九年級數(shù)學上冊一元二次方程教案新新人教

1、1第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程:1通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 其系數(shù)、一次項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念.2了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解.：重點通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 等概念，并能用這些概念解決簡單問題.難點一元二次方程及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別.：0)的方程，領(lǐng)會降次一一轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.難點通過根據(jù)平方根的意義解形如 的方程.一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題. 問題1:填空2 2 2 2 2(1)_ x8x+_ =(x_)；(2)9x+12x+_ =(3x+)；(3)x+

2、px+_=(x+_)2.解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；(3)(號)22問題2：目前我們都學過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？ 一元二次方程與一元一次方程有什么不同？ 二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學過哪些降次的方法？二、探索新知上面我們已經(jīng)講了x2=9,根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=3,如果x換元為2t+1,即(2t+1)2=9，能否也用直接開平方的方法求解呢？(學生分組討論)老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=3即2t+1=3,2t+1= 3x2=n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如2(x+m)=n(n0)4方程的兩根為t1=1,

3、t2=2例1解方程：(1)x+4x+4=1(2)x+6x+9=2分析：(1)x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x+2)2=1.(2)由已知，得：(x+3)=2直接開平方，得：x+3=2即x+3=2,x+3=一.2所以，方程的兩根X1=3+ 2,X2=32解：略.例2市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面積增長率.分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x, 年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10 x=10(1+x);二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x,貝y：10(1+x

4、)2=14.42(1+x)=1.44直接開平方，得1+x=1.2即1+x=1.2,1+x=1.2所以，方程的兩根是X1=0.2=20% X2=2.2因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，X2= 2.2應(yīng)舍去.所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.(學生小結(jié))老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn) 化思想”.三、鞏固練習教材第6頁練習.四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p0)的方程，那么x=p轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx+n)2=p(p0)的方程，那么mx+

5、n=,p，達到降次轉(zhuǎn)化之目的.若pv0則方程無解.五、作業(yè)布置教材第16頁 復習鞏固1.第2課時 配方法的基本形式理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題._ 2 2 _通過復習可直接化成x=p(p0)或(mx+n)=p(p0)的一元二次方程的解法, 兩種形式的一元二次方程的解題步驟.重點講清直接降次有困難，如X2+6x16=0的一元二次方程的解題步驟.難點將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧.埶字設(shè)什一、復習引入(學生活動)請同學們解下列方程：2 2 2 2(1)3x1=5(2)4(x1)9=0 (3)4x+16x+16=9(4)

6、4x+16x= 7老師點評：上面的方程都能化成x2=p或(mx+n)2=p(p0)的形式，那么可得x=p或mx+ n=p(p0).2222如：4x+16x+16=(2x+4)，你能把4x+16x=7化成(2x+4)=9嗎？二、探索新知列出下面問題的方程并回答：(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三個方程的解法呢？引入不能直接化成上面5問題：要使一塊矩形場地的長比寬多6m并且面積為16m,求場地的長和寬各是多少?(1)列出的經(jīng)化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有 而后二個不具有此特征.不能.既然不能直接降次解方程，那么

7、，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們 就來講如何轉(zhuǎn)化：x2+6x16=0移項TX2+6x=16兩邊加(6/2)使左邊配成x+2bx+b的形式TX+6x+3=16+9左邊寫成平方形式T(x+3)2=25降次TX+3=5即x+3=5或x+3=5解一次方程TXi=2,X2=8可以驗證：xi=2,X2=8都是方程的根，但場地的寬不能是負值，所以場地的寬為2m長為8m像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解. 例1用配方法解下列關(guān)于x的方程：2 21(1)x8x+1=0(2)x

8、2x2=0分析：(1)顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上.解：略.三、鞏固練習教材第9頁 練習1,2.(1)(2).四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數(shù)，可以直接降次解方程的方程.五、作業(yè)布置教材第17頁 復習鞏固2,3.(1)(2).第3課時 配方法的靈活運用了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟.通過復習上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目.重點講清配方法的解題步驟.難點對于用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)

9、項移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是對于二次項系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項系數(shù)為1，再用配方法求解.、復習引入(學生活動)解下列方程：2 2(1)x4x+7=0 (2)2x8x+1=0老師點評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學習了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.解：略.(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？二、探索新知討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1;(3)常數(shù)項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(x+

10、p)=q的形式，如果q0,方程的根是x= p；如果qv0,方程無實根. 例1解下列方程：2 2 2(1)2x+1=3x (2)3x6x+4=0(3)(1+x)+2(1+x)4=0分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方式.解：略.X的完全平方式次項系數(shù)一半的平方;6三、鞏固練習教材第9頁練習2.(3)(4)(5)(6).四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：1配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.2配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過配 方，禾U用非負數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負性.在今后學習二次函數(shù)，

11、至幅中學習二次曲線時，還將經(jīng)常用 到.五、作業(yè)布置教材第17頁 復習鞏固3.(3)(4)2 2 2補充：(1)已知x+y+z-2x+4y6z+14=0，求x+y+z的值.(2)求證：無論x,y取任何實數(shù)，多項式x2+y22x4y+16的值總是正數(shù).21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.復習具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(a工0)的求根公式的推導，并應(yīng)用公式法解一元二次方程.重點求根公式的推導和公式法的應(yīng)用.難點一元二次方程求根公式的推導.一、復習引入1.前面我們學習過解一元二次方程的“直接開平方

12、法”，比如，方程(1)x2=4(x2)2=7提問1這種解法的(理論)依據(jù)是什么？提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實施 于一般形式的二次方程.)2.面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式.)(學生活動)用配方法解方程2x2+3=7x(老師點評)略總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學生總結(jié)，老師點評).(1)先將已知方程化為一般形式；(2)化二次項系數(shù)為1;(3)常數(shù)項移到右邊；(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；(5)變形為(x+p)=q的形式，如果q0,方程的

13、根是x= p q；如果qv0,方程無實根.二、探索新知用配方法解方程：2 2(1)ax7x+3=0(2)ax+bx+3=02如果這個一元二次方程是一般形式ax+bx+c=0(a工0),你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根,請同學獨立完成下面這個問題.程一定有解嗎？什么情況下有解？)分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把 題步驟就可以一直推下去.22問題：已知ax+bx+c=0(a工0),試推導它的兩個根X1=,X2=b 、b4ac2a(這個方a,b,c也當成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解2a7解：移項，得：ax+bx= c2bc二次項系數(shù)化為1，得X+=-aa8b2b4ac即(x+石)

14、=b士, b24ac2ab+ 寸b24acb寸b24acX1=二,X2=由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a豐0)的根由方程的系數(shù)a,b,c而定，因此：(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當b24ac0時，將a,b士、/b24ac入式子x=- -就得到方程的根.(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.例1用公式法解下列方程：2 2(1)2xx1=0 (2)x+1.5=3x(3)x22x+*=0(4)4x23x+2=0分析：用公式法解一元二次

15、方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.補：(5) (x2)(3x5)=0三、鞏固練習教材第12頁 練習1.(1)(3)(5)或(4)(6).四、課堂小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：(1)求根公式的概念及其推導過程；(2)公式法的概念；(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a0;2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項的系數(shù)包括符號；3)計算b24ac，若結(jié)果為負數(shù)，方程無解；4)若結(jié)果為非負數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果.(4)初步了解一元二次方程根的情況.五、作業(yè)布置教材第17頁 習題4，5.21.2.3因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程.通過復習用

16、配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法一一因式分解法解一元二次 方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題.重點配方，得：2bb2cb2x+ax+(刃=a+ (刃/4a20,當b24ac0時,b24ac0b2(x+2a)=b4ac2( )2a直接開平方，得:b丄x+2T士b4ac-2a2a2a2數(shù)學設(shè)計9用因式分解法解一元二次方程. 難點元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更簡便.、復習引入讓學生通過比較解10(學生活動)解下列方程：2 2(1)2x+x=0(用配方法)(2)3x+6x=0(用公式法)11 1 1老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為2,

17、2的一半應(yīng)為4，因此，應(yīng)加上(4)2,同時減去(1)2.(2)直接用公式求解.二、探索新知(學生活動)請同學們口答下面各題.(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？(學生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解.因此，上面兩個方程都可以寫成：(1)x(2x+1)=0(2)3x(x+2)=0因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0,也就是(1)x=0或2x+1=0,所以X1=0,1(2)3x=0或x+2=0,所以X1=0,X2= -2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的？)因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降

18、次，而是先因式分解使方程化為兩 個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.例1解方程：2212322(1)10 x4.9x=0(2)x(x2)+x2=0(3)5x2x4=x-2x+ -(4)(x1)=(32x)思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？解：略(方程一邊為0,另一邊可分解為兩個一次因式乘積.)練習：下面一元二次方程解法中，正確的是()A.(x3)(x5)=10X2，x3=10,x5=2，X1=13,X2=7223B.(25x)+(5x2)=0,.(5x2)(5x3)=0,.X1= ,X2=-552C.(x+2)+4x=0,

19、.X1=2,X2=22D.x=x,兩邊同除以x，得x=1三、鞏固練習教材第14頁練習1,2.四、課堂小結(jié) 本節(jié)課要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用.(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0,再分別使各一次因式等于0.五、作業(yè)布置教材第17頁 習題6,8,10,11.21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系c0）的兩根xi,X2與系數(shù)p,q之間有什么關(guān)系?2（2）關(guān)于x的方程ax+bx+c=0（a豐0）的兩根xi,X2與系數(shù)a,b,c之間又有何關(guān)系呢？你能證明你的 猜想嗎？解下列方程，并填寫表格:方程XiX2Xi+X2XiX222x

20、7x4=023x+2x5=025xi7x+6=0小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系：（1）關(guān)于x的方程x2+px+q=0（p,q為常數(shù)，p24q0）的兩根xi,X2與系數(shù)p,q的關(guān)系是：xi+x=p,xiX2=q（注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零.）（2）形如ax2+bx+c=0（a工0）的方程，可以先將二次項系數(shù)化為i,再利用上面的結(jié)論.即：對于方程ax+bx+c=0（a豐0）bcxi+x2=a,x2=a（可以利用求根公式給出證明）例i不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積:2 2（i）x3xi=0（2）2x+3x5=02 2(5)xi=0 (6)x2x+i=0例2不解方程，檢驗下列

21、方程的解是否正確?例3已知一元二次方程的兩個根是一i和2,請你寫出一個符合條件的方程.（你有幾種方法？）例4已知方程2x2+kx9=0的一個根是一3，求另一根及k的值.變式一：已知方程X2kx9=0的兩根互為相反數(shù)，求k;bb24ac2a.觀察兩式右邊分母相同，分子是b+b24ac與bb24ac.兩根之間通過什么計算(3) $22x=0 (4)2x2+6x=3(1)x22 2x+i=0 (xi2(2)2x3x8=0 (xi=,2+i,7+.734,X2=5.73412變式二：已知方程2x25x+k=0的兩根互為倒數(shù)，求k.三、課堂小結(jié)i.根與系數(shù)的關(guān)系.2.根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：（i）是一

22、元二次方程；（2）判別式大于等于零.四、作業(yè)布置i.不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.2 2 2(1)x5x3=0 (2)9x+2=x(3)6x3x+2=023x+x+1=02.已知方程x23x+m=0的一個根為1，求另一根及m的值.3.已知方程x2+bx+6=0的一個根為一2,求另一根及b的值.21.3實際問題與一元二次方程(2課時)第1課時解決代數(shù)問題1.經(jīng)歷用一元二次方程解決實際問題的過程，總結(jié)列一元二次方程解決實際問題的一般步驟.2.通過學生自主探究，會根據(jù)傳播問題、百分率問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解，熟悉解題 的具體步驟.3.通過實際問題的解答，讓學生認識到對方程的解必

23、須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合 問題的實際意義為標準.重點利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題.難點如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)過程，找到傳播問題和百分率問題中的數(shù)曰. W 量關(guān)糸.、引入新課1.列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？2.科學家在細胞研究過程中發(fā)現(xiàn)：(1)一個細胞一次可分裂成2個，經(jīng)過3次分裂后共有多少個細胞？(2)一個細胞一次可分裂成x個，經(jīng)過3次分裂后共有多少個細胞？(3)如是一個細胞一次可分裂成2個，分裂后原有細胞仍然存在并能再次分裂，試問經(jīng)過3次分裂后共有多少個細胞？二、教學活動活動1：自學教材第19頁探究1，思考教師所提

24、問題.有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(1)如何理解“兩輪傳染”？如果設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染后共有 _人患流感.第二輪傳染后共有 _ 人患流感.(2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？解答：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則依題意第一輪傳染后有(x+1)人患了流感，第二輪有x(1+x)人被傳染上了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得X1=10,X2=12(不合題意舍去)因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.變式練習：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少

25、人患了流感？活動2:自學教材第19頁第20頁探究2,思考老師所提問題.兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進 步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平 均下降率較大？(1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？(2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了 _ 元，此時成本為_ 元；兩年后，甲種藥品下降了 _ 元，此時成本為 _元.13(3)增長率(下降率)公式的歸納：設(shè)基準數(shù)為a,增長率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(1x); 二月(或二年)后產(chǎn)量

26、為a(1x)2；n月(或n年)后產(chǎn)量為a(1x)n;如果已知n月(n年)后總產(chǎn)量為M,則有下面等式：M= a(1x)n.(4)對甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為： _.三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置14課堂小結(jié)1.列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、列、解、答.最后要檢驗根是否符合實際.2傳播問題解決的關(guān)鍵是傳播源的確定和等量關(guān)系的建立.3若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基準數(shù)是a,增長(或降低)n次后的量是b,則有:a(1x)=b(常見n=2).4成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也 較小.作業(yè)布置教材第21-22頁 習題21.3第2-7題.第2課時 解決幾何問題1通過探究，學會分析幾何問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問題.2通過探究，使學生認識在幾何問題中可以將圖形進行適當變換，使列方程更容易.3通過實際問題的解答，再次讓學生認識到對方程的解必須要進行檢驗