三次方程求根公式

1、一元三次方程求根公式三次方程新解法 盛金公式解題法Shengjin ' s Formulasand Shengjin ' s Distinguishing Meansand Shengjin ' s Theorems from the Writingsto introduce to you and to solving a problem in mathematics 盛金公式與盛金判別法及盛金定理的運用從這里向您介紹 三次方程應(yīng)用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，并有相 應(yīng)的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較復(fù)雜，缺乏直觀性。范盛金推導(dǎo)出一套直接 用

2、a、b、 c、d 表達(dá)的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新 判別法。盛金公式Shengjin ' s Formulas一元三次方程aXA3 + bXA2 + cX + d=0 , ( a , b , c, d R，且 aO)。重根判別式：A=b 3ac ； B=bc 9ad ； C=c 3bd ， 總判別式： =B 4AC。當(dāng) A=B=0 時，盛金公式(WhenA=B=0 , Shengjin ' s Formula )：X1=X2=X3= b/(3a)= c/b= 3d/c 。當(dāng) =B 4AC>0 時，盛金公式(WhenX =B 4AC>0 ,

3、 Shengjin ' s Formula )： X1=( b(Y1 Y2)/(3a) ；X2， 3=( 2bY1Y2±3 (Y1 Y2)i)/(6a) ； 其中 Y1， 2=Ab 3a ( B±(B 4AC)/2 ， i= 1。當(dāng) =B 4AC=0 時，盛金公式(When =B 4AC =0 , Shengjin ' s Formula)：X1= b/a K； X2=X3= K/2 ，其中 K=B/A , (A 工 0)。當(dāng) =B 4AC<0 時，盛金公式(When =B 4AC<0 , Shengjin ' s Formula )：

4、X仁(b 2Acos( 0 /3)/(3a);X2 , 3= ( b + A(cos( 0/3) ± 3sin( 0 /3)/(3a);其中 0 =arccosT ， T= (2Ab 3aB)/(2A) ， (A>0 ， 1<T<1) 。盛金判別法Shengjin ' s Distinguishing Means ： 當(dāng) A=B=0 時，方程有一個三重實根 ; ： 當(dāng) =B 4AC>0 時，方程有一個實根和一對共軛虛根; ：當(dāng) =B 4AC=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根; ：當(dāng) =B 4AC<0時，方程有三個不相等的實根。盛金定理She

5、ngjin 's Theorems當(dāng)b=0 , c=0時，盛金公式無意義；當(dāng) A=0時，盛金公式無意義；當(dāng)AW0時，盛金公式無意義；當(dāng) T V -1或T > 1時，盛金公式無意義。當(dāng)b=0 , c=0時，盛金公式是否成立？盛金公式與盛金公式是否存在AW0的值？盛金公式是否存在T V -1或T > 1的值？盛金定理給出如下回答：盛金定理 1 ： 當(dāng) A=B=0 時，若 b=0 ，則必定有 c=d=0 （此時，方程有一個三重 實根0,盛金公式仍成立）。盛金定理 2 :當(dāng)A=B=0時，若b0,則必定有 c0（此時,適用盛金公式解題）。盛金定理 3 :當(dāng)A=B=0時，則必定有 C=

6、0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理 4 :當(dāng)A=0時，若BM0,則必定有 > 0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理 5 :當(dāng)A V 0時，則必定有> 0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理 6 :當(dāng) =0時，若B=0，則必定有 A=0 （此時，適用盛金公式解題）。盛金定理 7 :當(dāng) =0時，若 BM0,盛金公式一定不存在AW0的值（此時，適用盛金公式解題） 。盛金定理 8 :當(dāng)< 0時，盛金公式一定不存在AW0的值。（此時，適用盛金公式解題） 。盛金定理 9 :當(dāng)< 0時，盛金公式一定不存在TW-1或TA1的值，即 T出現(xiàn)的值必定是 -1 V TV 1。顯然

7、，當(dāng) AW0時，都有相應(yīng)的盛金公式解題。注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當(dāng)> 0時，不一定有 A V 0。盛金定理表明 ：盛金公式始終保持有意義。任意實系數(shù)的一元三次方程都可以運 用盛金公式直觀求解。當(dāng) =0（d豐0）時，使用卡爾丹公式解題仍存在開立方（When =0,Shengjin ' s formula is not with radical sign, and efficiency higher for solving an equation ）。 與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達(dá)形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率 較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式

8、A=b 3ac； B=bc 9ad； C=c3bd是最簡明的式子，由A、B、C構(gòu)成的總判別式 =B 4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式中的式子 （ B±（B 4AC）/2 具有一元二次方程求根公式的形式， 這些表達(dá)形式體現(xiàn)了數(shù)學(xué) 的有序、對稱、和諧與簡潔美。以上結(jié)論，發(fā)表在海南師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）（第 2 卷，第 2 期； 1989年 12 月，中國海南。國內(nèi)統(tǒng)一刊號： CN46-1014），第 9198 頁。范盛金，一元三次方程的新求根公式與新判別法。（ NATURAL SCIENCE JOURNAL OF HAINAN

9、 TEACHERES COLLEGE , Hainan Province, China. Vol. 2, No. 2； Dec， 19 89 ） , A new extracting formula and a new distinguishing means on the onevariable cubic equation. , Fan Shengjin. PP - 91 98編輯本段以下是傳統(tǒng)解法標(biāo)卑耳式：X1 ax' +三戰(zhàn)柚時為-n斗一元二次 axA2 +bx+c=0可用求根公式 x=求解，它是由方程系數(shù)直接把根表示出來 的公式。這個公式早在公元9世紀(jì)由中亞細(xì)亞的阿爾花拉子模

10、給出。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶至晚在1247年就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一元三次方程的求根公式，歐洲人在400多年后才發(fā)現(xiàn)，但在中國的課本上這個公式仍是以那個歐洲人的名字來命名 的。(數(shù)學(xué)九章等)一元三次方程 axA3 +bxA2 +cx+d=0的求根公式是 1545年由意大利的卡當(dāng)發(fā)表 在關(guān)于代數(shù)的大法一書中，人們就把它叫做卡當(dāng)公式”可是事實上，發(fā)現(xiàn)公式的人并不是卡當(dāng)本從，而是塔塔利亞(Tartaglia N.,約14991557 ).發(fā)現(xiàn)此公式后，曾據(jù)此與許多人進(jìn)行過解題競賽，他往往是勝利者，因而他在意大利名聲大震。醫(yī)生 兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)?shù)弥麃喛偸谦@勝的消息后，就千方百計地找塔塔利亞探聽他的秘密。當(dāng)時學(xué)者們通常

11、不急于把自己所掌握的秘密向周圍的人公開，而是以此為秘密武 器向別人挑戰(zhàn)比賽，或等待懸賞應(yīng)解，以獲取獎金。盡管卡當(dāng)千方百計地想探聽塔塔利亞的秘密，但是在很長時間中塔塔利亞都守口如瓶?？墒呛髞?，由于卡當(dāng)一再懇切要求，而且發(fā)誓對此保守秘密，于是塔塔利亞在 1539 年把他的發(fā)現(xiàn)寫成了一首語 句晦澀的詩告訴了卡當(dāng)，但是并沒有給出詳細(xì)的證明。 卡當(dāng)并沒有信守自己的誓言， 1545 年在其所著重要的藝術(shù)一書中向世人公開了這個解法。他在此書中寫道： " 這一解法來自于一位最值得尊敬的朋友 - 布里西亞的塔塔利亞。塔塔利亞在我的懇求 之下把這一方法告訴了我，但是他沒有給出證明。我找到了幾種證法。證法

12、很難，我 把它敘述如下。 "從此，人們就把一元三次方程的求根公式稱為卡當(dāng)公式。塔塔利亞知道卡當(dāng)把自己的秘密公之于眾后，怒不可遏。按照當(dāng)時人們的觀念，卡當(dāng)?shù)淖龇o 異于背叛，而關(guān)于發(fā)現(xiàn)法則者是誰的附筆只能被認(rèn)為是一種公開的侮辱。于是塔塔利 亞與卡當(dāng)在米蘭市的教堂進(jìn)行了一場公開的辯論。 許多資料都記述過塔塔利亞與卡 當(dāng)在一元三次方程求根公式問題上的爭論，可信的是，名為卡當(dāng)公式的一元三次方程 的求解方法，確實是塔塔利亞發(fā)現(xiàn)的；卡當(dāng)沒有遵守誓言，因而受到塔塔利亞及許多 文獻(xiàn)資料的指責(zé)，卡當(dāng)錯有應(yīng)得，但是卡當(dāng)在公布這一解法時并沒有把發(fā)現(xiàn)這一方法 的功勞歸于自己，而是如實地說明了這是塔塔利亞的發(fā)

13、現(xiàn)，所以算不上剽竊；而且證 明過程是卡當(dāng)自己給出的，說明卡當(dāng)也做了工作?？ó?dāng)用自己的工作對塔塔利亞泄露 給他的秘密加以補充，違背誓言，把秘密公之于世，加速了一元三次方程求根公式的 普及和人類探索一元 n 次方程根式解法的進(jìn)程。不過，公式的名稱，還是應(yīng)該稱為方 塔納公式或塔塔利亞公式；稱為卡當(dāng)公式是歷史的誤會。 一元三次方程應(yīng)有三個根。 塔塔利亞公式給出的只是一個實根。 又過了大約 200 年后， 隨著人們對虛數(shù)認(rèn)識的加 深， 到了 1732 年，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉找到了一元三次方程三個根的完整的表達(dá)式。塔爾塔利亞是意大利人，出生于 1500 年。他 12 歲那年，被入侵的法國兵砍傷 了頭部和舌

14、頭， 從此說話結(jié)結(jié)巴巴， 人們就給他一個綽號 “塔爾塔利亞 ”在（意大利語中， 這是口吃的意思 ），真名反倒少有人叫了，他自學(xué)成才，成了數(shù)學(xué)家，宣布自己找到 了三次方程的的解法。有人聽了不服氣，來找他較量，每人各出 30 道題，由對方去 解。結(jié)果，塔爾塔利亞 30 道三次方程的解全做了出來，對方卻一道題也沒做出來。 塔爾塔利亞大獲全勝。這時，意大利數(shù)學(xué)家卡當(dāng)出場，請求塔爾塔利把解方程的方法 告訴他， 可是遭到了拒絕。 后來卡當(dāng)對塔爾塔利假裝說要推薦他去當(dāng)西班牙炮兵顧問， 還發(fā)誓，永遠(yuǎn)不泄漏塔爾塔利亞解一元三次方程式的秘密。塔爾塔利亞這才把解一元 三次方程的秘密告訴了卡當(dāng)。六年以后，卡當(dāng)不顧原來

15、的信約，在他的著作關(guān)于代 數(shù)的大法中，將經(jīng)過改進(jìn)的三次方程的解法公開發(fā)表。后人就把這個方法叫作 “卡 當(dāng)公式 ”塔爾塔利亞的名字反而被湮沒了，正如他的真名在口吃以后被埋沒了一樣。至于一元四次方程axA4 +bxA3 +cxA2 +dx+e=O 求根公式由卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生弗拉利找到了。關(guān)于三次、四次方程的求根公式，因為要涉及復(fù)數(shù)概念，這里不介紹了。 一元三次、四次方程求根公式找到后，人們在努力尋找一元五次方程求根公式， 三百年過去了，但沒有人成功，這些經(jīng)過嘗試而沒有得到結(jié)果的人當(dāng)中，不乏有大數(shù) 學(xué)家。后來年輕的挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾于1824年所證實，n次方程（n >5沒有公式解。不過，對這個問題的研

16、究，其實并沒結(jié)束，因為人們發(fā)現(xiàn)有些n次方程(n > 5)可有求根公式。那么又是什么樣的一元n次方程才沒沒有求根公式呢？不久，這一問題在 19世紀(jì)止半期，被法國數(shù)學(xué)家伽羅華利用他創(chuàng)造的全新的數(shù) 學(xué)方法所證明，由此一門新的數(shù)學(xué)分支群論”誕生了。一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如axA3+bxA2+cx+d+0的標(biāo)準(zhǔn)型一元三次方程形式化為xA3+px+q=0的特殊型。axA3+bxA2+cx+d=0為了方便，約去a得到xA3+kxA2+mx+ n=0令 x=y-k/3代入方程(y-k/3)A3+k(y-k/3)A2+m(y-k/

17、3)+n=0(y-k/3)A3 中的yA2項系數(shù)是-kk(y-k/3)A2 中的中2項系數(shù)是 k所以相加后 yA2抵消得到 yA3+py+q=0其中 p=(-kA2/3)+mq=(2kA3/27)-(km/3)+n一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據(jù)一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如xA3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應(yīng)該為x=AA(1/3)+BA(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內(nèi)容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：

18、(1 )將x=AA(1/3)+BA(1/3)兩邊同時立方可以得到(2) xA3=(A+B)+3(AB)A(1/3)(AA(1/3)+BA(1/3)(3) 由于 x=AA(1/3)+BA(1/3)，所以(2)可化為xA3=(A+B)+3(AB)A(1/3)x，移項可得(4 ) xA3 3(AB)A(1/3)x (A+B) = 0 ,和一元三次方程和特殊型xA3+px+q=0 作比較，可知(5 ) 3(AB ) a( 1/3 )= p, (A+B)=q，化簡得(6 ) A+B = q , AB = - ( p/3 )人3(7) 這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因

19、為 A和B可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關(guān)于形如ayA2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達(dá)定理，即(8) y1 + y2 =( b/a ) ,y1*y2=c/a(9) 對比(6 )和(8 ),可令 A = y1 , B = y2 , q = b/a , - ( p/3 ) A3 = c/a(10) 由于型為ayA2+by+c=0的一元二次方程求根公式為y1 =-( b +( bA2 4ac ) a(i/2) ) /(2a)y2 =( b ( bA2 4ac ) a(i/2) ) /(2a)可化為(11) y1 = (b/2a)-(b/2a)A2-(c/a)A(1/2)y2

20、= (b/2a)+(b/2a)A2-(c/a)A(1/2)將(9)中的 A=y1， B=y2， q=b/a， -(p/3) A3=c/a 代入( 11)可得(12) A = (q/2)-(q/2)A2( p/3 ) A3 ) A(1/2)B= (q/2)+(q/2)A2( p/3 ) A3) A(1/2)(13) 將 A， B 代入 x=AA(1/3)+BA(1/3) 得(14) x= ( (q/2)-(q/2)A2( p/3 ) A3 ) A(1/2) ) A(1/3)+( (q/2)+(q/2)A2( p/3) A3) A(1/2) ) A(1/3)式 (14) 只是一元三方程的一個實根解，按韋達(dá)定理一元三次方程應(yīng)該有三個根， 不過按韋達(dá)定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了。ax3+bx2+cx+d=0 記： p= ( 27a2d-