數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

1、1 第四節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入考綱傳真 1.理解復數(shù)的概念，理解復數(shù)相等的充要條件.2.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 .3.能進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算，了解兩個具體復數(shù)相加、減的幾何意義1復數(shù)的有關(guān)概念(1)復數(shù)的概念：形如abi(a，br)的數(shù)叫復數(shù)，其中a 叫做復數(shù) z的實部， b 叫做復數(shù)z的虛部 (i 為虛數(shù)單位 )(2)分類：滿足條件 (a，b 為實數(shù) )復數(shù)的分類abi 為實數(shù) ? b0abi 為虛數(shù) ? b0 abi 為純虛數(shù) ? a0 且 b0 (3)復數(shù)相等： abicdi? ac，bd(a，b，c，dr)(4)共軛復數(shù)： abi 與 cdi 共軛? ac，bd(a，

2、b，c，dr)(5)復數(shù)的模：向量oz的模叫做復數(shù) zabi 的模， 記作|z|或|abi|， 即|z|abi|a2b2(a，br)2復數(shù)的幾何意義復數(shù) zabi復平面內(nèi)的點 z(a，b)平面向量 oz(a，b)3復數(shù)的運算(1)運算法則：設 z1abi，z2cdi，a，b，c，dr. (2)幾何意義：復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行如圖給出的平行四邊形 oz1zz2可以直觀地反映出復數(shù)加減法的幾何意義，即ozoz1oz2，z1z2oz2oz1. 2 常用結(jié)論 1(1 i)2 2i，1i1ii，1i1ii.2baii(abi)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nn*

3、)；i4ni4n1i4n2i4n30(nn*)4z z |z|2| z |2，|z1 z2|z1| |z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.基礎自測 1(思考辨析 )判斷下列結(jié)論的正誤 (正確的打“”，錯誤的打“”) (1)復數(shù) zabi(a，br)中，虛部為 bi. () (2)復數(shù)中有相等復數(shù)的概念，因此復數(shù)可以比較大小() (3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)() (4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模. () 答案(1)(2)(3)(4)2.(教材改編 )如圖所示，在復平面內(nèi)，點 a表示復數(shù) z， 則圖中表示 z的共軛復

4、數(shù)的點是 () aabbccddb共軛復數(shù)對應的點關(guān)于實軸對稱 3(教材改編 )設 mr，復數(shù) zm21(m1)i 表示純虛數(shù)，則m的值為 () a1 b1 c 1 d0 a由題意得m210m10，解得 m1，故選 a. 3 4復數(shù)12i2i() ai b1i ci d1i a12i2i12i 2i2i 2i5i5i. 5(教材改編 )設 x，yr，若(xy)(y1)i(2x3y)(2y1)i，則復數(shù) zxyi 在復平面上對應的點位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限d由題意知xy2x3y，y12y1，解得x4，y2.則復數(shù) z42i 在復平面上對應的點位于第四象限，故選d. 復

5、數(shù)的有關(guān)概念1(2018 全國卷 )設 z1i1i2i，則|z|() a0b.12c1d.2 cz1i1i2i1i21i 1i2ii，所以 |z|1. 2(2018 浙江高考 )復數(shù)21i(i 為虛數(shù)單位 )的共軛復數(shù)是 () a1i b1i c1i d1i b21i2 1i1i 1i1i，4 所以復數(shù)21i的共軛復數(shù)為 1i，故選 b. 3(2017 天津高考 )已知 ar，i 為虛數(shù)單位，若ai2i為實數(shù)，則 a 的值為 _2ar，ai2iai 2i2i 2i2a1 a2 i52a15a25i 為實數(shù)，a250，a2. 規(guī)律方法 解決復數(shù)概念問題的策略1 復數(shù)的分類、復數(shù)的相等、復數(shù)的模，

6、共軛復數(shù)的概念都與復數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答與復數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復數(shù)化為代數(shù)形式，即abi a，br 的形式，再根據(jù)題意列出實部、虛部滿足的方程組 即可.2 求復數(shù)模的常規(guī)思路是利用復數(shù)的有關(guān)運算先求出復數(shù)z， 然后利用復數(shù)模的定義求解. 復數(shù)的運算?考法 1復數(shù)的乘法運算【例 1】(1)(2018 全國卷)(1i)(2i)() a3i b3i c3i d3i (2)(2016 全國卷 )設(12i)(ai)的實部與虛部相等，其中a 為實數(shù)，則 a() a3 b 2 c2 d3 (3)若 a 為實數(shù)，且 (2ai)(a2i)4i，則 a() a1 b0 c1 d2 (1)d

7、(2)a(3)b(1)(1i)(2i)2i2ii23i.故選 d.(2)(12i)(ai)a2(12a)i，由題意知 a212a，解得 a3，故選 a.(3)因為(2ai)(a2i)4i，5 所以 4a(a24)i4i.所以4a0，a244.解得 a0.故選 b. ?考法 2復數(shù)的除法運算【例 2】(1)(2018 天津高考 )i 是虛數(shù)單位，復數(shù)67i12i_. (2)(2018 江蘇高考 )若復數(shù) z 滿足 i z12i，其中 i 是虛數(shù)單位，則 z的實部為 _(1)4i(2)2(1)67i12i67i 12i12i 12i6147i12i54i.(2)z12ii12i ii i2i故 z

8、 的實部為 2. ?考法 3復數(shù)的綜合運算【例 3】(1)(2019 太原模擬 )設復數(shù) z 滿足1z1zi，則 z的共軛復數(shù)為 () ai bi c2i d2i (2)(2016 全國卷 )若 z43i，則z|z|() a1 b1 c.4535i d.4535i (3)若復數(shù) z滿足 2z z 32i，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 等于() a12i b12i c12i d12i (1)a(2)d(3)b(1)由1z1zi 得 1zizi.即(1i)z1i，則 z1i1ii，因此 z i，故選 a.6 (2)z43i， z 43i，|z|42325，z|z|43i54535i.(3)設 za

9、bi(a，br)，則 z abi，所以 2(abi)(abi)32i，整理得 3abi32i，所以3a3，b2，解得a1，b2，所以 z12i，故選 b. 規(guī)律方法 復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略1 復數(shù)的乘法 .復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i 的看作一類同類項，不含 i 的看作另一類同類項，分別合并即可.2 復數(shù)的除法 .除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題時要注意把i 的冪寫成最簡形式 .3 復數(shù)的運算與復數(shù)概念的綜合題.先利用復數(shù)的運算法則化簡， 一般化為 abi a， br的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答. (1)(2019 合肥模擬 )已知 i 為

10、虛數(shù)單位，則2i 34i2i() a5 b5i c75125i d75125i (2)(2019 惠州模擬 )已知復數(shù) z的共軛復數(shù)為 z ， 若 z (1i)2i(i 為虛數(shù)單位 )， 則 z() ai bi1 ci1 di (3)(2019 南昌模擬 )設 z的共軛復數(shù)是z ，若 z z 2，z22i，則 z() a.1212i b.1212i c1i d1i (1)a(2)c(3)d(1)法一：2i 34i2i105i2i5，故選 a.7 法二：2i 34i2i2i234i2i 2i34i 34i55，故選 a.(2)由已知可得 z 2i1i2i 1i1i 1i1i，則 z1i，故選 c

11、.(3)對四個選項逐一驗證可知，當z1i 時，符合題意，故選d. 復數(shù)的幾何意義【例 4】(1)(2018 北京高考 )在復平面內(nèi)，復數(shù)11i的共軛復數(shù)對應的點位于 () a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)(2019 鄭州模擬 )若復數(shù) (1i)(ai)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限， 則實數(shù) a 的取值范圍是() a(， 1) b(， 1) c(1，) d(1， ) (1)d(2)b(1)11i1i1i 1i1i21212i，所以11i的共軛復數(shù)為1212i，在復平面內(nèi)對應的點為12，12，位于第四象限，故選d.(2)復數(shù)(1i)(ai)a1(1a)i，其在復平面內(nèi)對應的點(a1,

12、1a)在第二象限，故a10，1a0，解得 a1，故選 b. 規(guī)律方法 與復數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；第二步，把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復平面的點之間的關(guān)系，依據(jù)是復數(shù) abi 與復平面上的點a，b 一一對應 . (1)(2019 廣州模擬 )設 z1i(i 是虛數(shù)單位 )，則復數(shù)2zz2在復平面內(nèi)對應的點位于 () 8 a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限(2)在復平面內(nèi)與復數(shù)z5i12i所對應的點關(guān)于虛軸對稱的點為a，則 a 對應的復數(shù)為() a12i b12i c2i d2i (1)a(2)c(1)因為 z1i， 所以2zz221i(1i

13、)22 1i1i1i12ii22 1i22i1i，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(1,1)，位于第一象限，故選a.(2)依題意得，復數(shù) z5i 12i12i 12ii(12i)2i，其對應的點的坐標是 (2,1)，因此點a(2,1)對應的復數(shù)為 2i. 1(2017 全國卷 )下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是() ai(1i)2bi2(1i) c(1i)2di(1i) ca 項，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是純虛數(shù)b 項，i2(1i)(1i)1i，不是純虛數(shù)c 項，(1i)212ii22i，是純虛數(shù)d 項，i(1i)ii21i，不是純虛數(shù)故選 c. 2(2017 全國卷 )復平面內(nèi)表示復數(shù)zi(2i)的點位于 () a第一象限 b第二象限c第三象限d第四象限czi(2i)12i，復數(shù) z12i 所對應的