《小學奧數(shù)四年級教案學案》第15講-平均數(shù)問題（教）

1、學科教師輔導講義學員編號： 年 級：四年級 課 時 數(shù)：3學員姓名：輔導科目：奧數(shù)學科教師：授課主題 第15講 平均數(shù)問題授課類型T同步課堂P實戰(zhàn)演練S歸納總結教學目標 進一步理解和掌握平均數(shù)應用題的意義和數(shù)量關系 進一步學會以多補少的方法解決平均數(shù)問題，并進一步學習解答稍為復雜的求平均數(shù)應用題授課日期及時段T（Textbook-Based）同步課堂知識梳理 一、基本公式 平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量 總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 總數(shù)量÷平均數(shù)=總份數(shù)二、平均數(shù)問題 日常生活中我們會遇到這樣的問題：幾個杯子中的水有多有少，為了使每個杯子中的水一樣多，就將水多的杯子里的水倒進

2、水少的杯子里，反復幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移多補少”，通常稱之為平均數(shù)問題。 求平均數(shù)問題的基本數(shù)量關系是：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)。解答平均數(shù)問題的關鍵是要求出總數(shù)量和總份數(shù)的，然后根據(jù)基本總量關系式來解答。也可采用假設平均數(shù)的方法，即找一個基數(shù)，用“基數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差之和÷份數(shù)=平均數(shù)”公式求平均數(shù)。典例分析 考點一：用基本關系式求平均數(shù)例1、用4個同樣的杯子裝水，水面的高度分別是8厘米、5厘米、4厘米、3厘米。這4個杯子里水面的平均高度是多少厘米？【解析】利用平均數(shù)問題的基本數(shù)量關系是：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)。根據(jù)已知條件，求出4個

3、杯子里水的總高度，然后除以杯子的個數(shù)，即可求出平均數(shù)。 （8+5+4+3）÷4=5(厘米） 答：這4個杯子里水面的平均高度是5厘米。解：（800+150）÷19=50（秒）答：全車通過長800米的大橋，需要50秒。例2、數(shù)學測試中，一組學生中的最高分為98分，最低分為86分，其余5名學生的平均分為92分。這一組學生的平均分是多少分？【解析】利用平均數(shù)問題的基本數(shù)量關系是：總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)?？倲?shù)量=98+86+92×5=644（分），總份數(shù)=1+5+1=7（人），平均數(shù)=644÷7=92（分），故這一組學生的平均分是92分。例3、明明期中考

4、試語文、數(shù)學、科學的平均分數(shù)是91分，英語成績公布后，他的平均分提高了2分。明明英語考了多少分?【解析】利用基本式：三門課總分數(shù)=91×3=273，四門課總分數(shù)=（91+2）×4=372。英語分數(shù)=372-273=99（分）。 另一種思維方式：平均分提高了2分，也就是說，英語成績比其他三門功課的平均成績多了4個2分，即2×4=8分，那么英語成績=91+8=99（分）考點二：利用基數(shù)法求平均數(shù)例1、求下列20個數(shù)的平均數(shù)：401，398，400，403，399，396，402，402，404，403，399，396，398，398，405，401，400，402，4

5、03，400。 【解析】 解法一：先求出這20個數(shù)的和，即總數(shù)量，再用20個數(shù)的和除以總份數(shù)20，求出平均數(shù)。 因為這20個數(shù)據(jù)比較大，這種解法計算量很大，容易出錯。 解法二：仔細觀察這20個數(shù)據(jù)都接近400，有的比400大，有的比400小，我們可以借鑒移多補少的思想，以400作為基準，把這20個數(shù)都看作400，求出它們比400多出或不足的部分，多出1記作“+1”，不足2記作“-2”，計算時多出和不足的部分讓它們互相抵消，可得這20個數(shù)據(jù)共多出： +1-2+0+3-1-4+2+2+4+3-1 -4-2-2+5+1+0+2+3+0=10，再把多出10平均分給這20個數(shù)據(jù)，所以這20個數(shù)的平均數(shù)是

6、： 400+10÷20=400.5。對于求多個比較接近的大數(shù)的平均數(shù)，直接計算很麻煩，我們可以選擇這些數(shù)最接近的整數(shù)作為基準數(shù)，運用上面的方法解答，計算就簡單多了。例2、王老師為四年級羽毛球隊的同學測量身高。其中兩個同學身高153厘米，一個同學身高152厘米，有兩個同學身高149厘米，還有兩個同學身高147厘米。求四年級羽毛球隊同學的平均身高?！窘馕觥窟@道題可以按照一般思路解，即用身高總數(shù)除以總人數(shù)。還可以采用假設平均數(shù)的方法，容易發(fā)現(xiàn)身高都在150厘米左右，可以假設平均身高為150厘米，把它當做基數(shù)，用“基數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差之和÷份數(shù)=平均數(shù)”公式求解。即有150+（3&

7、#215;2+2-1×2-3×2）÷（2+1+2+2）=150（厘米）考點二：航行中的平均數(shù)問題 例1、兩地相距360千米，一艘汽艇順水行駛完全程需要10小時，已知這條河的水流速度為每小時6千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？【解析】航行中的速度關系：順水速度=船的靜水速度+水流速度 逆水速度=船的靜水速度-水流速度，速度=路程÷時間 用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行完全程所用的時間。由題意可知順水速度=360÷10=36千米/小時，船的靜水速度=36-6=30千米/小時。所

8、以船的逆水速度=30-6=24千米/小時。逆水行全程時所用的時間=360÷24=15（小時） 解:逆水速度360÷10-6-6=24（千米/小時） 逆水走完全程的時間360÷24=15（小時） 平均速度=總路程÷總時間=（360+360）÷（10+15）=28.8千米/小時 答：往返兩地的平均速度是每小時28.8千米。例2、張師傅開汽車從A到B為平地（見下圖），車速是36千米時；從B到C為上山路，車速是28千米時；從C到D為下山路，車速是42千米時.已知下山路是上山路的2倍，從A到D全程為72千米，張師傅開車從A到D共需要多少時間？ 【解析】本

9、題給出BC段與CD段的路程關系，因此可以先求出BD段的平均速度，設BC段的路程為84份，CD段則為168份，則BD段的平均速度=（84+168）÷（）=36（千米/時），與平路的平均速度恰好相同，所以共需時間72÷36=2（小時）考點四：改動中的平均數(shù)例1、有五個數(shù)，平均數(shù)是9。如果把其中一個數(shù)改為1，那么這五個數(shù)的平均數(shù)為8，這個改動的數(shù)原來是多少？ 【解析】 改動前五個數(shù)的和為：9×5=45； 改動后五個數(shù)的和為：8×5=40； 改動后總和比改動前減少了：45-40=5； 所以被改動的數(shù)減少了5，這個數(shù)原來是：1+5=6例2、五一班同學數(shù)學考試平均成

10、績91.5分，事后復查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學的98分誤作89分計算了。經重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.791.5=0.2（分）。9里面包含有45個0.2、五一班就有45名同學。例3、有4個數(shù)，這4個數(shù)的平均數(shù)是21，其中前2個數(shù)的平均數(shù)是15，后3個數(shù)的平均數(shù)是26.那么第二個數(shù)是多少？【解析】根據(jù)“4個數(shù)的平均數(shù)是21”，可以得出4個數(shù)的總和就是21×4=84，又根據(jù)“前2個數(shù)的平均數(shù)是15，后3個數(shù)的平均數(shù)是26”，可以得出他們的總和為15×2+26×3=1

11、08，其中第二個數(shù)被重復算了一次，所以總和多出來的了108-84=24，就是第二個數(shù)。P(Practice-Oriented)實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練 Ø 課堂狙擊1、有4箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱42個，梨、橘子、桃平均每箱36個，蘋果和桃平均每箱37個。一箱蘋果多少個？【解析】（1）1箱蘋果1箱梨1箱橘子=42×3=126（個）； （2）1箱桃1箱梨1箱橘子=36×3=108（個） （3）1箱蘋果1箱桃=37×2=72（個） 由（1）（2）兩個等式可知： 1箱蘋果比1箱桃多126108=18（個），再根據(jù)等式（3）就可以算出：1箱桃有（7418）&#

12、247;2=28（個），1箱蘋果有2818=46（個）。 解:1箱蘋果和1箱桃共有多少個：37×2=74（個） 1箱蘋果比1箱桃多多少個：42×336=18（個） 1箱蘋果有多少個：2818=46（個）2、小英4次數(shù)學測驗的平均成績是92分，5次數(shù)學測驗的平均成績比4次數(shù)學測驗的平均成績提高了1分。小英第5次數(shù)學測驗得了多少分？【解析】5次比4次測驗的平均分提高了1，那么第五次測驗的成績比4次測驗的平均數(shù)多出了5個1分，所以第五次測驗的成績=92+1×5=97（分）3、一輛小轎車，裝有4個輪胎，還有2只備用輪胎，司機適當?shù)剌啌Q這6只輪胎，使每只輪胎行程相同。小車共

13、行駛了360千米，每只輪胎平均行駛了多少千米？【解析】小轎車在任何時候都是4個輪胎同時行駛，小車行駛360千米，即所有6只輪胎共行駛4個360千米：360×4=1440（千米）。 平均每只輪胎的行駛路程為：1440÷6=240（千米）。4、A、B、C、D四個數(shù),每次去掉一個數(shù),將其余下的三個數(shù)求平均數(shù),這樣計算了4次,得到下面4個數(shù) 23, 26, 30, 33。 A、B、C、D 4個數(shù)的平均數(shù)是多少？【解析】A+B+C+A+B+D+A+C+D+B+C+D=3×（23+26+30+33） 3（A+B+C+D）=3（23+26+30+33） A+B+C+D=112A

14、、B、C、D 4個數(shù)的平均數(shù)是285、五個數(shù)排一排，平均數(shù)是9。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是七，后四個數(shù)的平均數(shù)是10，那么第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？【解析】前四個數(shù)平均數(shù)是7，前四個數(shù)的和是7×4=28，第五個數(shù)是45-28=17；后四個數(shù)平均數(shù)是10，后四個數(shù)的和是10×4=40，第一個數(shù)是45-40=5；第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是（17+5）÷2=116、王華的期末考試成績單被弄污了，有兩個字看不清楚，請你想辦法把語文、數(shù)學成績算出來【解析】根據(jù)六門成績的平均成績?yōu)?3分，則能求出總成績?yōu)?3×6=498分，減去另外四門的成績就是數(shù)學語文的總成

15、績，然后根據(jù)數(shù)學成績的個位數(shù)字，推出語文成績，即可得出結論。 解：語文與數(shù)學成績之和83×6-（80+75+90+85）=168（分）因為數(shù)學成績的個位數(shù)為5，則語文成績的個位數(shù)一定是8-5=3，故語文成績是83，數(shù)學成績是85分 答：王華的語文數(shù)學成績分別是83分，85分。Ø 課堂反擊1、小明前幾次數(shù)學測驗的平均成績是84分，這次要考到100分，才能把平均成績提高到86分。問這是他第幾次測驗？【解析】100分比86分多14分，這14分必須填補到前幾次的平均分84分中去，使其平均分成為86分。每次填補86-84=2（分），14分里面有7個2，所以前面已經測驗了7次，這是第8

16、次測驗。2、一艘輪船往返于甲乙兩個碼頭距離為75千米，順水每小時航行25千米，逆水每小時航行20千米。這艘輪船往、返的平均速度是每小時多少千米？【解析】求總時間，然后求出平均速度解: 逆水走完全程的時間75÷20=3.75小時 順水走完全程的時間=75÷25=3小時 平均速度=總路程÷總時間=（75+75）÷（3.75+3）22.22千米/小時 答：往返兩地的平均速度是每小時22.22千米。3、甲、乙、丙、丁四位同學，在一次考試中四人的平均分是90分?？墒?，甲在抄分數(shù)時，把自己的分錯抄成了87分，因此，算得四人的平均分是88分。求甲在這次考試中得了多少分

17、？【解析】算錯平均分為88分，比90分少2分，故甲的分數(shù)算少了4個2分，所以甲的分數(shù)=87+4×2=95（分）4、第三小隊11位少先隊員參加跳繩比賽，他們每分鐘跳繩的個數(shù)分別是92,86,92,87,90,94,91,88,89,92,89，求每個人平均每分鐘跳繩多少個？【解析】可以采用假設平均數(shù)的方法，容易發(fā)現(xiàn)個數(shù)都在90左右，可以假設平均個數(shù)為90個，把它當做基數(shù)，用“基數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差之和÷份數(shù)=平均數(shù)”公式求解。即有90+（2-4+2-3+4+1-2-1+2-1）÷（2+1+2+2）=90（個）直擊賽場 1、（2007年4月"希望杯"四年級2試）趙伯伯為了鍛煉身體，每天步行3小時，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回假設趙伯伯在平路上每小時行4千米，上山每小時行3千米，下山每小時行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少千米？【解析】因為上山和下山是同一段路程，所以可以很快求出上山與