第八模塊 線性代數(shù)基礎(chǔ)

1、第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念與性質(zhì)行列式的概念與性質(zhì)一 二階 行列式二 三階 行列式三 n 階 行列式四 行列式的性質(zhì)用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得兩式相減消去兩式相減消去2x一、二階行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得類似地，消去類似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（時，時，當(dāng)當(dāng)021122211 aaaa方程組的解為

2、方程組的解為，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程組的四個系數(shù)確定由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表稱列）的數(shù)表)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并記記作作）所所確確定定的的二二階階稱稱為為數(shù)數(shù)表表（表表達(dá)達(dá)式式 即即.2112221122211211aaaaaaaad 11a12a22a12a主對角線主對角線副對角線副對角線2211aa .2112aa 二階行列式的計算二階

3、行列式的計算若記若記,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa對于二元線性方程組對于二元線性方程組系數(shù)行列式系數(shù)行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaad .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababd .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babad 則二元線性方程組的解為則二元線性方程

4、組的解為,2221121122212111aaaaababddx 注意注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式分母都為原方程組的系數(shù)行列式.2221121122111122aaaababaddx . 12,12232121xxxx求解二元線性方程組求解二元線性方程組解解1223 d)4(3 , 07 112121 d,14 121232 d,21 ddx11 , 2714 ddx22 . 3721 二、三階行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的數(shù)表列的數(shù)表行行個數(shù)排成個數(shù)排成設(shè)有設(shè)有,312213332112322311322113312312332211)6(

5、aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式稱為數(shù)表（）式稱為數(shù)表（5 5）所確定的）所確定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙沙路法路法三階行列式的計算三階行列式的計算322113312312332211aaaaaaaaa d333231232221131211aaaaaaaaad . .列標(biāo)列標(biāo)行標(biāo)行標(biāo)333231232221131211aaaaaaaaad 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aa

6、a 注意注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號元素的乘積冠以負(fù)號說明說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 如果三元線性方程組如果三元線性方程組 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式333231232221131211aaaaaaaaad , 0 利用三階行列式求解三元線性方程組利用三階行列式求解三元線性方程組 2 2. . 三階

7、行列式包括三階行列式包括3!3!項項, ,每一項都是位于不同行每一項都是位于不同行, ,不同列的三個元素的乘積不同列的三個元素的乘積, ,其中三項為正其中三項為正, ,三項為三項為負(fù)負(fù). . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabd 若記若記333231232221131211aaaaaaaaad 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabd

8、 記記,3332323222131211aabaabaabd 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaad ;,3333232131232322

9、21211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabad 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaad ,3333123221131112abaabaabad .3323122221112113baabaabaad 則三元線性方程組的解為則三元線性方程組的解為:,11ddx ,22ddx .33ddx 333231232221131211aaaaaaaaad ,3332323222131211aabaaba

10、abd 2-43-122-4-21d 計算三階行列式計算三階行列式按對角線法則，有按對角線法則，有 d4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322 xxxxd, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解線性方程組解線性方程組 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程組的系數(shù)行列式由于方程組的系數(shù)行列式111312121 d 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得11031

11、11221 d, 5 1013121212 d,10 0111122213 d, 5 故方程組的解為故方程組的解為:, 111 ddx, 222 ddx. 133 ddx三、n階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaadaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個個元元素素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個個數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡記作簡記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa為這個排列的逆序數(shù)為這個排列的逆序數(shù)的一個排列，的一個排列，為自然數(shù)為自然

12、數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaad212121212122221112111 說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa 5、 的符號為的符號為n

13、npppaaa2121 .1t 四、行列式的性質(zhì) 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式. tdd記記nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa d2121nnaaannaaa2112 tdnnaaa2211 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .說明說明 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如例如,571571 266853.825825 361567

14、567361266853推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零此行列式為零. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面子可以提到行列式符號的外面性質(zhì)性質(zhì)行列式中如果有兩行（列）元素成比行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行

15、列式為零例，則此行列式為零nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和數(shù)之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaad)()()(2122222211111211 則則d等于下列兩個行列式之和：等于下列兩個行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaad 122211111122211111例如例如性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的

16、各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如例例2101044614753124025973313211 d五、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值化為上三角形行列式，從而算得行列式的值jikrr 3 2101044

17、614753124025973313211 d3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的程組引入的.對角線法則對角線法則二階與三階行列式的計算二階與三階行列式的計算.2112221122211211aa