球面平均法和泊松公式精編版

1、§ 7.2球面平均法和泊松公式一 本節(jié)主要思想（ 1）對(duì)三維波動(dòng)方程的初值問題，先假設(shè)已知空間某一點(diǎn)M (x, y, z) 的振動(dòng) u( x, y, z, t) ，然后以 M 點(diǎn)為發(fā)射子波的波源，根據(jù)球面波的對(duì)稱性，可根據(jù)加權(quán)平均的思想來考察球面SrM 的平均振動(dòng) u(r ,t ) ，從而將問題歸結(jié)為兩個(gè)自變量的一維波動(dòng)方程，最后采用極限的思想，令 r0 ，即可得到 M 點(diǎn)的振動(dòng) u( x, y, z, t) （ 2）對(duì)二維波動(dòng)方程的初值問題，采用將其上升到三維空間的思想，根據(jù)已有的三維波動(dòng)方程的泊松公式，獲得此問題的三維解，再采用降維法，最終獲得二維解二 三維波動(dòng)方程的初值問題，泊

2、松公式三維波動(dòng)方程初值問題解的泊松公式考察三維波動(dòng)方程的初值問題：utta2ut 0 ,x , y , z( 1 )u t 0( x, y, z), utt 0( x, y, z)x, y, z( 2 )以M表示以點(diǎn)M ( x, y, z)為心，半徑為r 的球面，以d表示S1的面元，則Sr的面元rSdSr 2d注：dsind ddSr 2 ddSr 2 sin dd下面用加權(quán)平均的思想（即球面平均法）求函數(shù)u( x, y, z,t ) 在球面 SrM 上的平均值 u(r , t ) ：u(r, t)( , , ) SrM ,xr 1,1 sincos, 21M u( , , ,t )dS(3)

3、4 r2sry r 2 , z r 3 ,(4) sin sin , 3 cos (5)注：（ 4）、（ 5）實(shí)際上是球的參數(shù)方程的表達(dá)式（3）式也可寫成u(r ,t )1sM u( xr1, y r 2 , z r3 ,t)d ，4r注：由于 dSr 2 sind dr 2d不含 dr , 故可將 12放入積分號(hào)中 ，與 r 2 正好約掉r由此可知 uu( x, y, z,t ) ，所以，為了求u 可以先求 ur0下面就來討論如何求u ：注意到 r( x) 2( y)2(z)2，容易算得1uuru xxrxrr2 ur 2( x)2u ( x) 22 ux2r 3rr 2r 2同理，可求出2

4、 u 和2 u，將他們相加，得到y(tǒng) 2z22u2 u12urr2rr2 ( ru )r注：r(ru )ruur2(ruu)u2 ur2 (ru )r2r2rrr122u2 u所以，r 2 (ru )rrr 2r將方程（ 1）兩端取球面平均，即得utta2 ua22(ru )rr 2等式兩邊同乘以r 得t2 (ru )a22 (ru )0（6）r2注： r 與時(shí)間 t 無關(guān)，所以可將r放入算子2中t這是關(guān)于 ru 的一維波動(dòng)方程，其通解為ruf1(rat) f2 (r at )（ 7）令 r0 ，得0f1( at )f2 (at )從而知 f1( )f 2 () ，故有ruf1( rat)f 2

5、 ( atr )（ 8）注：的取值范圍應(yīng)是(,0) 我們所關(guān)心的是ra t 0 的情況，因?yàn)榇藭r(shí)表明振動(dòng)已傳至所考察的球面，若2r at0 ，表明振動(dòng)還未傳至所考察的球面，這樣就無法考察M 點(diǎn)的振動(dòng)為求 u，將上式對(duì) r 求導(dǎo)，得r0(ru ) u ruf 2' (rat )f 2' (at r )（9）rr令 r 0，即得u(x, y, z, t) ur2 f '2 (at )（ 10）0所以，為求 u ，只需求 f'2為此將（ 8）式再對(duì) t 求導(dǎo)，得(ru )af2' (rat )f2' (atr ) （ 11）r由（ 9）、（11）兩式得(r u)1(r u)22'f(ra t).（ 12）rat在上式中令 t0，并注意到（3）式和初始條件（2）式，即得2 f2' (r)rru()1tru()at014 r= 14rSrMSrMu1ur dSa tSrM r dS t 0dS1dSra tSrMr注意到（ 10）式，在上式