備考2022數(shù)學(xué)專題48 中考數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想（原卷版）

1、專題48 中考數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。1.數(shù)形結(jié)合思想的含義數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)

2、研究數(shù)量關(guān)系,尋求代數(shù)問題的解決方法(以形助數(shù)),或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì),解決幾何問題(以數(shù)助形)的一種數(shù)學(xué)思想. 數(shù)形結(jié)合思想使數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，使問題得以解決。2.數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用常見的四種類型（1）實數(shù)與數(shù)軸。實數(shù)與數(shù)軸上的點具有一一對應(yīng)關(guān)系,借助數(shù)軸觀察數(shù)的特點,直觀明了。（2）在解方程(組)或不等式(組)中的應(yīng)用。利用函數(shù)圖象解決方程問題時,常把方程根的問題看作兩個函數(shù)圖象的交點問題來解決;利用數(shù)軸或函數(shù)圖象解有關(guān)不等式(組)的問題直觀,形象,易于找出不等式(組)解的公共部分或判斷不等式組有無公共解。（3）在函數(shù)中的應(yīng)用。借助于圖象研究函數(shù)的性質(zhì)是一種常用

3、的方法,函數(shù)圖象的幾何特征與數(shù)量特征緊密結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法。（4）在幾何中的應(yīng)用。對于幾何問題,我們常通過圖形,找出邊、角的數(shù)量關(guān)系,通過邊、角的數(shù)量關(guān)系,得出圖形的性質(zhì)等。3.數(shù)形結(jié)合思想解題方法“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個最基本的概念, 每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之,數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述.數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,在解決代數(shù)問題時,想到它的圖形,從而啟發(fā)思維,找到解題之路；或者在研究圖形時,利用代數(shù)的知識,解決幾何的問題.實現(xiàn)了抽象概念與具體圖形

4、的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,化難為易,化抽象為直觀.【例題1】（2020遵義）構(gòu)建幾何圖形解決代數(shù)問題是“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性，在計算tan15°時，如圖在rtacb中，c90°，abc30°，延長cb使bdab，連接ad，得d15°，所以tan15°=accd=12+3=2-3(2+3)(2-3)=2-3類比這種方法，計算tan22.5°的值為（）a2+1b2-1c2d12【對點練習(xí)】（2019湖北省仙桃市）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）a bcd【例題2】（2020濟寧）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法如圖，直線yx+5和直線ya

5、x+b相交于點p，根據(jù)圖象可知，方程x+5ax+b的解是（）ax20bx5cx25dx15【對點練習(xí)】（2020株洲模擬）直線y=k1x+b1（k10）與y=k2x+b2（k20）相交于點（2，0），且兩直線與y軸圍城的三角形面積為4，那么b1b2等于 【例題3】（2020通化模擬）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形abcd與邊長為2的正方形aefg按圖1位置放置，ad與ae在同一直線上，ab與ag在同一直線上(1）小明發(fā)現(xiàn)dgbe，請你幫他說明理由(2）如圖2，小明將正方形abcd繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點b恰好落在線段dg上時，請你幫他求出此時be的長(3）如圖3，

6、小明將正方形abcd繞點a繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段dg與線段be將相交，交點為h，寫出ghe與bhd面積之和的最大值，并簡要說明理由【對點練習(xí)】（2020山東日照模擬）問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半即：如圖1，在rtabc中，acb=90°，abc=30°，則：ac=ab探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步研究（1）如圖1，連接ab邊上中線ce，由于ce=ab，易得結(jié)論：ace為等邊三角形；be與ce之間的數(shù)量關(guān)系為 （2）如圖2，點d是邊cb上任意一點，連接ad，作等

7、邊ade，且點e在acb的內(nèi)部，連接be試探究線段be與de之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明（3）當(dāng)點d為邊cb延長線上任意一點時，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段be與de之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論 拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點a的坐標(biāo)為（，1），點b是x軸正半軸上的一動點，以ab為邊作等邊abc，當(dāng)c點在第一象限內(nèi)，且b（2，0）時，求c點的坐標(biāo)一、選擇題1（2020溫州）如圖，在離鐵塔150米的a處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫椋瑴y傾儀高ad為1.5米，則鐵塔的高bc為（）a（1.5+150tan）米b（1.5+150tan）米c（1.5+150sin）米d

8、（1.5+150sin）米2（2020恩施州模擬）如圖，在平行四邊形abcd中，efab交ad于e，交bd于f，de：ea=3：4，ef=3，則cd的長為（）a. 4 b. 7 c. 3 d. 12 3（2020濟南模擬）如圖，拋物線y=2x2+8x6與x軸交于點a、b，把拋物線在x軸及其上方的部分記作c1，將c1向右平移得c2，c2與x軸交于點b，d若直線y=x+m與c1、c2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是（） a2m b3m c3m2d3m 二、填空題4（2020烏魯木齊模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=1且過點（，0），有下列結(jié)論：abc0；a2b+4c=0；25

9、a10b+4c=0；3b+2c0；abm（amb）；其中所有正確的結(jié)論是 （填寫正確結(jié)論的序號）5（2020泰安）如圖，某校教學(xué)樓后面緊鄰著一個山坡，坡上面是一塊平地bcad，bead，斜坡ab長26m，斜坡ab的坡比為12：5為了減緩坡面，防止山體滑坡，學(xué)校決定對該斜坡進行改造經(jīng)地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡如果改造時保持坡腳a不動，則坡頂b沿bc至少向右移 m時，才能確保山體不滑坡（取tan50°1.2）6（2020濟南模擬）如圖，在菱形abcd中，ab=6，dab=60°，ae分別交bc、bd于點e、f，ce=2，連接cf，以下結(jié)論：a

10、bfcbf；點e到ab的距離是2 ；tandcf= ；abf的面積為 其中一定成立的是 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上） 三、解答題7.（2019湖南湘西州）解不等式組：并把解集在數(shù)軸上表示出來8. 我們知道：根據(jù)二次函數(shù)的圖象，可以直接確定二次函數(shù)的最大（?。┲?；根據(jù)“兩點之間，線段最短”，并運用軸對稱的性質(zhì)，可以在一條直線上找到一點，使得此點到這條直線同側(cè)兩定點之間的距離之和最短這種“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，非常有利于解決一些實際問題中的最大（小）值問題請你嘗試解決一下問題：（1）在圖1中，拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的最大值是 _.（2）在圖2中，相距3km的a、b兩鎮(zhèn)位于河岸（近似看做直線

11、cd）的同側(cè)，且到河岸的距離ac=1千米，bd=2千米，現(xiàn)要在岸邊建一座水塔，直接給兩鎮(zhèn)送水，為使所用水管的長度最短，請你：作圖確定水塔的位置；求出所需水管的長度（結(jié)果用準(zhǔn)確值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此問題可以通過數(shù)形結(jié)合的方法加以解決，具體步驟如下： 如圖3中，作線段ab=6，分別過點a、b，作caab，dbab，使得ca= _db= _. 在ab上取一點p，可設(shè)ap= _，bp= _. 的最小值即為線段_和線段_長度之和的最小值，最小值為 _9.（2019山東省濱州市 ）如圖，拋物線yx2+x+4與y軸交于點a，與x軸交于點b，c，將直線ab繞點a逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得直線與x軸交于點d（1）求直線ad的函數(shù)解析式；（2）如圖，若點p是直線ad上方拋物線上的一個動點當(dāng)點p到直線ad的距離最大時，求點p的坐標(biāo)和最大距離；當(dāng)點p到直線ad的距離為時，求sinpad的值10（2019湖南湘西州）如圖，一次函數(shù)ykx+b的圖象與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限交于點a（3，2），與y軸的負(fù)半軸交于點b，且ob4（1）求函數(shù)y和ykx+b的解析式；（2）結(jié)合圖象直接寫出不等式組0kx+b的解集11（2019廣西百色）如圖，已如平行四邊形oabc中，點o為坐標(biāo)頂點，點a（3，0）c（1，2