求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法總結(jié)

1、數(shù) 列 求 通 項(xiàng) 公 式 的 典 型 方 法數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n項(xiàng)和公式都可以看作項(xiàng)數(shù)n的函數(shù), 是函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列以通項(xiàng)為綱，數(shù)列的問題，最終歸結(jié)為對(duì)數(shù)列通項(xiàng)的研究， 而數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn可視為數(shù)列 Sn的通項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式方法較多，歸納起來常用的方法主要有一下幾種：歸納法、公式法、累 加法、累乘法、構(gòu)造法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法等等1 歸納法【例1】已知數(shù)列3-,5-,7丄,9丄,試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：4816322 2 2 2練習(xí)1.已知數(shù)列2,4 3,5 4,小，試寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：2n+ 1 n2 + 2n1357579人練習(xí)

2、2.數(shù)列1，-一8， 15，- 24，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()n+1 2n 1n-1 2n+ 1/n+1 2n 1A. an = ( 1)n2+ nB . an ( 1)°2 qn + 3nC. an ( 1)°2 °n + 2nD. an=(-1)n-12. 公式法S1， n= 1，利用an= 'Gc或利用等差、等比通項(xiàng)公式$n Sn-1，nA2.【例2】已知下面各數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn的公式，求a.的通項(xiàng)公式.(2)Sn = 3n 2.2(1)Sn= 2n - 3n；練習(xí)1.已知下面各數(shù)列an的前n項(xiàng)和S的公式，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2(1) Sn n +

3、 n；(2) Sn ；n2 + ；n+ 1.【例3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn = 2an+ 1,求an通項(xiàng)公式.練習(xí)1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a= 1，an+1=門；2&(n= 1,2,3，).求證：數(shù)列 是等比數(shù)列.3. 累加法累加法主要解決形如an anf (n)形式的遞推數(shù)列的求通項(xiàng)問題，該數(shù)列的f( n)具有典型的特點(diǎn)：可以求和.其解題步驟是：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為and -a f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.【例4】已知數(shù)列Q .滿足印=2，兔1二a.，2n，求a.【例5】已知數(shù)列也*滿足6 =丄，an 1 = an 21 ，求an.2 n2 + n練習(xí)1.已

4、知數(shù)列an滿足an廠an2n 1,厲=1，求數(shù)列務(wù)的通項(xiàng)公式 練習(xí)2.已知數(shù)列 乩？中，a =2滿足an1 =an 2n - n,求數(shù)列春的通項(xiàng)公式.練習(xí)3.已知數(shù)列 和中,a"滿足兔“兔 1，求數(shù)列aj的通項(xiàng)公式.Jn +1 +4. 累乘法累加法主要解決形如anan f( n)形式的遞推數(shù)列的求通項(xiàng)問題，該數(shù)列的f(n)具有典型的特點(diǎn)：可以求積.其解題步驟是：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為葩=f(n),利用累乘法(逐差相an加乘)求解.【例6】已知數(shù)列乩滿足ai =1 ,乳二丄，求an .ann + 2練習(xí)1 .已知數(shù)列'an 滿足印=? , an an，求an。3 n +1練習(xí) 2.

5、已知 =3 , an 1 3n 一1 an (n _ 1)，求 an .3n +25. 構(gòu)造等差、等比數(shù)列(構(gòu)造法)構(gòu)造法主要解決形如an 1 =q(n)an - p(n)( p = 0,q =1)類型的問題，其基本策略是對(duì)ani二qan p進(jìn)行變形，使其可以變?yōu)橐粋€(gè)新的等比或等差數(shù)列，求出新的等差或等比數(shù)列 的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出：n ?的通項(xiàng)公式.類型 1： an 1 =qan p，(p = 0,q =1)基本策略：若數(shù)列滿足anqan p (q, p為常數(shù))，則可考慮待定系數(shù)法設(shè)an 1 -X二q an -x (其中x為待定系數(shù)，滿足qx p，構(gòu)造新的輔助數(shù)列a. -x是首項(xiàng)為-x 公比為

6、q的等比數(shù)列，求出an-x再進(jìn)一步求通項(xiàng)an【例7】已知數(shù)列、an 中，C =1， an2an 3，求an.練習(xí)1 .已知數(shù)列&滿足a1 = 1，an 2an 1，求an的通項(xiàng)公式.練習(xí)2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn an = 2n T(n N ”)，求an的通項(xiàng)公式.類型 2： an 1 二qan f(n)(q =1)【例8】已知數(shù)列an滿足an3an 2 3n 1, a3，求數(shù)列6的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an*=3an+2Tn+1轉(zhuǎn)化為 攀2+三，進(jìn)而求3333出亠(an 4 _ an -2 )亠(an -2 (尹一尹(產(chǎn)a232號(hào)，即得數(shù)列.3的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.練習(xí)1.數(shù)列an滿足印=2，且az =2a 2n1(n Z )，求數(shù)列 佝的通項(xiàng)公式.練習(xí)2.已知數(shù)列an滿足an2an 3 5n, a 6，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。6取倒數(shù)法【例9】已知數(shù)列an滿足ai = 2, a” 1 = a/；，則數(shù)列1是否為等差數(shù)列？說明理由. 練習(xí)1. an啞