高考拋物線專題做題技巧與方法總結(jié)

1、高考拋物線專題做題技巧與方法總結(jié)知識點梳理：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì) ()：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率2.拋物線的焦半徑、焦點弦的焦半徑;的焦半徑； 過焦點的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長度為2p. AB為拋物線的焦點弦，則 ，=3.的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.重難點突破重點:掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，會運用定義和會求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過方程研究拋物線的幾何性質(zhì)難點: 與焦點有關(guān)的計算與論證重難點:圍繞焦半徑、焦點弦，運用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1.要有用定義的意識問題1：拋物線y=4上的一點M到焦點的距離為

2、1，則點M的縱坐標(biāo)是()A.B.C.D. 0點撥：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為,由定義知，點M到準(zhǔn)線的距離為1，所以點M的縱坐標(biāo)是2.求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點位置和開口方向問題2：頂點在原點、焦點在坐標(biāo)軸上且經(jīng)過點（3，2）的拋物線的條數(shù)有點撥：拋物線的類型一共有4種，經(jīng)過第一象限的拋物線有2種，故滿足條件的拋物線有2條3.研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想，“兩條腿走路”問題3：證明：以拋物線焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切點撥：設(shè)為拋物線的焦點弦，F(xiàn)為拋物線的焦點，點分別是點在準(zhǔn)線上的射影，弦的中點為M，則，點M到準(zhǔn)線的距離為，以拋物線焦點弦為直徑的圓總與拋物線的準(zhǔn)線相切3、典型例題講解：考

3、點1 拋物線的定義題型 利用定義,實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點P在拋物線y2 = 4x上，那么點P到點Q（2，1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和的最小值為解題思路：將點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點P到準(zhǔn)線的距離解析過點P作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于點R，由拋物線的定義知，當(dāng)P點為拋物線與垂線的交點時，取得最小值，最小值為點Q到準(zhǔn)線的距離 ,因準(zhǔn)線方程為x=-1,故最小值為3總結(jié)：靈活利用拋物線的定義，就是實現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說,用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)練習(xí)：1.已知拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A

4、 B C D. 解析C 由拋物線定義，即： 2. 已知點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當(dāng)最小時, M點坐標(biāo)是 ( )A. B. C. D. 解析 設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為,則，當(dāng)最小時，M點坐標(biāo)是，選C考點2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(-3,2) (2)焦點在直線上解題思路：以方程的觀點看待問題，并注意開口方向的討論.解析 (1)設(shè)所求的拋物線的方程為或,過點(-3,2) 拋物線方程為或,前者的準(zhǔn)線方程是后者的準(zhǔn)線方程為(2)令得，令得，拋物線的焦點為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點為(4,0)時,，

5、此時拋物線方程;焦點為(0,-2)時，此時拋物線方程.所求拋物線方程為或,對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是.總結(jié)：對開口方向要特別小心，考慮問題要全面練習(xí)：3.若拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合,則的值解析4.對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）解析 用排除法，由拋物線方程y2=10x可排除，從而滿足條件.5. 若拋物線的頂點在原點，開口向上，F(xiàn)為焦點，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點，A為拋物線上一點,

6、且，求此拋物線的方程解析 設(shè)點是點在準(zhǔn)線上的射影，則，由勾股定理知，點A的橫坐標(biāo)為，代入方程得或4，拋物線的方程或考點3 拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點弦的計算與論證例3 設(shè)A、B為拋物線上的點,且(O為原點),則直線AB必過的定點坐標(biāo)為_.解題思路：由特殊入手，先探求定點位置解析設(shè)直線OA方程為,由解出A點坐標(biāo)為解出B點坐標(biāo)為，直線AB方程為,令得，直線AB必過的定點總結(jié)：（1）由于是填空題，可取兩特殊直線AB, 求交點即可；（2）B點坐標(biāo)可由A點坐標(biāo)用換k而得。練習(xí)：6.若直線經(jīng)過拋物線的焦點，則實數(shù)解析-17.過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射

7、影為,則 ( ) A. B. C. D. 解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標(biāo)之和等于，則這樣的直線（ ）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.1條或2條 D.不存在解析C ，而通徑的長為42.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上的點到該拋物線焦點的距離為5，則點P的縱坐標(biāo)為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用拋物線的定義，點P到準(zhǔn)線的距離為5，故點P的縱坐標(biāo)為43.兩個正數(shù)a、b的等差中項是，一個等比中項是，且則拋物線的焦點坐標(biāo)為( ) ABCD解析 D. 4.如果，是拋物線上的點，它們的橫坐標(biāo)依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點，若成等

8、差數(shù)列且，則=（ ）A5 B6 C 7 D9解析B 根據(jù)拋物線的定義，可知（，2，n），成等差數(shù)列且,=65、拋物線準(zhǔn)線為l，l與x軸相交于點E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（ ）A B C D解析 C. 過A作x軸的垂線交x軸于點H，設(shè)，則，四邊形ABEF的面積=6、設(shè)是坐標(biāo)原點，是拋物線的焦點，是拋物線上的一點，與軸正向的夾角為，則為解析. 過A 作軸于D，令，則即，解得綜合提高訓(xùn)練7.在拋物線上求一點，使該點到直線的距離為最短，求該點的坐標(biāo)解析解法1：設(shè)拋物線上的點，點到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號

9、，故所求的點為解法2：當(dāng)平行于直線且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點為所求，設(shè)該直線方程為，代入拋物線方程得，由得，故所求的點為8.已知拋物線（為非零常數(shù)）的焦點為，點為拋物線上一個動點，過點且與拋物線相切的直線記為（1）求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點在何處時，點到直線的距離最小？解：（1）拋物線方程為故焦點的坐標(biāo)為（2）設(shè)直線的方程是9. 設(shè)拋物線（）的焦點為 F，經(jīng)過點 F的直線交拋物線于A、B兩點點 C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點O證明:因為拋物線（）的焦點為，所以經(jīng)過點F的直線AB的方程可設(shè)為，代人拋物線方程得 若記，則是該方程的兩個根，所以因為BCX軸，且點C在準(zhǔn)線上，所

10、以點C的坐標(biāo)為，故直線CO的斜率為即也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點O10.橢圓上有一點M（-4，）在拋物線（p>0）的準(zhǔn)線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.（1）求橢圓方程；（2）若點N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）上的點M在拋物線（p>0）的準(zhǔn)線l上，拋物線的焦點也是橢圓焦點.c=-4，p=8M（-4，）在橢圓上由解得：a=5、b=3橢圓為由p=8得拋物線為設(shè)橢圓焦點為F（4，0），由橢圓定義得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即為所求的最小值.參考例題：1、已知拋物線C的一個焦點為F（

11、，0），對應(yīng)于這個焦點的準(zhǔn)線方程為x=-.（1）寫出拋物線C的方程；（2）過F點的直線與曲線C交于A、B兩點，O點為坐標(biāo)原點，求AOB重心G的軌跡方程；（3）點P是拋物線C上的動點，過點P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點分別是M，N.當(dāng)P點在何處時，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：（1）拋物線方程為：y2=2x. （4分）（2）當(dāng)直線不垂直于x軸時，設(shè)方程為y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.設(shè)A（x1，y1），B(x2，y2)，則x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.設(shè)AOB的重心為G（x，y）則，消去k得y2=為所求， （6分）當(dāng)直

12、線垂直于x軸時，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也滿足上述方程.綜合得，所求的軌跡方程為y2=， （9分）（3）設(shè)已知圓的圓心為Q（3，0），半徑r=，根據(jù)圓的性質(zhì)有：|MN|=2. （11分）當(dāng)|PQ|2最小時，|MN|取最小值，設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)，則y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，當(dāng)x0=2，y0=±2時，|PQ|2取最小值5，故當(dāng)P點坐標(biāo)為（2，±2）時，|MN|取最小值. 拋物線專題練習(xí)一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1如果拋物線y 2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1

13、，那么它的焦點坐標(biāo)為（A）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圓心在拋物線y 2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個圓的方程是（D）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03拋物線上一點到直線的距離最短的點的坐標(biāo)是（A）A（1，1）B（）CD（2，4）4一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（B）AmB 2mC4.5mD9m5平面內(nèi)過點A（-2，0），且與直線x=2相切的動圓圓心的軌跡方程是（C）Ay 2=2xBy 2=

14、4xCy 2=8x Dy 2=16x6拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上點（-5，m）到焦點距離是6，則拋物線的方程是（B）Ay 2=-2xBy 2=-4xCy 2=2xDy 2=-4x或y 2=-36x7過拋物線y 2=4x的焦點作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（A）A8B10C6 D48把與拋物線y 2=4x關(guān)于原點對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是（C）ABCD9過點M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個公共點的直線l有（C）A0條B1條C2條D3條10過拋物線y =ax2(a>0)的焦點F

15、作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（C）A2aBC4a D二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）11拋物線y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為212拋物線y =2x2的一組斜率為k 的平行弦的中點的軌跡方程是13P是拋物線y 2=4x上一動點，以P為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，則這個圓一定經(jīng)過一個定點Q，點Q的坐標(biāo)是（1，0）14拋物線的焦點為橢圓的左焦點，頂點在橢圓中心，則拋物線方程為三、解答題（本大題共6小題，共76分）15已知動圓M與直線y =2相切，且與定圓C：外切，求動圓圓心M的軌跡方程(12分)解析：

16、設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點，以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為16已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點M（3，m）到焦點的距離等于5，求拋物線的方程和m的值（12分）解析：設(shè)拋物線方程為，則焦點F（），由題意可得，解之得或，故所求的拋物線方程為，17動直線y =a，與拋物線相交于A點，動點B的坐標(biāo)是，求線段AB中點M的軌跡的方程(12分)解析：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），A（，），又B得消去，得軌跡方程為，即18河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5米時，

17、水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高0.75米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時，小船開始不能通航？(12分)解析：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橋拱拋物線方程為，由題意可知，B（4，-5）在拋物線上，所以，得，當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時，船不能通航，設(shè)此時船面寬為AA，則A（），由得，又知船面露出水面上部分高為075米，所以=2米19如圖，直線l1和l2相交于點M，l1l2，點Nl1以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程(14分)解析：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點O為坐標(biāo)原點由題意可知：曲線C是以點N為焦點，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B