,有2 ( 1) cl = |1 6t $=;2_(_i)2i_q=|3_q|2當(dāng) a<2 時(shí)，pnwnj bn = 2k>n 伙 wnj,有 £。=1； 從而，v6zg r，有l(wèi)im2-

8、(-l)"ba,即數(shù)列(2-(-1)4發(fā)散.二、數(shù)列發(fā)散的方法(-)利用子數(shù)列判別數(shù)列發(fā)散1. 子數(shù)列討論數(shù)列的斂散性，經(jīng)常要涉及子數(shù)列.現(xiàn)在我們給出子數(shù)列的定義.定義：設(shè)有數(shù)列仏。若你仗= 1,2,3,)是一列正整數(shù),® v v ® vv v 則稱% 是數(shù)列仏的子數(shù)列.在數(shù)列%中，依次任意選取無限多項(xiàng)就是數(shù)列%的一個(gè)在數(shù)列.例如，在數(shù)列中, 依次選取無限多項(xiàng)：就是數(shù)列的一個(gè)在數(shù)列.特別的，選取nk =2k-i與直=2k, ke n+t有”2*-1 :a2k7，"2r *°2 ' °4 ' °6，°

9、，'分別稱為數(shù)列仏”的奇數(shù)列與偶數(shù)列.關(guān)于在數(shù)列ank 的序號(hào)®說明如下：1）吐是£的函數(shù)，即兔=0伙），不同的0就是不同的在數(shù)列.,是子數(shù)列%屮的笫加 項(xiàng)，它是原數(shù)列仏中的第®項(xiàng).2）pkwn* ,總有nkk.顯然，當(dāng)£無限增大時(shí)，®也無限增大.2. 利用子數(shù)列判別數(shù)列發(fā)散我們?cè)谶@一部分給兩個(gè)定理。定理1.若數(shù)列心任意一個(gè)子數(shù)列發(fā)散，則這個(gè)數(shù)列化發(fā)散.定理2.若數(shù)列仏”的奇、偶子列都收斂，但是奇子列收斂于偶z列收斂于b,且.則數(shù) 列"“發(fā)散.下而我們對(duì)上述兩個(gè)定理進(jìn)行證明。證明定理1：（反證法）假設(shè)©收斂，那么乙的

10、任意一個(gè)子數(shù)列必收斂，這與題設(shè)項(xiàng)矛盾.定理1成立，證完.證明定理2:（反證法）假設(shè)仇收斂，那么其奇、偶子列必收斂與用一個(gè)數(shù).這與題設(shè)矛盾.定理2成立，證完.例.證明數(shù)列（一1）"發(fā)散.證明：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)lim（1）" =-1ht8當(dāng)斤為偶數(shù)時(shí)lim（1）" =1數(shù)列（-i）4的奇子列收斂于-1,而偶子列收斂于.由定理2得，數(shù)列1（1）"發(fā)散.（二）無界數(shù)列一定發(fā)散我們知道“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”，那么，無界數(shù)列是否一定發(fā)散呢？定理3無界數(shù)列一-定發(fā)散.證明：（反證法）設(shè)數(shù)列仏”收斂于q，那么由極限定義，一定存在正整數(shù)n,當(dāng)n>n時(shí)，有 一 o|vl,即

11、存在n> n時(shí)，q-lva“vd + l,又令m,加分別為前n-1項(xiàng)中的最大值與最小值，那么又對(duì)任意的正整數(shù)有mina-wmax（7 + l,m即奇數(shù)列有界，從而無界數(shù)列一定發(fā)散.注：證明中的“1”可以是任意正整數(shù)mina,bmaxd,b分別表示兩個(gè)書中的較小值和較 大值.但是注意：定理3的逆命題不成立.例如數(shù)列0,10,1,0,1沒極限，但是有界.例證明數(shù)列仏*發(fā)散. 證法：只需證明數(shù)列押無界.pmwnj要是不等式n2 > m 成立.解得u>4m 取va7對(duì)vmg n+f都存在一個(gè)he n+使得 n2 >m成立.數(shù)列&2無界.數(shù)列”2無界.證完.（三）利用柯西

12、收斂準(zhǔn)則的否定敘述判別數(shù)列發(fā)散柯西收斂收斂準(zhǔn)則：數(shù)列也訃收斂ox/£>0, 3 ne n gn>n ,有柯西收斂收斂準(zhǔn)則的否定敘述：數(shù)列仏發(fā)散« 3£0 > 0 , v ne n pgm°>n ,注：柯西收斂收斂準(zhǔn)則有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):一是它不需要借助數(shù)列以外的任何數(shù)，只需根據(jù)數(shù)列自 身各項(xiàng)之間的相互關(guān)系就能判別該數(shù)列的斂散性；另一個(gè)是它不僅是數(shù)列收斂的充分條件，還是 必要條件。因此，應(yīng)用其否定敘述證明數(shù)列的發(fā)散性是證明數(shù)列發(fā)散的很重要的方法.例.證明若幾=1 +丄+丄+丄，則數(shù)列兒發(fā)散. + + 2m 2m2m2m 2根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則的

13、否定敘述，數(shù)列兒發(fā)散.（四）收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列的和一定是發(fā)散數(shù)列定理：收斂數(shù)列和發(fā)散數(shù)列的和一定是發(fā)散數(shù)列.對(duì)于這個(gè)定理的證明我們可以用反證法.證明：假設(shè)收斂數(shù)列仏”和發(fā)散數(shù)列仇的和數(shù)列是cn,且仏是收斂數(shù)列.那么cn的的任一子數(shù)列必發(fā)散，又因?yàn)閬枴焙统鹗莄”的子數(shù)列所以數(shù)列仏和億必收斂，這與題設(shè)矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立，證完. 例：證明數(shù)列j丄+丿發(fā)散且數(shù)列/?是發(fā)散的數(shù)列由以上定理可知：它們的和數(shù)列丄+刃是發(fā)散數(shù)列5丿證完.（五）利用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別數(shù)列的斂散性我們知道，級(jí)數(shù)的斂散性（收斂于發(fā)散）是借助于它的部分和數(shù)列的斂散性定義的.反 之，數(shù)列的斂散性也可以歸結(jié)為級(jí)數(shù)的斂散性

14、.事實(shí)上，設(shè)有數(shù)列s”.令% = sg = s? _s, = sn .顯然，s =。 +cin即數(shù)列的斂散性可歸結(jié)為級(jí)數(shù)的斂散性，因此，我們可以借助與研究級(jí)數(shù)的斂散性來研 究數(shù)列的斂散性.例.什么是發(fā)散數(shù)列，發(fā)散數(shù)列能求前斤項(xiàng)和嗎？解：發(fā)散數(shù)列就是不能求和，對(duì)于數(shù)列就是一個(gè)典型的發(fā)散數(shù)列，當(dāng)趨于無窮大時(shí)，求和時(shí)沒有極限的，這是發(fā)散數(shù)列的典型特點(diǎn).因?yàn)閿?shù)列也的前比項(xiàng)和為s” = ° +訕,但是當(dāng)/itoo時(shí)，stoo2即s”不收斂.證完.參考文獻(xiàn)1孫清華，21-5&孫昊，數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（上）b.武昌：華中科技大學(xué)出版社，2005.2 周明強(qiáng).數(shù)學(xué)分析b 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002, 43-833 劉玉鏈，傅沛仁，林珥，苑徳馨，劉數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社