（整理版）排列組合二項(xiàng)式定理之二――易錯(cuò)篇VIP

1、排列、組合、二項(xiàng)式定理之二易錯(cuò)篇排列組合問題中，元素間的異同關(guān)系，元素的重復(fù)占位等問題錯(cuò)綜復(fù)雜，“分類與“分步各環(huán)節(jié)又相互影響，如果不能審清題意，制定合理、準(zhǔn)確的解題方案，就不可防止地出現(xiàn)“重或“漏的錯(cuò)誤。本文從排列組合易錯(cuò)問題入手進(jìn)行分析探討，希望能成為引“玉之“磚。一、兩個(gè)根本原理本節(jié)思維誤區(qū)通常是：“完成一件事的任務(wù)不明確；分類與分步混淆或分類不準(zhǔn)確。例1、4名同學(xué)爭奪三個(gè)工程的冠軍，冠軍獲得者可能的種數(shù)是 。錯(cuò)解：每名同學(xué)奪冠有三種可能，故有34種。錯(cuò)因分析：上解法誤認(rèn)為每個(gè)同學(xué)奪冠都有三種可能性，犯了分步混淆的錯(cuò)誤。正解：事件是“確定三項(xiàng)冠軍有得主，可分為三個(gè)步驟：即每一項(xiàng)冠軍都有4

2、種可能情況，故冠軍獲得者可能的種數(shù)為43。例2、從100到999的三位數(shù)中，含有0的三位數(shù)有多少個(gè)？錯(cuò)解：將含有0的三位數(shù)分為二類：個(gè)位數(shù)是0的，有9×10=90個(gè)；十位數(shù)是0的，有9×10=90個(gè)。故共有9090=180個(gè)。錯(cuò)因分析：分類應(yīng)注意“不重不漏，上解法中重復(fù)計(jì)算了個(gè)位和十位都是0的情形。正解：將含有0的三位數(shù)分為二類：個(gè)位數(shù)是0的，有9×10=90個(gè)；十位數(shù)是0的，有9×10=90個(gè)；但個(gè)位數(shù)是0且十位數(shù)也是0的9個(gè)重復(fù)了，故共有90909=171個(gè)。二、排列問題本節(jié)思維誤區(qū)通常是：概念模糊；重復(fù)或遺漏：類與類之間不相互獨(dú)立，即類與類之間有重

3、復(fù)局部；分類不完備，即分類沒有包含所有可能情況；分步設(shè)計(jì)不合理，缺乏可行性；出現(xiàn)隱性問題；輕視計(jì)算或算法不當(dāng)。例3、8個(gè)人排成兩排，每排4人，有多少種排法？錯(cuò)解：8個(gè)人中取4個(gè)人排成一排有種，另4 個(gè)人排成一排有種，兩排交換位置有種，故共有排法··=80640種。錯(cuò)因分析：事實(shí)上，包含了8個(gè)人中任取4個(gè)人的所有可能的排列，當(dāng)然也包括了兩排互相對(duì)調(diào)的情形，如再乘以，那么每種排法又重復(fù)了一次。此例中的“兩排是沒有限制條件的，例如：1234、5678兩排與5678、1234兩排是一樣的，即只要是“兩排就行了。但如果是排成前后“兩排，那么就有順序限制了，這時(shí)1234在前排與5678

4、在前排就是不同的排列了。正解：8個(gè)人中取4個(gè)人排成一排有種，另4 個(gè)人排成一排有種，故共有排法·=40320種。注：由上解法可知，只要沒有限制條件，個(gè)人不管分幾排，每排幾個(gè)人，都是個(gè)元素的全排列問題。例4、4男4女排成一排，任意兩名女子不相鄰且任意兩名男子也不相鄰的排法共有多少種？錯(cuò)解1：4名男子與4 名女子的排法分別有種，故共有·=576種；錯(cuò)解2：4名男子的排法有種，4 名女子的排法有，故共有·=2880種；錯(cuò)因分析：錯(cuò)解1是由于考慮不周，遺漏了交換位置的情況，犯了“以偏概全的錯(cuò)誤；錯(cuò)解2忽略了題中的條件，即滿足了4名男子不相鄰而忽略了4名女子也不相鄰的情形如

5、：男女男女 女男女男，錯(cuò)把必要條件當(dāng)作充分條件了。正解：4男4女人數(shù)相等，如先排男子，有種排法，由題意，四名女子插入的四個(gè)空必須相鄰，有兩種插入方法，而4 名女子的排法有種，由乘法原理知，不同排法的種數(shù)共有2·=1152種。注：此例為“相間排列問題。個(gè)男子與個(gè)女子“相間的排法共有2種。三、組合問題本節(jié)思維誤區(qū)是：分類不妥或出現(xiàn)重復(fù)情形；分步關(guān)聯(lián)不統(tǒng)一；“有序“無序理不清；限制條件不注意。例5、用黃、藍(lán)、白三種顏色粉刷6間辦公室，一種色粉刷3間，一種色粉刷2間，一種色粉刷1間，那么共有多少種不同的粉刷方法？錯(cuò)解：由題意，共有種。錯(cuò)因分析：此例錯(cuò)因在于對(duì)題目中的事件“分步出錯(cuò)，丟掉了一步

6、即顏色可以相互交換這一步。題目中一種顏色粉刷間數(shù)雖不同，但那種顏色粉刷三間或兩間或一間卻沒有限制，因而三種顏色可以相互交換。正解：先分組，再排列，共有粉刷方法種。例6、計(jì)算：錯(cuò)解：，至此無法求解了。錯(cuò)因分析：在排列數(shù)與組合數(shù)公式中，都有限制條件如，且等，上解法中沒有考慮限制條件而直接用公式求解，顯然是“化易為難了。正解：由題意，又，=2，例7、從8名男醫(yī)生7名女醫(yī)生中選派8名醫(yī)生去執(zhí)行一項(xiàng)任務(wù)，其中男、女醫(yī)生都有的選派方法有多少種？錯(cuò)解：從8名男醫(yī)生中任選一人，從7名女醫(yī)生中任選一人，然后從余下的13名中任選6名，那么共有選派方法種。錯(cuò)因分析：上述解法有重復(fù)，原因在于分步過程中男女醫(yī)生并沒有完

7、全獨(dú)立。如將男醫(yī)生記為a、b、c、d、，女醫(yī)生記為a、b、c、d、，按上述解法，那么至少aabcdbcd與bbacdacd是相同的選派方法選派的8名醫(yī)生與順序無關(guān)。正解：滿足條件的選法有以下七類：1男7女，2男6女，3男5女，4男4女，5男3女，6男2女，7男1女。不同選法種數(shù)為：種。例8、從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 種 a480 b255 c240 d120錯(cuò)解：從6雙中選一雙有種，再從余下的10只中選一只有種，再從余下的8只中選一只有種，共有=480種。錯(cuò)因分析：上解法問題出現(xiàn)在“選一只有種，再選一只有種上，兩次選取出現(xiàn)了重復(fù)如“紅左藍(lán)右與“藍(lán)右紅左是同一種選

8、法。正解1：由于不同雙的兩只與順序無關(guān)，故共有選法=240種。正解2：從6雙中選一雙有種，再從余下的5雙中選2雙有種，然后從這兩雙中各選一只有種，故共有選法=240種。例9、一條長椅共6個(gè)坐位，現(xiàn)3人去坐，那么3個(gè)空位中恰有2個(gè)空位相鄰的坐法有多少種？錯(cuò)解：先將3人排成一排有種，再從產(chǎn)生的四個(gè)空檔中選2個(gè)空檔分別插入2個(gè)空位和1個(gè)空位，有種插法，共有坐法=36種。錯(cuò)因分析：從四個(gè)空檔中選2個(gè)空檔分別插入2個(gè)空位和1個(gè)空位有種插法，顯然沒有考慮順序問題。2個(gè)空檔中，2個(gè)空位和1個(gè)空位插入哪個(gè)空檔，應(yīng)是不同的坐法。正解：三人排列有種，三個(gè)空位分成2、1兩組插入四個(gè)空中，共有坐法=72種。例10、4

9、個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？錯(cuò)解：先從4個(gè)小球中任選3個(gè)放入3個(gè)盒中，有種放法，再將余下的一個(gè)小球放入有球的3個(gè)盒子中的任意一個(gè)，有3種放法，共有3=72種放法。錯(cuò)因分析：上述解法既有重復(fù)又有遺漏。一方面，從4個(gè)小球中任選3個(gè)放入3個(gè)盒中，沒有確定放入4個(gè)盒子中的哪3個(gè)盒子中，步驟不完整，只是其中局部放法；另一方面，將余下的一個(gè)小球放入有球的3個(gè)盒子中，由于先后順序的不同，使得有2個(gè)球的盒子中的2個(gè)球進(jìn)行了隱性排列。正解1：第一步：確定一個(gè)空盒有種方法；第二步：確定放兩個(gè)球的盒子有種方法；第三步：從4個(gè)球中選2個(gè)球放入已確定放兩球的盒子中有種方

10、法；第四步：將余下的2個(gè)球放入已確定放入1個(gè)球的兩個(gè)盒子中有2種放法，從而共有2=144種放法。正解2：將4個(gè)球分成2、1、1、0四組，有種分法。然后將這四組球放入四個(gè)盒子中，有種方法，故共有放法=144種。例11、四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為a，從其余頂點(diǎn)以及棱的中點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)a在同一平面上，那么不同的選取方法有 種 a30 b33 c36 d39錯(cuò)解：四面體有4個(gè)頂點(diǎn)，6條棱有6個(gè)中點(diǎn)，每個(gè)面上的6個(gè)點(diǎn)是共面的。點(diǎn)a所在的每個(gè)面由含a的四個(gè)點(diǎn)組合，有個(gè)。點(diǎn)a在三個(gè)面內(nèi)，故共有3=30個(gè)。所以選a，也有選c和d的錯(cuò)解。錯(cuò)因分析：此題的目的在于考查組合知識(shí)和空間想像能力。錯(cuò)解產(chǎn)生的原因在于

11、沒有將各棱上的3點(diǎn)與其對(duì)棱的中點(diǎn)共面的情形考慮進(jìn)去，從而出現(xiàn)遺漏的情況。正解：在上述錯(cuò)解的根底上，還有一種符合題意的情況，即點(diǎn)a所在棱上的3 個(gè)點(diǎn)與其對(duì)棱的中點(diǎn)這四點(diǎn)共面，這樣的情形有3種。故符合題意的取法有33=33個(gè)。例12、用黃、藍(lán)、白三種顏色粉刷6間辦公室，一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，那么粉刷這6間辦公室共有多少種不同的方法？錯(cuò)解：共有=60種。錯(cuò)因分析：此題出錯(cuò)原因在于對(duì)題目中的事件分步有錯(cuò)，丟掉了顏色可以輪換這一種情形。正解：先將6間辦公室分成3組，有種分法。再用3種顏色去粉刷，有種方法，由乘法原理可得，共有=360種粉刷方法。四、二項(xiàng)式定理問題本節(jié)思維誤

12、區(qū)通常是：將二項(xiàng)式定理中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)、系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)混淆；不能正確應(yīng)用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。例13、設(shè)展開式中，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為12，求項(xiàng)。錯(cuò)解：展開式中第二項(xiàng)的系數(shù)為，第四項(xiàng)的系數(shù)為，由題意，得=12，解得。設(shè)展開式中項(xiàng)為第項(xiàng)，那么，由，得，即展開式中項(xiàng)為。錯(cuò)因分析：此題錯(cuò)在將“系數(shù)與“二項(xiàng)式系數(shù)混為一談。正解：展開式中第二項(xiàng)與第四項(xiàng)分別為、，依題意有=12，解得。設(shè)展開式中項(xiàng)為第項(xiàng)，那么，由，得，即展開式中項(xiàng)為。例14、假設(shè)展開式中第五項(xiàng)是常數(shù)，問中間項(xiàng)是第幾項(xiàng)？錯(cuò)解：由及第五項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，得，解得，又為自然數(shù)，故此題無解。錯(cuò)因分析：此題錯(cuò)誤在于顛倒了和的順序而造成的，使用二項(xiàng)式定理時(shí)

13、要嚴(yán)格按照中第一個(gè)字母的降冪順序解題，不可隨意顛倒、的順序。正解：，由第五項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)得，解得，所以中間項(xiàng)是第9項(xiàng)。例15、由展開所得的的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的有 項(xiàng)？錯(cuò)解：由于、的根指數(shù)的最小公倍數(shù)為6，且展開式中共有關(guān)101項(xiàng)，由101=16×65知，展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有16項(xiàng)。錯(cuò)因分析：此題錯(cuò)在忽略了可以取0的情形。正解：由通項(xiàng)公式知，要使為有理數(shù)，由于2和3互質(zhì)，所以必須與均為有理數(shù)，即，必須都為整數(shù)，即必須為6的倍數(shù)。又，故滿足題設(shè)條件的有17個(gè)，亦即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有17項(xiàng)。例16、設(shè)的展開式中的第4項(xiàng)的系數(shù)與第+2項(xiàng)的系數(shù)相等，求的值。錯(cuò)解：由題意，得，解之得

14、，而為自然數(shù)，故此題無解。錯(cuò)因分析：上述解法錯(cuò)在由。實(shí)際上，由是的必要條件而非充分條件。上解法錯(cuò)把必要條件當(dāng)充要條件解題，因此得出錯(cuò)誤結(jié)論。正解：由通項(xiàng)公式，得第4項(xiàng)的系數(shù)為，第+2項(xiàng)的系數(shù)為，由題意得=，或，又為自然數(shù)，=4。試題集粹：1、用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是_ _. 2、5人擔(dān)任5種不同的工作，現(xiàn)需調(diào)整，調(diào)整后至少有2人與原來工作不同，那么共有不同的調(diào)整方法_種.3、從4臺(tái)甲型電腦和5臺(tái)乙型電腦中任取3臺(tái)，其中至少兩種電腦各1臺(tái)，那么不同的取法種數(shù)有 種. 4、從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)

15、面不相鄰的選法共有 種. 5、5本不同的書，全局部給四個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少1本，不同分法的種數(shù)有 種.6、在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是 .7、設(shè)那么中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有 個(gè).8、某人有4種顏色的燈泡每種顏色的燈泡足夠多，要在如下圖的6個(gè)點(diǎn)a、b、c、a1、b1、c1上各裝一個(gè)燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，那么每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)的安裝方法共有 種用數(shù)字作答.9、從包含甲的假設(shè)干名同學(xué)中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語四科競賽，每名同學(xué)只能參加一科競賽，且任兩名同學(xué)不能參加同一科競賽，假設(shè)甲不參加物理和化學(xué)競賽的參賽方法共有72種，那么一共有同學(xué) 名. 10、假設(shè)給一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)染色，要求相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)即同一條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)顏色不同，那么至少需要 種顏色. 11、將正方體abcda1b1c1d1的各面涂色，任何相鄰兩個(gè)面不同色，現(xiàn)有5種不同的顏色，并且涂好了解過頂點(diǎn)a的三個(gè)面的顏色，那么其余3個(gè)面的涂色方案共有 種.12、有二排座位，前排11個(gè)，后排12個(gè)，現(xiàn)安排兩個(gè)人就坐，規(guī)定前排中間的三