彎矩剪力與荷載及關(guān)系

1、.彎矩、剪力與分布荷載集度問的關(guān)系 直梁的受力如圖2-11所示，以梁的左端為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)x軸指向右為正，以向上為正。今在的作用區(qū)域內(nèi)取出一微段，設(shè)微段左側(cè)面上的剪力、彎矩分別為、，則右側(cè)面上內(nèi)力相應(yīng)的增加一增量，分別為+及+。由于很小，微段上的荷載集度可視為均布。根據(jù)平衡方程可得略去二階無窮小后，可得26從式(2-10)、式(2-11)又可得以上三式稱為平面荷載作用下的平衡微分方程，它們所代表的微分關(guān)系在直梁中是普遍存在的。若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的右端，x軸以向左為正，則式(2-10)、式(2-11)的右端應(yīng)各加一負(fù)號(hào)。但式(2-12)則不因坐標(biāo)指向的改動(dòng)而影響其正負(fù)號(hào)。從數(shù)學(xué)分析中可知，式(2-

2、10)和式(2-11)的幾何意義分別是：剪力圖上某點(diǎn)處切線的斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小；彎矩圖上某點(diǎn)處的切線的斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小。 根據(jù)這些關(guān)系及式(2-12)，可得出在常見情況下，梁上荷載、剪力圖、彎矩圖三者間的一些關(guān)系： (1)如梁上某一段受向下的均布荷載作用，即為負(fù)值常數(shù)時(shí)，根據(jù)式(2-10)可知，剪力圖為一向右下方傾斜的直線。當(dāng)規(guī)定彎矩圖縱坐標(biāo)以向下為正時(shí)，由式(2-11)可知，梁的彎矩圖為一下凸的二次拋物線。例題27中的剪力圖、彎矩圖即是如此。 (2)若梁上某一段無荷載作用，即=0。仿照上述分析可知，其剪力圖必為一水平直線(剪之為常數(shù))。而彎矩圖則必為一傾斜直線，當(dāng)>0

3、時(shí)，彎矩圖為一向右下方傾斜的直線(見例題2-6圖所示)反之，彎矩圖為一向右上方傾斜的直線。 (3)對(duì)應(yīng)于的橫截面，該截面上彎矩為極大值或極小值。但需指出，對(duì)全梁而言，極值彎矩不一定是最大值彎矩。最大彎矩可能發(fā)生在Q=0的截面上，也可能不在此截面上，而在集中力(包括支反力)或集中力偶作用處的橫截面上。現(xiàn)將梁的彎矩、剪力、荷載間關(guān)系及前面幾個(gè)例題中所見到的Q、M圖特征整理得表21。 利用荷載集度、剪力、彎矩三者間的微分關(guān)系，可以不必寫出剪力和彎矩方程，而方便地繪制梁的剪力圖和彎矩圖。我們稱這種作圖方法為簡易潔。下面舉例說明其應(yīng)用。例題28一外伸梁受均布荷載和集中力的作用，試用簡易法做此梁的剪力圖和彎矩圖。 解：利用平衡方程，求得由于此梁分和兩段，段作用有向下的均布荷載，故剪力圖是向右下方傾斜的直線。段上無荷載，所以剪力圖是水平直線。因此只要知道幾個(gè)特殊截面的剪力值就可畫出剪力圖。根據(jù)以上幾個(gè)特殊截面上的剪力值，畫出剪力圖如例題28圖(b)所示。由圖(b)可知，Q=0的橫截面位置距離點(diǎn)為。 段梁上有向下的均布荷載作用，該段彎矩圖是下凸的二次拋物線。在=的截面處，彎矩有極值，段上無荷載作用，彎矩圖為一根斜直線，該段由于，所以是向右上方傾斜的直線。故只要知道了以