測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

1、測(cè)度論基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)1集合論1.1集合與基本運(yùn)算概念：具有一定性質(zhì)的對(duì)象構(gòu)成的全體（不嚴(yán)格定義）。中間含有的對(duì)象叫元素。全集：要研究的問(wèn)題涉及到的最大集合。空集：沒(méi)有任何元素的集合。表達(dá)方法：X （集合元素x）|x應(yīng)該有的性質(zhì)元素與集合的關(guān)系：X，A, x?A集合之間的關(guān)系只有包含或者不包含若對(duì)于任意元素 X A, X B則A包含于B （證明就用這個(gè)方法），A是B的子集（A B 則為B的真子集）包含的特殊情況相等：A=B就是A包含于B同時(shí)B包含于A真子集：A包含于B但A B集合的運(yùn)算 單個(gè)元素的幕集-對(duì)于一個(gè)集合X,它的幕集表示所有其子集為元素構(gòu)成的集合。這種以集合為元素的集合，也叫集合族。 兩

2、個(gè)集合的運(yùn)算交：A B=x| x A 且 x B并：A B=x| x A 或 x B差：AB （或?qū)懗?A-B） =x| x A 且 x?BAC補(bǔ)： =UA （ U是問(wèn)題要研究的全集）于是有等式AB=A ：:積：（直積）AX B=（x,y）| x A且y B （把A、B中元素構(gòu)成有序?qū)Γ?多個(gè)元素的運(yùn)算多個(gè)交表示所有以入為角標(biāo)的集合的并，要求入，1稱為指標(biāo)集。類似有多個(gè)并注：可以是無(wú)窮個(gè)1【例】 hx| x> " /, A=x| x>0，則 A=集合的分析相關(guān)性質(zhì)門 DO |j|8 A 上限集：一列集合 f ，定義上限集為。類似于數(shù)列的上極限。 下限集：一列集合 C ，定

3、義下限集為.|"。類似于數(shù)列的下極限。 集合列的極限：當(dāng)上限集等于下限集時(shí)極限存在，就是上限集(或下限集)。 單調(diào)集合列：若始終有'包含于；，也就是集合越來(lái)越大，則為遞增集合列；反之，若始終有-人，則為遞減列。Alim A ijs Alim A 門閃 A若:為遞增列，則有極限='；若為遞減列，則有=''O1.2映射定義：X、Y是兩個(gè)集合，對(duì)任意x X，存在唯一的y=f(x) Y與之對(duì)應(yīng)，則對(duì)應(yīng)法則f 為X到Y(jié)的一個(gè)映射，記為f:X tY o像集：對(duì)于X的一個(gè)子集A，像集f(x)| x A記為f(A)，顯然包含于Y原像集：對(duì)于Y的一個(gè)子集B,原像集x|

4、x ：一匚 m 一口記為：'滿射：f(X)=Y,即Y中所有元素都是像單射：X中不同元素一定對(duì)應(yīng) Y中不同的像雙射：既是單射又是滿射。雙射是一一對(duì)應(yīng)的映射。逆映射：對(duì)于雙射，建立一種Y到X的雙射，將像映射到原像上。記為：Yt X復(fù)合映射：f：XT Y, g:YT乙它們的復(fù)合g o f:XT乙寫(xiě)成g(f(X)函數(shù)，一個(gè)R (n維實(shí)數(shù)向量)到 R (實(shí)數(shù))上的映射性質(zhì)(映射與交并運(yùn)算順序可交換性)對(duì)于f:XT Y, X若干個(gè)子集：,Y若干個(gè)子集'a a f(U )=Uf)廠3叮=uL®)f(J包含于(只有這一個(gè)不一定等于！)3不等于的例子：A-1 , B-1, f(x)-|

5、x|，則 f(A門 B)工 f(A) °f(B)門廠仞用集合相等定義可證明。1.3集合的勢(shì)對(duì)等：如果集合 A和B之間可以建立雙射，則 A對(duì)等于Bo記為AB 性質(zhì)：A到B有單射t A與B子集對(duì)等A到B有滿射t B與A子集對(duì)等 AB, BC,貝y AC (傳遞性) AC, BD，貝U AX BCX D判定：(康托一伯恩斯坦定理)若集合 X與Y的一個(gè)真子集對(duì)等而且 Y與X的一個(gè)真子集 對(duì)等，則XY基數(shù)：有限個(gè)元素的集合為元素個(gè)數(shù)。勢(shì)：若兩個(gè)集合對(duì)等，則定義它們的勢(shì)相等。在有限個(gè)元素的情況下，勢(shì)就是基數(shù)。無(wú)限個(gè)元素的情況下，定義自然數(shù)集的勢(shì)是 (阿列夫0)。A的勢(shì)用|A|表示。若A與B的一個(gè)

6、子集對(duì)等，則|A|B|，若與B的真子集對(duì)等，則1.4可數(shù)集可數(shù)集：與自然數(shù)集對(duì)等的稱為可列集，元素有限的集合和可列集統(tǒng)稱可數(shù)集。性質(zhì)：任何無(wú)窮集合都包含可列子集 可數(shù)集的子集還是可數(shù)集 兩個(gè)可數(shù)集的交、并還是可數(shù)集 可數(shù)集和可數(shù)集的直積還是可數(shù)集定理：有理數(shù)集是可列集，實(shí)數(shù)不是可列集。(有理數(shù)可列證明就把每一個(gè)有理數(shù)p/q映射到(p,q)點(diǎn)，則有理數(shù)和ZX N對(duì)等。實(shí)數(shù)不可列證明方法有多種，可用閉區(qū)間 套定理、有限覆蓋定理、十進(jìn)制小數(shù)展開(kāi)等方法)定義實(shí)數(shù)的勢(shì)是 c=定理：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的間斷點(diǎn)集是可數(shù)集。證明思路：不妨設(shè)單調(diào)遞增。間斷點(diǎn)x0左右必有界，否則不單調(diào)。f(x0-0)和f(x0+0)之間必

7、有有理數(shù)rx0，而且x0不同的話每個(gè)區(qū)間(f(x0-0),f(x0+0)不會(huì)相交，否則不單 調(diào)。所以間斷點(diǎn)和有理數(shù)子集rx0建立雙射，是可數(shù)的。不可數(shù)集性質(zhì)：一個(gè)集合子集不可數(shù)，則它不可數(shù)A不可數(shù)，B可數(shù)，則 AAUB2. n維歐式空間極其簡(jiǎn)單的性質(zhì)2.1定義向量與運(yùn)算：(略)這部分詳見(jiàn)線性代數(shù)或者解析幾何書(shū)定義的向量及運(yùn)算(加、減、模、內(nèi)積)、距離等。一些常用的集合：開(kāi)球：B(x,r)(以x為球心，r為半徑的球內(nèi)部)就是y *|d(x,y)<r (d(x,y)是x、y的距離)閉球：上面改為 d(x,y)丄r有界集：包含于一個(gè)開(kāi)球的集合。2.2分析相關(guān)的概念點(diǎn)列的極限點(diǎn)： 在 k趨于 時(shí)

8、與定點(diǎn)x的距離趨向于0,則x為p 極限點(diǎn)。聚點(diǎn)和導(dǎo)集：若對(duì)于 ，點(diǎn)I為圓心的任何開(kāi)球內(nèi)都有無(wú)數(shù)個(gè) （中的點(diǎn)，貝y I為 聚點(diǎn)。一個(gè)集合 A的所有聚點(diǎn)構(gòu)成的集合叫A的導(dǎo)集，記為 A'若勺總A且不是A的聚點(diǎn)則為A的孤立點(diǎn)，孤立點(diǎn)集記為AA'注：聚點(diǎn)未必屬于集合，比如0,1所有有理數(shù)構(gòu)成的集合聚點(diǎn)是0,1中所有數(shù)，包括無(wú)理數(shù)。但是定義孤立點(diǎn)屬于集合。定理：若是點(diǎn)集A的聚點(diǎn)，貝U A中存在一個(gè)點(diǎn)列趨向-。內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)（記為兒）:存在一個(gè)以它為球心有一個(gè)開(kāi)球包含在A中邊界點(diǎn)（記為臼山）：以它為圓心有一個(gè)所有開(kāi)球不包含在A中，但都有A中的點(diǎn)（用幾何圖像很好理解）定理：aaa=a （用集

9、合相等的定義證出）J （用幾何圖像很好理解）閉包A的閉包定義為 A與A'的并。稱A在A的閉包中稠密。（閉包在幾何圖像上可以理解為一個(gè) 圖形加上它的邊界組成的封閉圖形）有若干性質(zhì)，略2.3 n維歐式空間中的集合閉集：閉包等于自己的集合。開(kāi)集：閉集的補(bǔ)集。閉集性質(zhì)：有限個(gè)閉集并還是閉集，任意個(gè)閉集交還是閉集。LT | 1無(wú)限個(gè)閉集并可能是開(kāi)集，比如-=（0,1）開(kāi)集類似：有限個(gè)開(kāi)集交還是開(kāi)集，任意個(gè)開(kāi)集并還是開(kāi)集。、集和集。F集：可數(shù)個(gè)閉集的并。.集：可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交。性質(zhì)：I集的補(bǔ)集是 集注意：一個(gè)集合有可能既是集又是 集！比如半開(kāi)半閉區(qū)間。與矩體的關(guān)系矩體：若干個(gè) R上的區(qū)間直積。半開(kāi)半

10、閉矩體就是若干個(gè)前開(kāi)后閉區(qū)間的直積。性質(zhì)：開(kāi)集一定是可列個(gè)互不相交的半開(kāi)半閉矩體的并。康托集C。開(kāi)始是0,1區(qū)間，然后挖掉中間的三分之一開(kāi)區(qū)間得到0,1/3U2/3,1，再把每個(gè)區(qū)間挖掉中間1/3的開(kāi)區(qū)間，如此往復(fù)，無(wú)數(shù)次的極限就是康托集?？低屑瘜?duì)應(yīng)三進(jìn)制小數(shù) O.XXXXX中只有0,2數(shù)字，沒(méi)有1數(shù)字的小數(shù)。(這個(gè)結(jié)論可以從每 次區(qū)間的端點(diǎn)都保留在集合里來(lái)得到) 性質(zhì)：康托集是非空有界閉集。 勢(shì)是茂。 是完全集C=C' 沒(méi)有內(nèi)點(diǎn)。代數(shù)和博雷爾集 代數(shù)：設(shè)F是X的一些子集構(gòu)成的集合，而且匚二若二帶則；尺:若一列 >pn集合',則. 1 o則稱F是X的一個(gè)代數(shù)。 博雷爾集：

11、n維歐式空間的一切開(kāi)集的最小代數(shù)中的集合。2.4連續(xù)函數(shù)定義：設(shè)f是集合E上面的實(shí)值函數(shù)，若對(duì)任一點(diǎn)i '，任何，均存在；，使得' ：1''"時(shí)|f-f( i)l< '，則f為E上連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)性質(zhì)與微積分中一元函數(shù)類似，不詳述。特殊判定方法： 對(duì)于任何t x| f>t , x(記為E(f>t)是開(kāi)集，則f在E上連續(xù)。大于號(hào)可換為大于等于、小于、小于等于。 若R任意開(kāi)集在f的原像是開(kāi)集，則f在E上連續(xù)。“開(kāi)集”可換為“閉集”。2.5 n維歐式空間的完備性定理有柯西收斂準(zhǔn)則、閉集套定理、有限覆蓋定理、聚點(diǎn)原理，類似于R的情況

12、，不詳細(xì)敘述。3. 勒貝格測(cè)度3.1勒貝格外側(cè)度勒貝格測(cè)度的定義開(kāi)矩體的體積n維歐式空間中的開(kāi)矩體匸="(都是R中的開(kāi)區(qū)間)定義它的體積 |1|=| X' | X-X：' |勒貝格外側(cè)度對(duì)于任意n維歐式空間的集合E,總有可數(shù)個(gè)開(kāi)矩體可以將其覆蓋。定義E外側(cè)度為可數(shù)個(gè)覆蓋它的開(kāi)矩體體積和的下確界，記為'(E)o性質(zhì)：非負(fù)性：(E)'平移不變性：(E)='(E+x), E+x為把集合 E向右平移X。 子集的外側(cè)度：若則)門C) 集合的并的外側(cè)度：n維歐式空間中，()一些集合外側(cè)度的例子： ()=0 單個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的集合外側(cè)度為 0。 可數(shù)集的外側(cè)度是

13、0定義：外側(cè)度為0的集合稱為零測(cè)集。 平面(2為歐式空間)上的任意直線外側(cè)度為0 (即直線面積是 0) 開(kāi)矩體與它的閉包外側(cè)度相等，都等于它的體積。(而且還等于有一部分邊界的矩體的外側(cè)度)可測(cè)集勒貝格測(cè)度 可測(cè)集：如果對(duì)于一個(gè) n維歐式空間中的集合 E,任意n維歐式空間中的集合 T,都有T(T)= " (E1t)+" ()，則稱E為可測(cè)集。n維歐式空間中的所有可測(cè)集的全體記為M(R )。理解：就是用任意一個(gè)集合 T去“檢驗(yàn)”這個(gè)E,與E相交的部分外側(cè)度和 E以外部分的外 側(cè)度加起來(lái)還等于原來(lái) T的外測(cè)度，那么E就是一個(gè)“可以用常理理解”的集合，不至于太“奇怪”，這樣的集合E

14、叫做可測(cè)集。這個(gè)概念不要記錯(cuò)注1不可測(cè)集一定是存在的，但是要舉出不可測(cè)集的例子非常麻煩，要有很多鋪墊，所以 略去。注2:條件可以減弱，只要把任意集合T換成任意開(kāi)矩體I成立即可。證明略?？蓽y(cè)集例子： 零測(cè)集可測(cè)，顯然測(cè)度為 0 開(kāi)矩體可測(cè)勒貝格測(cè)度：當(dāng)一個(gè)集合 E是可測(cè)集的時(shí)候，它的外側(cè)度定義為它的勒貝格測(cè)度，簡(jiǎn)稱測(cè) 度，記為m(E)?？蓽y(cè)集族M(R )是n維歐式空間上的代數(shù) 空集可測(cè) 若E可測(cè)，則可測(cè) 若一列集合'，則'可測(cè)勒貝格測(cè)度的性質(zhì)可列可加性：若一列可測(cè)集合傀兩兩不交，則i) = 冋(亠) 上連續(xù)：若遞增集合列 下連續(xù)：若遞減集合列都可測(cè)則='111'都

15、可測(cè),而且測(cè)度有限，則=A1注:注：康托集可測(cè)，測(cè)度為0。(證明很容易，因?yàn)榭低屑且恍﹨^(qū)間的極限)故測(cè)度為0的集合不一定可數(shù)，康托集不可數(shù)卻測(cè)度為0?？蓽y(cè)集的性質(zhì) 若E是可測(cè)集，則任給， 存在一個(gè)開(kāi)集 G包含E,且m(E/F)， 若E是可測(cè)集，則任給，存在一個(gè)閉子集 F且m(E/F)-證明思路：分情況討論(有界與無(wú)界)證明，有界時(shí)用定義的開(kāi)矩體證明，無(wú)界時(shí) ：一亠二小，開(kāi)集'包含且差集測(cè)度任意小，G= '。對(duì)于取補(bǔ)集再用證。 若E是可測(cè)集，則存在 包含E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè).集稱為E的 包。FFF 若E是可測(cè)集，則存在 包含于E且與E差集測(cè)度為0。這個(gè) 集稱為E的 核。證

16、明較簡(jiǎn)單，用直接證。取'=1/n構(gòu)造集合列。3.2測(cè)度的公理化定義 概率 測(cè)度空間設(shè)X是非空集，F(xiàn)是X上的5弋?dāng)?shù)，若存在把F子集映射為非負(fù)實(shí)數(shù)的函數(shù)'，滿足:若f中集合列r兩兩不交，就有K（ur-A）=2r=i w ()=0 ；則稱-為(X,F上的一個(gè)測(cè)度，稱(X,F,)為一個(gè)測(cè)度空間。 很容易驗(yàn)證勒貝格測(cè)度滿足上述性質(zhì)，故是一個(gè)特殊的測(cè)度。 性質(zhì)單調(diào)性：若 A包含于B貝卜'() 次可加性：')-" 上、下連續(xù)性(同勒貝格測(cè)度)概率若上述測(cè)度還滿足' ' =1,則稱 為一個(gè)概率測(cè)度，簡(jiǎn)稱概率，記為P。上述集合X記為Q ,稱為樣本空間，實(shí)

17、際表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的集合；Q內(nèi)的元素為基本事件。概率滿足測(cè)度的所有性質(zhì)。在下面的討論中不涉及一般測(cè)度空間的性質(zhì)，只涉及勒貝格測(cè)度和少量概率的相關(guān)問(wèn)題。4. 勒貝格可測(cè)函數(shù)4.1廣義實(shí)數(shù)將.看成兩個(gè)數(shù)加入實(shí)數(shù)系中，稱為廣義實(shí)數(shù)。定義的性質(zhì)和運(yùn)算 任意實(shí)數(shù)x，- -<x<+* 略(若干符合直觀意義的運(yùn)算，比如+(+ )= +等加減乘除運(yùn)算) 無(wú)意義的運(yùn)算+ -(+)、(0X 有意義，規(guī)定為0，為了今后證明的方便)廣義實(shí)值函數(shù)把n維歐式空間的點(diǎn)映射到廣義實(shí)數(shù)的函數(shù)。4.2可測(cè)函數(shù)定義：對(duì)于可測(cè)集 E上定義的函數(shù)f,如果對(duì)于任意實(shí)數(shù) t, E(f>t )是可測(cè)集，則稱f在E 上可

18、測(cè)。E可測(cè)函數(shù)全體記為 M(E)。還有一些等價(jià)定義，即把上述大于號(hào)改成大于等于、小于、小于等于都等價(jià)。注：概率論中的“隨機(jī)變量”實(shí)際上就是樣本空間上對(duì)于概率測(cè)度來(lái)說(shuō)的可測(cè)函數(shù)。而上述 的可測(cè)函數(shù)是n維歐式空間中相對(duì)于勒貝格測(cè)度而言的。定理：可測(cè)集上定義的連續(xù)函數(shù)可測(cè)。 可測(cè)集上的指示函數(shù)可測(cè)。(即E上恒為1,其余為0的函數(shù)) R上的單調(diào)函數(shù)可測(cè)。 E若為零測(cè)集則E上任何函數(shù)可測(cè)。 a,b上定義的間斷點(diǎn)集為零測(cè)集的函數(shù)可測(cè)。性質(zhì)：f為E上可測(cè)函數(shù)，則 E(f=")、E(f< ')均可測(cè)。E.川若f在集合列 上可測(cè)，則f在上也可測(cè)。函數(shù)正負(fù)部正負(fù)部概念：對(duì)于函數(shù)f,定義=m

19、axf,0(要是f大于零則為f，小于零則為0) / =max-f,0。定理：f可測(cè)則、I可測(cè)。簡(jiǎn)單函數(shù)：設(shè) E是可測(cè)集，對(duì)于 E的有限個(gè)可測(cè)子集''-上定義的指示函數(shù)的線性組合0®)-乙=% x日稱為簡(jiǎn)單函數(shù)。性質(zhì)：可測(cè)函數(shù)可以表示成若干個(gè)兩兩不交子集上指示函數(shù)之和。 簡(jiǎn)單函數(shù)可測(cè)。0 對(duì)于任意一個(gè)有界非負(fù)可測(cè)函數(shù)f,都存在一個(gè)可簡(jiǎn)單函數(shù)列 一致收斂到f。任意有界可測(cè)函數(shù)可以劃分為負(fù)部和正部，分別用簡(jiǎn)單函數(shù)逼近則非負(fù)條件可以去掉。注：直觀上面好理解， 將有界函數(shù)值域每次二等分，然后每個(gè)值域區(qū)間可以對(duì)應(yīng)到一個(gè)定E E義域子集， 上面定義最大值的常數(shù)函數(shù)(只是函數(shù)的實(shí)數(shù)倍

20、)代替，劃分次數(shù)越多越接-可測(cè)函數(shù)四則運(yùn)算設(shè)f、g是兩個(gè)各自定義域上的可測(cè)函數(shù)，I為使得它們作下面運(yùn)算有意義的集合則cf（c是常數(shù)）、f+g、fg、f/g均在各自的上為可測(cè)函數(shù)。證明思路：cf可測(cè)顯然；對(duì)于f+g用f+g>t等價(jià)于任意有理數(shù) r，f>r且g>t-r ；對(duì)于fg先證，可測(cè)，再用fg=I來(lái)做；f/g只證1/g可測(cè)。4.3可測(cè)函數(shù)列極限的可測(cè)性對(duì)于一列E上的可測(cè)函數(shù) , sup 、inf 均可測(cè)進(jìn)而 上下極限都可測(cè)。幾乎處處成立的命題：指在集合E上，除去零測(cè)集I以外，其他地方處處成立的命題（若F =仍0如則處處成立），記為a.e.E。注：一個(gè)函數(shù)幾乎處處等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，未必幾乎處處連續(xù)，反例是狄利克雷函數(shù)。由于有理數(shù)集可數(shù)所以有理數(shù)集測(cè)度為0,狄利克雷函數(shù)幾乎處處等于0。但是狄利克雷函數(shù)不但不是幾乎處處連續(xù)，而且是處處都不連續(xù)?？蓽y(cè)函數(shù)列的三種收斂 在E上幾乎處處收斂到 f,記為 a.e.E。注：若探討