考點53 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（理）考點一遍過

1、考點53 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差（1）理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.（2）理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應用.（3）理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.一、離散型隨機變量的分布列1隨機變量的有關概念隨機變量：隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母，表示離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2離散型隨機變量分布列的概念及性質（1）離散型隨機變量的分布列的概念設離散型隨機變量x可能取的不同值為，x取每一個值

2、(i1，2，n)的概率，則下表稱為隨機變量x的概率分布，簡稱為x的分布列.xp有時也用等式表示x的分布列（2）離散型隨機變量的分布列的性質(i1，2，n)；3必記結論（1）隨機變量的線性關系若x是隨機變量，a，b是常數(shù)，則y也是隨機變量（2）分布列性質的兩個作用利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值隨機變量所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求相關事件的概率二、常見的離散型隨機變量的概率分布模型1兩點分布若隨機變量x的分布列為x01p1pp稱x服從兩點分布，而稱為成功概率2超幾何分布在含有m件次品的n件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有x件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為，k0，1，m，其

3、中mminm，n，且nn，mn，n，m，nn*，稱分布列x01mp為超幾何分布列，如果隨機變量x的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量x服從超幾何分布.3必記結論（1）兩點分布實際上是n1時的二項分布（2）某指定范圍的概率等于本范圍內所有隨機變量的概率和三、離散型隨機變量的均值與方差1離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量x的分布列為：xp（1）稱為隨機變量x的均值或數(shù)學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平（2）稱為隨機變量x的方差，它刻畫了隨機變量x與其均值e(x)的平均偏離程度，其算術平方根為隨機變量x的標準差2均值與方差的性質若yaxb，其中a，b為常數(shù)，則y也是隨機變量

4、，且e(axb)ae(x)b；d(axb)a2d(x)考向一 離散型隨機變量分布列性質的應用分布列的應用主要體現(xiàn)在分布列的性質上的應用，離散型隨機變量的分布列的性質主要有三方面的作用：（1）利用“總概率之和為1”可以求相關參數(shù)的取值范圍或值；（2）利用“離散型隨機變量在一范圍內的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3）可以根據(jù)性質判斷所得分布列結果是否正確.典例1 隨機變量x的分布列為x-101pabc其中a,b,c成等差數(shù)列,則p(|x|=1)等于a bc d【答案】d【解析】因為a,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,又a+b+c=1,所以b=,所以p(|x|=

5、1)=a+c=.典例2 已知隨機變量的分布列為12n-1npx其中nn*,則x的值為a bc d【答案】c【解析】由分布列的性質,得+x=1,即(1-)+(-)+(-)+x=1-+x=1,所以x=.1已知離散型隨機變量x的分布列如下，則常數(shù)c為x01pabc或d2已知隨機變量的分布列為01若，則的值為abcd考向二 離散型隨機變量的分布列、均值與方差1求離散型隨機變量x的分布列的步驟：（1）理解x的意義，寫出x可能取的全部值；（2）求x取每個值的概率；（3）寫出x的分布列.2（1）與排列、組合有關分布列的求法可由排列、組合、概率知識求出概率，再求出分布列（2）與頻率分布直方圖有關分布列的求法可

6、由頻率估計概率，再求出分布列（3）與互斥事件有關分布列的求法弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列（4）與獨立事件(或獨立重復試驗)有關分布列的求法先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列3求解離散型隨機變量x的均值與方差時，只要在求解分布列的前提下，根據(jù)均值、方差的定義求即可.典例3 某省電視臺舉行歌唱大賽,大賽依次設初賽,復賽,決賽三個輪次的比賽.已知某歌手通過初賽,復賽,決賽的概率分別為且各輪次通過與否相互獨立.記該歌手參賽的輪次為(1)求的分布列和數(shù)學期望.(2)記“函數(shù)是偶函數(shù)”為事件,求發(fā)生的概率;【解析】(1的可能取值為,.則的分布列為123.(2)因為是

7、偶函數(shù),所以或故=.典例4 某高校進行自主招生考試,有a、b、c 3個專業(yè)可供選報,每名考生必須選報且只能報其中1個專業(yè),且選報每個專業(yè)的概率相等.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名同學決定參加該校的自主招生考試,且每名同學對專業(yè)的選報是相互獨立的.(1)求甲、乙2名同學都選報a專業(yè)的概率;(2)已知甲、乙2名同學沒有選報同一專業(yè),(i)求這3個專業(yè)恰有1個專業(yè)沒人選報的概率;(ii)這4名同學中選a專業(yè)的人數(shù)記為,求隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差.【解析】(1)每名同學的不同選報方法有3種,因而4名同學的不同選報方法總數(shù)為34,記“甲、乙2名同學都選報a專業(yè)”為事件m,不同的選報方法數(shù)為32

8、,則所求概率為p(m)=.(2)甲、乙2名同學沒有選報同一專業(yè),則不同的選報方法總數(shù)為×32=54.(i)記“這3個專業(yè)恰有1個專業(yè)沒人選報”為事件n,其選報方法數(shù)為×22=24,則所求概率為p(n)=.(ii)隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3,p(=0)=,p(=1)=,p(=2)=,p(=3)=,因而的分布列為0123pe()=0×+1×+2×+3×,d()=(0-)2×+(1-)2×+(2-)2×+(3-)2×.3某“雙一流”大學專業(yè)獎學金是以所學專業(yè)各科考試成績作為評選依據(jù)，分為專

9、業(yè)一等獎學金（獎金額元）、專業(yè)二等獎學金（獎金額元）及專業(yè)三等獎學金（獎金額元），且專業(yè)獎學金每個學生一年最多只能獲得一次.圖（1）是統(tǒng)計了該校年名學生周課外平均學習時間頻率分布直方圖，圖（2）是這名學生在年周課外平均學習時間段獲得專業(yè)獎學金的頻率柱狀圖.（1）求這名學生中獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù)；（2）若周課外平均學習時間超過小時稱為“努力型”學生，否則稱為“非努力型”學生，列列聯(lián)表并判斷是否有的把握認為該校學生獲得專業(yè)一、二等獎學金與是否是“努力型”學生有關？（3）若以頻率作為概率，從該校任選一名學生，記該學生2018年獲得的專業(yè)獎學金額為隨機變量，求隨機變量的分布列和期望.參考公式：，.

10、4我市準備實施天然氣價格階梯制，現(xiàn)提前調查市民對天然氣價格階梯制的態(tài)度，隨機抽查了名市民，現(xiàn)將調查情況整理成被調查者的頻率分布直方圖（如圖）和贊成者的頻數(shù)表如下：年齡（歲）贊成人數(shù)（1）若從年齡在，的被調查者中各隨機選取人進行調查，求所選取的人中至少有人對天然氣價格階梯制持贊成態(tài)度的概率；（2）若從年齡在，的被調查者中各隨機選取人進行調查，記選取的人中對天然氣價格實施階梯制持不贊成態(tài)度的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.考向三 超幾何分布超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考察某類個體個

11、數(shù)x的概率分布超幾何分布是一種常見的離散型隨機變量的概率分布模型，要熟記公式，正確運用.典例5 為參加全國第二屆“登峰杯”科技創(chuàng)新大賽,某市重點中學準備舉辦一次選拔賽,共有60名高二學生報名參加,按照不同班級統(tǒng)計參賽人數(shù),如表所示:班級宏志班珍珠班英才班精英班參賽人數(shù)20151510(1)從這60名高二學生中隨機選出2人,求這2人在同一班級的概率;(2)現(xiàn)從這60名高二學生中隨機選出2人作為代表,進行大賽前的發(fā)言,設選出的2人中宏志班的學生人數(shù)為x,求隨機變量x的分布列和數(shù)學期望.【解析】(1)從這60名高二學生中隨機選出2名的基本事件總數(shù)為=1770,且這2人在同一班級的基本事件個數(shù)為+=4

12、45,故所求概率p=.(2)由題意得x的所有可能取值為0,1,2,則p(x=0)=,p(x=1)=,p(x=2)=,所以x的分布列為x012pe(x)=0×+1×+2×. 典例6 為了統(tǒng)計某市網(wǎng)友2017年的“雙十一”在某淘寶店的網(wǎng)購情況,隨機抽查了該市60名網(wǎng)友當天的網(wǎng)購金額情況,得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計表:網(wǎng)購金額(單位:千元)頻數(shù)頻率(0,0.530.05(0.5,1xp(1,1.590.15(1.5,2150.25(2,2.5180.30(2.5,3yq合計601.00網(wǎng)購金額超過2千元與不超過2千元的顧客的人數(shù)比恰為23.(1)求p,q的值,并補全頻率分布直方圖

13、(如圖);(2)從網(wǎng)購金額超過2千元與不超過2千元的顧客中用分層抽樣的方法抽取15人,若需從這15人中隨機選取3人進行問卷調查,設為選取的3人中網(wǎng)購金額超過2千元的人數(shù),求的分布列和期望.【解析】(1)由題意得,解得,所以p=0.15,q=0.10.如圖所示,補全頻率分布直方圖. (2)用分層抽樣的方法,從中選取15人,則其中網(wǎng)購金額超過2千元的顧客有15×=6(人),網(wǎng)購金額不超過2千元的顧客有15×=9(人),故的所有可能取值為0,1,2,3,則p(=0)=,p(=1)=,p(=2)=,p(=3)=,所以的分布列為0123pe()=0×+1×+2&#

14、215;+3×.5已知某單位甲、乙、丙三個部門共有員工60人，為調查他們的睡眠情況，通過分層抽樣獲得部分員工每天睡眠的時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：甲部門678乙部門5.566.577.58丙部門55.566.578.5（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)？（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，甲部門選出的員工記為a，乙部門選出的員工記為b，假設所有員工睡眠的時間相互獨立，求a的睡眠時間不少于b的睡眠時間的概率；（3）若將每天睡眠時間不少于7小時視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查用x表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量x的分布列與數(shù)

15、學期望6重慶近年來旅游業(yè)高速發(fā)展，有很多著名景點，如洪崖洞、磁器口、朝天門、李子壩等.為了解端午節(jié)當日朝天門景點游客年齡的分布情況，從年齡在2252歲之間的旅游客中隨機抽取了1000人，制作了如圖的頻率分布直方圖.（1）求抽取的1000人的年齡的平均數(shù)、中位數(shù)；（每一組的年齡取中間值）（2）現(xiàn)從中按照分層抽樣抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記這3人中年齡在的人數(shù)為，求的分布列及.考向四 利用均值、方差進行決策均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究

16、隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.典例7 某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、周二兩天內采摘完畢,基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘.由于下雨會影響藥材品質,基地收益如下表所示:周一無雨無雨有雨有雨周二無雨有雨無雨有雨收益20萬元15萬元10萬元7.5萬元若基地額外聘請工人,可在周一當天完成全部采摘任務.無雨時收益為20萬元;有雨時收益為10萬元.額外聘請工人的成本為a萬元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,兩天是否下雨互不影響,基地收益為20萬元的概率為0.36.(1)若不額外聘請工人,寫出基地收益x的分布列及基地的預期收益;(2)該基地是否應該外聘工人,請說明理由.【

17、解析】(1)設下周一無雨的概率為p,由題意得p2=0.36,p=0.6.基地收益x的可能取值為20,15,10,7.5,則p(x=20)=0.36,p(x=15)=0.24,p(x=10)=0.24,p(x=7.5)=0.16,所以基地收益x的分布列為x2015107.5p0.360.240.240.16基地的預期收益e(x)=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4,所以基地的預期收益為14.4萬元.(2)設基地額外聘請工人時的收益為y萬元,則其預期收益e(y)=20×0.6+10×0.4-a=16

18、-a,e(y)-e(x)=1.6- a綜上,當額外聘請工人的成本高于1.6萬元時,不外聘工人;成本低于1.6萬元時,外聘工人;成本恰為1.6萬元時,是否外聘工人均可以.典例8 某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量,質量指標值越大,表明質量越好.記其質量指標值為k,當k85時,產(chǎn)品為一級品;當75k<85時,產(chǎn)品為二級品;當70k<75時,產(chǎn)品為三級品.現(xiàn)用兩種配方(分別稱為a配方和b配方)做實驗,各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質量指標值,得到下面試驗結果(以下均視頻率為概率):a配方的頻數(shù)分布表指標值分組75,80)80,85)85,90)90,95)頻數(shù)10304020

19、b配方的頻數(shù)分布表指標值分組70,75)75,80)80,85)85,90)90,95)頻數(shù)510154030(1)若從b配方產(chǎn)品中有放回地隨機抽取3件,記“抽出的b配方產(chǎn)品中至少1件二級品”為事件c,求事件c的概率;(2)若兩種新產(chǎn)品的利潤率y與質量指標值k滿足關系: y=(其中<t<),從長期來看,投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大?【解析】(1)由題意得p(抽中二級品)=,p(沒抽中二級品)=,則p(c)=1-()3=.(2)由題意得a配方產(chǎn)品利潤率的分布列為yt5t2p0.60.4所以e(a)=0.6t+2t2.b配方產(chǎn)品利潤率的分布列為yt5t2t2p0.70.250.05

20、所以e(b)=0.7t+1.3t2.因為<t<,所以e(a)-e(b)=t(t-)>0,所以e(a)較大.所以從長期來看,投資a配方產(chǎn)品的平均利潤率較大.7為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元，其余3個所標的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望；（2）商場對獎勵總額的預算是30000元，并規(guī)定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成

21、，或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由提示：袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標的面值“既有a元又有b元”110件產(chǎn)品中有3件次品,從中任取2件,可作為隨機變量的是a取到產(chǎn)品的件數(shù) b取到正品的概率c取到次品的件數(shù) d取到次品的概率2已知離散型隨機變量x的分布列為x123p則x的數(shù)學期望e(x)=a b2c d33設隨機變量的概率分布列如下所示：1234則abcd4已知隨機變量的分布列如表所示，若，則的值可能是x123abcd5已

22、知隨機變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為1234pmnabcd6一袋中裝5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取出3只，以表示取出的三只球中的最小號碼，則隨機變量的分布列為a bc d7某12人的興趣小組中,有5名三好學生,現(xiàn)從中任意挑選6人參加競賽,用表示這6人中三好學生的人數(shù),則下列概率等于的是a bc d8有8件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取3件，若x表示取得次品的件數(shù)，則p(x1)= a bc d9若隨機變量x的分布列如下表，且e(x)2，則d(2x3)a2 b3c4 d510已知隨機變量的分布列如下表：101其中成等差數(shù)列，則的值與公差的取值范圍分別是abcd11已知

23、袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n號的有n個(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球,x表示所取球的標號.若=ax+b,e()=1,d()=11,則a+b的值是a1或2 b0或2c2或3 d0或312利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策，應選擇的方案是方案概率a1a2a3a40.255070-20980.30652652820.45261678-10aa1 ba2ca3 da413如圖,旋轉一次圓盤,指針落在圓盤3分處的概率為a,落在圓盤2分處的概率為b,落在圓盤0分處的概率為c,已知旋轉一次圓盤得分的數(shù)學期望為2分,則ab的最大值為a bc d14把半圓弧分成4等份,以這些分

24、點(包括直徑的兩端點)為頂點,作出三角形,從這些三角形中任取3個不同的三角形,則這3個不同的三角形中鈍角三角形的個數(shù)的期望為a bc3d215設隨機變量的分布列（其中），則_16若隨機變量的分布列如表所示，則e（）=_，d(2-1)=_17在一次隨機試驗中，事件發(fā)生的概率為，事件發(fā)生的次數(shù)為，則期望_，方差的最大值為_18一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預期可獲利_元19一廠家向用戶提供的一箱產(chǎn)品共10件，其中有

25、1件次品. 用戶先對產(chǎn)品進行隨機抽檢以決定是否接受. 抽檢規(guī)則如下：至多抽檢3次，每次抽檢一件產(chǎn)品(抽檢后不放回)，只要檢驗到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若3次都沒有檢驗到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶抽檢次數(shù)的數(shù)學期望是_.20已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量,分別記為與,且和的分布列如下:123pa0.10.6123p0.3b0.3(1)求a,b的值;(2)分別計算,的期望與方差,并以此分析甲、乙的技術狀況.21某市交通管理有關部門對年參加駕照考試的歲以下的學員隨機抽取名學員，對他們的科目三（道路駕駛）和科目四（安全文明相關知識）進行兩輪測試，

26、并把兩輪成績的平均分作為該學員的抽測成績，記錄數(shù)據(jù)如下：學員編號科目三成績科目四成績（1）從年參加駕照考試的歲以下學員中隨機抽取一名學員，估計這名學員抽測成績大于或等于分的概率；（2）根據(jù)規(guī)定，科目三和科目四測試成績均達到分以上（含分）才算合格，從抽測的到號學員中任意抽取兩名學員，記為抽取學員不合格的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望22袋中裝有9只球，其中標有數(shù)字1，2，3，4的小球各2個，標數(shù)學5的小球有1個.從袋中任取3個小球，每個小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個小球上的最大數(shù)字.（1）求取出的3個小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）求隨機變量的分布列和期望.23有一名高二學生盼望202

27、0年進入某名牌大學學習，假設該名牌大學有以下條件之一均可錄取：2020年2月通過考試進入國家數(shù)學奧賽集訓隊（集訓隊從2019年10月省數(shù)學競賽一等獎中選拔）：2020年3月自主招生考試通過并且達到2020年6月高考重點分數(shù)線，2020年6月高考達到該校錄取分數(shù)線（該校錄取分數(shù)線高于重點線），該學生具備參加省數(shù)學競賽、自主招生和高考的資格且估計自己通過各種考試的概率如下表：省數(shù)學競賽一等獎自主招生通過高考達重點線高考達該校分數(shù)線0.50.60.90.7若該學生數(shù)學競賽獲省一等獎，則該學生估計進入國家集訓隊的概率是0.2.若進入國家集訓隊，則提前錄取，若未被錄取，則再按、順序依次錄?。呵懊嬉呀?jīng)被錄

28、取后，不得參加后面的考試或錄取.（注：自主招生考試通過且高考達重點線才能錄取）（1）求該學生參加自主招生考試的概率；（2）求該學生參加考試的次數(shù)的分布列及數(shù)學期望；（3）求該學生被該校錄取的概率.242020年開始，國家逐步推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中語文、數(shù)學、外語三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求，結合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中自選3門參加考試（6選3），每科目滿分100分.為了應對新高考，某高中從高一年級1000名學生（其中男生550人，女生450人）中，根據(jù)性別分層，采用

29、分層抽樣的方法抽取名學生進行調查.（1）已知抽取的名學生中含男生55人，求的值；（2）為了了解學生對自選科目中“物理”和“地理”兩個科目的選課意向，對在（1）條件下抽取到的名學生進行問卷調查（假定每名學生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目），如表是根據(jù)調查結果得到的列聯(lián)表，請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關？說明你的理由.選擇“物理”選擇“地理”總計男生10女生25總計（3）在抽取到的選擇“地理”的學生中按分層抽樣抽取6名，再從這6名學生中隨機抽取3人，設這3人中女生的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.050.013.8416.

30、63525某地有種特產(chǎn)水果很受當?shù)乩习傩諝g迎，但該種水果只能在9月份銷售，且該種水果只能當天食用口感最好，隔天食用口感較差.某超市每年9月份都銷售該特產(chǎn)水果，每天計劃進貨量相同，進貨成本每公斤8元，銷售價每公斤12元；當天未賣出的水果則轉賣給水果罐頭廠，但每公斤只能賣到5元.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當?shù)貧鉁胤秶幸欢P系.如果氣溫不低于30度，需求量為5000公斤；如果氣溫位于，需求量為3500公斤；如果氣溫低于25度，需求量為2000公斤.為了制定今年9月份訂購計劃，統(tǒng)計了前三年9月份的氣溫范圍數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：氣溫范圍天數(shù)414362115以氣溫范圍位于各區(qū)間的頻率代替氣溫范

31、圍位于該區(qū)間的概率（1）求今年9月份這種水果一天需求量（單位：公斤）的分布列和數(shù)學期望；（2）設9月份一天銷售特產(chǎn)水果的利潤為（單位：元），當9月份這種水果一天的進貨量（單位：公斤）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為多少？26某賣饅頭的商販每天以3元/斤的價格購進面粉,將其全部做成饅頭,然后以0.5元/個的價格出售饅頭,每個饅頭內含面粉0.1斤,如果當天賣不完,剩下的饅頭以0.2元/個的價格賣給飼料場.根據(jù)以往的統(tǒng)計資料,得到該商販一天的面粉需求量的頻率分布直方圖如圖所示,若某天該商販購進了80斤面粉,以x(單位:斤)(其中50x100)表示一天的面粉的需求量,t(單位:元)表示一天的利

32、潤.(1)求該天該商販的利潤t關于需求量x的函數(shù);(2)在頻率分布直方圖的需求量分組中,以區(qū)間的中間值作為該區(qū)間的需求量,以頻率作為概率,求t的分布列和數(shù)學期望.27網(wǎng)約車的興起豐富了民眾出行的選擇，為民眾出行提供便利的同時也解決了很多勞動力的就業(yè)問題.據(jù)某著名網(wǎng)約車公司“滴滴打車”官網(wǎng)顯示，截止目前，該公司已經(jīng)累計解決退伍軍人轉業(yè)為兼職或專職司機三百多萬人次，梁某即為此類網(wǎng)約車司機，據(jù)梁某自己統(tǒng)計某一天出車一次的總路程數(shù)可能的取值是20、22、24、26、28、30單位：km，它們出現(xiàn)的概率依次是0.1、0.2、0.3、0.1、t、2t（1）求這一天中梁某一次行駛路程x的分布列，并求x的均值

33、和方差；（2）網(wǎng)約車計費細則如下：起步價為5元，行駛路程不超過3km時，租車費為5元，若行駛路程超過3km，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費依據(jù)以上條件，計算梁某一天中出車一次收入的均值和方差28某魚池年初放養(yǎng)一批魚苗,為了解這批魚苗的生長、健康狀況,一個月后,從該魚池中隨機撈出n條魚稱其重量(單位:克),并將所得數(shù)據(jù)進行分組,得到如下頻率分布表.(1)求頻率分布表中的n,x,y的值;(2)從撈出的重量不超過100克的魚中,隨機抽取3條作病理檢測,記這3條魚中,重量不超過90克的魚的條數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望.分組頻數(shù)頻率(80,9030.03(90,10070.07

34、(100,110x0.10(110,12020y(120,130350.35(130,140200.20(140,15050.05合計n1.0029某大型商場今年國慶期間累計生成2萬張購物單，從中隨機抽出100張，對每單消費金額進行統(tǒng)計得到下表：消費金額(單位：元)(0,200(200,400(400,600(600,800(800,1000購物單張數(shù)252530由于工作人員失誤，后兩欄數(shù)據(jù)無法辨識，但當時記錄表明，根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制成的頻率分布直方圖所估計出的每單消費額的中位數(shù)與平均數(shù)恰好相等.用頻率估計概率，完成下列問題：（1）估計今年國慶期間該商場累計生成的購物單中，單筆消費額超過800元

35、的概率；（2）為鼓勵顧客消費，該商場計劃在今年國慶期間進行促銷活動，凡單筆消費超過600元者，可抽獎一次.抽獎規(guī)則為：從裝有大小、材質完全相同的5個紅球和5個黑球的不透明口袋中，隨機摸出4個小球，并記錄兩種顏色小球的數(shù)量差的絕對值x，當x=4,2,0時，消費者可分別獲得價值500元、200元和100元的購物券，求參與抽獎的消費者獲得購物券的價值的數(shù)學期望.30據(jù)iec（國際電工委員會）調査顯示，小型風力發(fā)電項目投資較少，且開發(fā)前景廣闊，但受風力自然資源影響，項目投資存在一定風險，根據(jù)測算風能風區(qū)分類標準如下：風能分類一類風區(qū)二類風區(qū)平均風速ms8.5106.58.5假設投資a項目的資金為xx0

36、萬元，投資b項目的資金為yy0萬元，調研結果是：未來一年內，位于一類風區(qū)的a項目獲利30%的可能性為0.6，虧損20%的可能性為0.4；位于二類風區(qū)的b項目獲利35%的可能性為0.6，虧損10%的可能性是0.1，不賠不賺的可能性是0.3.（1）記投資a,b項目的利潤分別為和，試寫出隨機變量與的分布列和期望e,e.（2）某公司計劃用不超過100萬元的資金投資于a,b項目，且公司要求對a項目的投資不得低于b項目，根據(jù)（1）的條件和市場調研，試估計一年后兩個項目的平均利潤之和z=e()+e()的最大值.31某理財公司有兩種理財產(chǎn)品a和b，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結果

37、之間相互獨立）：產(chǎn)品a投資結果獲利40%不賠不賺虧損20%概率131216產(chǎn)品b投資結果獲利20%不賠不賺虧損10%概率p13q 注：p0，q0.（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品a和產(chǎn)品b投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數(shù)p的取值范圍；（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？1（2019年高考浙江卷）設0a1，則隨機變量x的分布列是則當a在（0,1）內增大時，a增大b減小c先增大后減小d先減小后增大2（2018浙江）設0<p<1，隨機變量的分布列是012p則當p在（0，1）內增大時，ad（）

38、減小bd（）增大cd（）先減小后增大dd（）先增大后減小3（2019年高考全國卷理數(shù)）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙

39、兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為x（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，其中，假設，(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性4（2019年高考北京卷理數(shù)）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月a，b兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中a，b兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用a和僅使用b的學生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000（1000

40、，2000大于2000僅使用a18人9人3人僅使用b10人14人1人（1）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月a，b兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用a和僅使用b的學生中各隨機抽取1人，以x表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求x的分布列和數(shù)學期望；（3）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用a的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用a的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由5（2018天津理科）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法

41、從中抽取7人，進行睡眠時間的調查.（i）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（ii）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查.（i）用x表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量x的分布列與數(shù)學期望；（ii）設a為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件a發(fā)生的概率.6（2017天津理科）從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為（1）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個

42、紅燈的概率7（2017山東理科）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結果來評價兩種心理暗示的作用.現(xiàn)有6名男志愿者a1，a2，a3，a4，a5，a6和4名女志愿者b1，b2，b3，b4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（1）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含a1但不包含的概率；（2）用x表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求x的分布列與數(shù)學期望ex.8（2017北京理科）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成

43、兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標y的值小于60的概率；（2）從圖中a，b，c，d四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望e()；（3）試判斷這100名患者中服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫出結論）9（2017新課標全國理科）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)

44、往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量x（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為y（單位：元）.當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，y的數(shù)學

45、期望達到最大值？10（2016新課標全國理科）某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件，在購進機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（1）求的分布列；（2）若要求，確定的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)

46、，在與之中選其一，應選用哪個？變式拓展1【答案】a【解析】由隨機變量的分布列知，.故選a2【答案】a【解析】由題可知隨機變量的期望，所以方差，解得.故選a.3【解析】（1）獲得專業(yè)三等獎學金的頻率為，故這名學生中獲得專業(yè)三等獎學金的人數(shù)為人.（2）每周課外學習時間不超過小時的“非努力型”學生有：其中獲得專業(yè)一、二等獎學金的學生有：人，每周課外學習時間超過小時的“努力型”學生有人，其中獲得專業(yè)一、二等獎學金的學生有人，列聯(lián)表如下所示：“非努力型”學生“努力型”學生總計獲得一、二等獎學金的學生未獲得一、二等獎學金的學生總計計算得，故有的把握認為獲得專業(yè)一、二等獎學金與“努力型”學生的學習時間有關.

47、（3）的可能取值為，則的分布列為：0600150030000.4240.320.1980.058其期望為元.4【解析】（1）結合頻率分布直方圖與頻數(shù)表可得各組的情況如下：年齡（歲）贊成人數(shù)不贊成人數(shù)總人數(shù)故所選取的人中至少有人對天然氣價格階梯制持贊成態(tài)度的概率為：.（2）的可能取值為0，1，2，3，且；.則的分布列為：故.5【解析】（1）由題意，得到分層抽樣共抽?。?+6+615名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，該單位乙部門的員工人數(shù)為：624人（2）由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工，從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機選取一人，基本事件總數(shù)n18，a的睡眠時間不少于b的睡眠時

48、間包含的基本事件（a，b）有12個：（6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8，6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8），a的睡眠時間不少于b的睡眠時間的概率p（3）由題意從丙部門抽出的員工有6人，其中睡眠充足的員工人數(shù)有2 人，從丙部門抽出的員工中隨機抽取3人做進一步的身體檢查用x表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，則x的可能取值為0，1，2，p（x0），p（x1），p（x2），x的分布列為：x012p則e（x）16【解析】（1）年齡平均數(shù)為：，中位數(shù)為（歲）.（2）因為年齡在及的頻率分別為0.15，0.45，

49、故分層抽樣抽取8人中有2人年齡在，6人年齡在.的可能取值為0，1，2， ，則，的分布列為：012故.7【解析】（1）設顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為.且 ， 所以的分布列如下：所以顧客所獲的獎勵額的期望為 （2）根據(jù)商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為元.所以可先尋找使期望為60元的可能方案：當球標有的面值為元和元時，若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.因此可能的面值設計是選擇“”，設此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為.的分布列如下：所以的期望為的方差為 當球標有的面值為元和元時，同

50、理可排除“”、“”的面值設計，所以可能的面值設計是選擇“”， 設此方案中顧客所獲的獎勵額為，則的可能取值為.的分布列如下：所以的期望為的方差為 因為，即兩種方案獎勵額的期望都符合要求，但面值設計方案“”的獎勵額的方差要比面值設計方案“”的方差小，所以應該選擇面值設計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個.考點沖關1【答案】c【解析】a中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量而不是變量，b，d中的量也是一個定值，而c中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2,是隨機變量.本題選擇c選項.2【解析】a【解析】由數(shù)學期望的公式可得e(x)=1×+2×+3×.故選a3【答案】d【解析】易知，則.故選d.4【答案】b【解析】由題意可得，所以，則，由概率的性質可知，因此的值可能是.故選b.5【答案】a【解析】且，則，即，解得.故選a.6【答案】c【解析】隨機變量的可能值為1，2，3，則隨機變量的分布列為故選c7【解析】b【解析】表示抽到三好學生的人數(shù)為3，故基本事件有，概率為.8【答