材料力學(xué)第5章彎曲變形

1、第第5 5章章 彎曲變形彎曲變形 5-1 梁的位移梁的位移撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角撓度撓度梁的橫截面形心梁的橫截面形心(即軸線即軸線AB上的點(diǎn)上的點(diǎn))在垂直于在垂直于x軸方軸方向的線位移，用向的線位移，用w表示。表示。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角橫截面對(duì)其原來位置的角位移，用橫截面對(duì)其原來位置的角位移，用 表示。表示。撓曲線方程撓曲線方程 w= f (x) xfwtan轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：( ) x小變形情況下：小變形情況下：撓度和轉(zhuǎn)角與梁的彎曲變形程度和撓度和轉(zhuǎn)角與梁的彎曲變形程度和支座約束的條件支座約束的條件有關(guān)。有關(guān)。如圖（如圖（a)與與(b)(a)(b) 在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)； 順時(shí)針轉(zhuǎn)向

2、的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角為負(fù)。一、一、 撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出撓曲線近似微分方程的導(dǎo)出線彈性范圍內(nèi)線彈性范圍內(nèi)純彎曲純彎曲情況下中性層的曲率為情況下中性層的曲率為EIM15-2 撓曲線的微分撓曲線的微分方程方程積分法求彎曲變形積分法求彎曲變形 橫力彎曲橫力彎曲 ，在梁高跨比，在梁高跨比 l/h10的情況下的情況下 EIxMxx1從從幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作幾何方面來看，平面曲線的曲率可寫作 2/3211wwx 曲率1/是非負(fù)的，而w是 沿x的變化率，是有正負(fù)的。圖示坐標(biāo)系中有圖示坐標(biāo)系中有 EIxMww 2/321式中的式中的w 2與與1相比可略去，得相比可略去，得撓曲線近似微

3、分方程撓曲線近似微分方程 EIxMw 二、二、 撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件撓曲線近似微分方程的積分及邊界條件等等直梁的撓直梁的撓曲線方程可改寫為曲線方程可改寫為求解撓曲線方程，先積分再利用求解撓曲線方程，先積分再利用邊界條件邊界條件確定積分常數(shù)。確定積分常數(shù)。 xMwEI 邊界條件邊界條件( (支座處的約束條件支座處的約束條件) ) 若梁的彎矩方程需分段寫出時(shí)，對(duì)各段梁的近似微分方若梁的彎矩方程需分段寫出時(shí)，對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，除利用支座處的程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)，除利用支座處的約束條約束條件件外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的外，還需利用相鄰兩段

4、梁在交界處的連續(xù)條件連續(xù)條件。 例例5-1 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角max。解：該梁的彎矩方程為解：該梁的彎矩方程為撓撓曲線近似微分方程為曲線近似微分方程為 xlFxM xlFxMwEI 以以x為自變量進(jìn)行積分得為自變量進(jìn)行積分得122CxlxFwEI于是得于是得0021CC，該梁的該梁的邊界條件為：在邊界條件為：在 x=0 處 ，w =00w213262CxCxlxFEIw轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程EIFxEIFxlw22撓撓曲線方程曲線方程EIFxEIlFxw6232撓曲線的示意圖撓曲線的

5、示意圖梁的梁的max和和wmax均在均在x=l的自由端處的自由端處 EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max 22|222maxEIFlEIFlEIFllx積分常數(shù)的幾何意義：積分常數(shù)的幾何意義：001|EIwEICx002|EIwEIwCx此懸臂梁，此懸臂梁，0=0，w0=0， 因而也有因而也有C1=0 ，C2=0當(dāng)以當(dāng)以x為自變量時(shí)，由為自變量時(shí)，由 1dCxxMwEI 21ddCxCxxxMEIw思考思考: 試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線試求圖示等截面懸臂梁在所示坐標(biāo)系中的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)方程和轉(zhuǎn)角方程。積分常數(shù)C1和和C2等于零嗎？等于零嗎？ 例例

6、5-2 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角max。解：該梁的彎矩方程為解：該梁的彎矩方程為撓撓曲線近似微分方程為曲線近似微分方程為以以x為自變量進(jìn)行積分得：為自變量進(jìn)行積分得： 222212xlxqqxxqlxM 22xlxqxMwEI 132322CxlxqwEI21431262CxCxlxqEIw該梁的該梁的邊界條件為邊界條件為在 x=0 處 w=0，在 x=l 處 w=0于是有于是有01262| 01442lCllqEIwClx及即即024231CqlC，轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程3234624x

7、lxlEIqw撓撓曲線方程曲線方程323224xlxlEIqxw對(duì)稱性對(duì)稱性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值相等且為最大值可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值相等且為最大值最大撓度在跨中，其值為最大撓度在跨中，其值為EIqlBA243max EIqlllllEIlqwwlx3845222242|43232max 例例5-3 試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，試求圖示等直梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角和最大轉(zhuǎn)角max。解：約束力為解：約束力為兩段梁的兩段梁的彎矩方程分別為彎矩方程分別為laFFlbFFBA ， axxlbFxFxMA0 1 lxaaxFxlbFa

8、xFxFxMA 2分別進(jìn)行積分：分別進(jìn)行積分：撓撓曲線近似微分方程曲線近似微分方程 xlbFxMwEI 11積分得積分得1212CxlbFwEI11316DxCxlbFEIw axFxlbFxMwEI 22222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw左段梁左段梁右段右段梁梁ax 0lxa支座約束條件支座約束條件：在x=0處 w1=0，在 x=l 處 w2=0連續(xù)條件連續(xù)條件： 在x=a處 ，w1=w221ww由由兩個(gè)連續(xù)條件得：兩個(gè)連續(xù)條件得：由由支座約束條件支座約束條件 w1|x=0=0 得得2121 DDCC，01D02D從而也有從而也有由另由另一支座約束條件

9、一支座約束條件 w2|x=l=0 有06|2332lCalFbllbFEIwlx2226bllFbC2216bllFbC兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程如下：兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程如下：左段梁左段梁右段右段梁梁)0(ax )(lxa22211312xbllEIFbw22216xbllEIFbxw222222312blxaxbllEIFbwxblxaxbllEIFbw223326左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為lEIblFablEIblFbxA66|2201lEIalFablxB6|2當(dāng)ab時(shí)有 6maxlEIalFabB323221baablx3221max39|

10、1bllEIFbwwxx 根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度根據(jù)圖中所示撓曲線的大致形狀可知，最大撓度wmax所所在在 處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 等于零，得等于零，得0w1wEIFblEIFblw22max0642. 039llx577. 031EIFblEIFblblEIFbwwlxC2222210625. 0164348|3221max39|1bllEIFbwwxx0b 跨中點(diǎn)跨中點(diǎn)C撓度撓度兩者相差不到兩者相差不到3%工程計(jì)算中，工程計(jì)算中，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線上沒有拐點(diǎn)都可以只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線上沒有拐點(diǎn)都可以

11、跨中撓度代替最大撓度跨中撓度代替最大撓度。 當(dāng)梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁橫截面處的撓當(dāng)梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁橫截面處的撓度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角度和轉(zhuǎn)角就等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。的代數(shù)和。53 用疊加法求彎曲用疊加法求彎曲變形變形疊加原理疊加原理 例例5-5 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示等直梁的跨中截面撓所示等直梁的跨中截面撓度度 wC 和兩支座截面的轉(zhuǎn)角和兩支座截面的轉(zhuǎn)角A 及及 B。(a) 解解： 作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布載荷可視為與跨中截面作用在該簡(jiǎn)支梁左半跨上的均布載荷可視為與跨中截面C正對(duì)稱和反對(duì)稱載荷

12、的疊加正對(duì)稱和反對(duì)稱載荷的疊加(b)(a) 在集度為在集度為q/2的正對(duì)稱均布荷載作用下，有的正對(duì)稱均布荷載作用下，有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqAC半跨梁 AC 和CB可分別看著為集度為 q/2 而跨長(zhǎng)為 l/2 的簡(jiǎn)支梁。 384242/2/3322EIqlEIlqBA 集度為集度為q/2的反對(duì)稱均布載荷作的反對(duì)稱均布載荷作用下，撓曲線關(guān)于跨中截面反對(duì)用下，撓曲線關(guān)于跨中截面反對(duì)稱的，稱的，撓度為零，彎矩亦為零，撓度為零，彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零但轉(zhuǎn)角不等于零02CwC按按疊加原理得疊加原理得

13、EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA 例例5-6 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角角B，以及以及A端和端和BC段中點(diǎn)段中點(diǎn)D的撓度的撓度wA和和wD。 解：逐段剛化法解：逐段剛化法截面截面B的轉(zhuǎn)角和的轉(zhuǎn)角和D的撓度只與（的撓度只與（c）中的簡(jiǎn)支梁有關(guān)）中的簡(jiǎn)支梁有關(guān)外力外力2qa將直接傳遞給支座將直接傳遞給支座B而不會(huì)引起彎曲而不會(huì)引起彎曲則由則由(d)、(e)載荷情況求載荷情況求 Bq， BM 和和 w

14、Dq，wDM 并疊加后并疊加后得到的就是原外伸梁的得到的就是原外伸梁的 B和和wD)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB原外伸梁的原外伸梁的A端撓度端撓度wA： EIqaEIaqaEIqawwwA44321127 82315-5 梁的剛度校核梁的剛度校核提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施一、梁的剛度校核剛度條件：剛度條件：lwlwmaxmaxlw許可撓跨比許可撓跨比 許可轉(zhuǎn)角許可轉(zhuǎn)角100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 0土建工程中通常只限制梁的撓跨比土建工

15、程中通常只限制梁的撓跨比機(jī)械工程中主要的軸機(jī)械工程中主要的軸傳動(dòng)軸要求限制安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角傳動(dòng)軸要求限制安裝齒輪處和軸承處的轉(zhuǎn)角 例例5-8 圖圖a所所示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成示簡(jiǎn)支梁由兩根槽鋼組成(圖圖b)，試，試選擇既選擇既滿足強(qiáng)度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知滿足強(qiáng)度條件又滿足剛度條件的槽鋼型號(hào)。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。4001lw 解：先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼型號(hào)，解：先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸或型鋼型號(hào)，然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校核，必要時(shí)再然后按切應(yīng)力強(qiáng)度條件以及剛度條件進(jìn)行校核，必要時(shí)再作修改。作修改。

16、1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào) 作剪力圖和彎矩圖作剪力圖和彎矩圖 363max662.4 10 N m183.5 10m22 170 10 PazMWx=0.8 m，Mmax=62.4 kNm未超過未超過5%，故允許。，故允許。把梁的自重把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考慮進(jìn)去，超過許用考慮進(jìn)去，超過許用彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到彎曲正應(yīng)力的百分?jǐn)?shù)仍不到5%。MPa175Pa10175m101782mN104 .626363max20a號(hào)槽鋼號(hào)槽鋼: Wz=178 cm3(175-170)/1703%2. 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核每根槽鋼承受的最大剪力為每根槽鋼承受

17、的最大剪力為3max138 kN69 10 N22Q *,max3100 1173 10050100 117372 104 000 mmzS20a號(hào)槽鋼的靜矩號(hào)槽鋼的靜矩,由簡(jiǎn)化尺寸計(jì)算由簡(jiǎn)化尺寸計(jì)算其值小于許用切應(yīng)力其值小于許用切應(yīng)力=100 MPa，故選用故選用20a號(hào)槽鋼滿足號(hào)槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。切應(yīng)力強(qiáng)度條件?；蚧?,max3100 111173 11100100 11722 104000 mmzS 3-63max,maxmax-8436(/2)(69 10 N) 104 10m(1780 10m )(7 10m)57.6 10 Pa57.6 MPazzQSI d3. 按剛度條件校

18、核按剛度條件校核跨中截面C的撓度wC可作為梁的最大撓度wmax梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為梁上的左邊兩個(gè)集中荷載，應(yīng)為EIblFbwC484322EIalFawC484322疊加原理可得疊加原理可得 322max322322321 120 100.43 2.44 0.448 30 100.83 2.44 0.8 40 100.93 2.44 0.9 12 100.63 2.44 0.6CwwEI 233981671 10 4.66 1048 210 102 1780 10許可撓度為許可撓度為由于由于wmaxw，故選用故選用20a號(hào)槽鋼滿足剛度條件。號(hào)槽鋼滿足剛度條件。 m106m4 . 240

19、013llww二、 提高梁的剛度的措施(1) 增大梁的彎曲剛度增大梁的彎曲剛度EI 由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量由于不同牌號(hào)的鋼材它們的彈性模量E大致相同大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強(qiáng)度鋼并無明顯故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強(qiáng)度鋼并無明顯好處。好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)面面積盡可能分布在距中性軸較遠(yuǎn)的形狀，以增大截面對(duì)于中性軸的慣性矩于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。例如工字形截面和箱形截面。22max125. 08qlqlM

20、EIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 調(diào)整跨長(zhǎng)和改變結(jié)構(gòu)的體系22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)a=0.207l而而此時(shí)外伸端此時(shí)外伸端D和和E的撓度也僅為的撓度也僅為2434(2 )2(2 )82430.000 207( )DEqalaqaq lawwaaEIEIEIqlEI 增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁作業(yè)：作業(yè)：5-3 (b) (c) 5-7 一、基本一、基本概念概念1.1.超靜定梁超靜定梁5-5 靜不定梁的靜不定梁的

21、解法解法 單憑靜力平衡方程不能求出單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁全部支反力的梁, , 稱為超靜定梁稱為超靜定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“2.“多余多余”約束約束 多于維持其靜力平衡所必需的多于維持其靜力平衡所必需的約束約束3.“多余多余”反力反力 “多余多余”與與相應(yīng)的支座反相應(yīng)的支座反力力FRBABCFFABFRAFRC4.超靜定超靜定次數(shù)次數(shù) 超靜定梁的超靜定梁的 “多余多余” 約束約束的的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù)數(shù)目就等于其超靜定次數(shù). n = 未知力的個(gè)數(shù)未知力的個(gè)數(shù) - 獨(dú)立平衡方程的數(shù)目獨(dú)立平衡方程的數(shù)目二、求解超靜定梁的二、求解超靜定梁的步驟步驟1、建立建立靜定系統(tǒng)：靜定系統(tǒng)： 將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束束,解除約束解除約束代代以約束反力以約束反力 FRB。得到基本靜定系得到基