高考秘籍 破解導(dǎo)數(shù)壓軸題策略7導(dǎo)數(shù)不等式的證明 凸凹性法2

1、導(dǎo)數(shù)中的不等式證明9【考點(diǎn)點(diǎn)睛】放縮法證明不等式在歷年高考數(shù)學(xué)中是永恒的話題，但它?？汲Ｐ?，學(xué)生卻?？汲Ｅ隆２坏仁降膽?yīng)用 體現(xiàn)了一定的綜合性，靈活多樣性，多出現(xiàn)在壓軸題的位置。數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)是應(yīng)用的廣泛性、理論的抽象性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，而不等關(guān)系是深刻體現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本特點(diǎn)。盡管如此，只要我們深入去探索，總有方法規(guī)律可循，總會(huì)有“撥得云開見日出”的時(shí)刻!放縮法的合理運(yùn)用，往往能起到事半功倍的效果，有時(shí)能令人拍案叫絕；但其缺點(diǎn)也是顯而易見，如果使用放縮法證題時(shí)沒有注意放和縮的“度”，容易造成不 能同向傳遞，即放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及，所以要熟練地駕馭它是件不容易的事。命題角

2、度構(gòu)造函數(shù)命題角度放縮法命題角度切線法命題角度二元或多元不等式的證明思路命題角度函數(shù)凹凸性的應(yīng)用在求解過程中,力求“腦中有形，心中有數(shù)”.依托端點(diǎn)效應(yīng)，縮小范圍，借助數(shù)形結(jié)合,尋找臨界.命題角度5函數(shù)凹凸性的應(yīng)用f（X）在D上是凸函數(shù)，其.f "（X）<0，則 f '（X）單調(diào)遞【考法點(diǎn)撥】不等式恒成立問題中，許多試題的幾何背景是曲線與切線靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的上下位置關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用曲線的凸凹性可獲得思路自然、過程簡(jiǎn)潔【知識(shí)拓展】一般地，對(duì)于函數(shù)f（X）的定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D上的不同的任意兩個(gè)自變量的值X1, X2，總有f （） > f （Xj+f （X2）（當(dāng)且僅當(dāng)Xi=

3、X2時(shí)，取等號(hào)），則函數(shù)2 -幾何意義：函數(shù) f（X）的圖象上的任意兩點(diǎn)所連的線段都不落在圖象的上方減，f（X）在D上為凸函數(shù);總有f(Xp+X2)蘭'(xj+f(X2)(當(dāng)且僅當(dāng) =x2時(shí)，取等號(hào))則函數(shù)f (x)在D上是凹函數(shù)，其幾何意義：函數(shù)f (x)的圖象上的任意兩點(diǎn)所連的線段都不落在圖象的下方.f ”(x) >0，貝y f '(X)單調(diào)遞增,f(x)在D上為凹函數(shù).【典例13】(咸陽市2018屆三模)已知函數(shù) f(x)=xlnx ,g(x)=2a(x X)(1)若f (X )vg(x )在(1,畑)上恒成立,(2) 1 1 2 1f 1+ 21+ 2L1 + 2

4、L (n +1)L (n +1)一 (n+1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;求證:2< ve.【解析】(1) f(x)<g(x )等價(jià)于 xin x_a(Xcx0，即 x|nx-a(x-1)2<0，記 h(x)=l nx-)，則 hlW 2axX 2 2x當(dāng)a<0時(shí)，h'(x):>0，h(x )在(1,畑)上單調(diào)遞增，由h(1)=0，h(x)>h(1)=0，所以xh(x):>0，即f(x)<g(x )不恒成立;當(dāng) 0<ac2 時(shí)，2 >1, ,-】時(shí)，h'(x):>0 , h(x)單調(diào)遞增,I a丿f (x)<g(x

5、)不恒成立;當(dāng)a >2時(shí)，x(1,咼)，h'(x)<0 , h(x )在(1,咼)上單調(diào)遞減,h(x)<h(1)=0，所以xh(x)<0，即 f(x)<g(x )恒成立;故f(X )<g(x )在(1,址)上恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 Q 畑(2)當(dāng) a=2 時(shí)，f(x)£g(x )在(1,址)上成立，即 In xcx1,In X c X -1也是應(yīng)用函數(shù)的凸凹性進(jìn)行切線放縮的重要途徑令x =1 +,k =1,2丄,n，則 In 1 +(n +1$L (n +1門(n+盯2n所以S lnk41+亠L(fēng) (小門一畀+(n+廿(E) f l

6、9; (nT)2.<亠+亠亠=沖=亠<丄,sn +1 i(n+1) (n+1)(n +1 ) 2(n+1) 2(n +1 ) 2所以1 +L (n +1)jL (n +1 門 L (1【方法歸納1當(dāng)a =2時(shí)，y =l nx，由于y'=-在(0,址上單調(diào)遞減，所以y = l nx為凸函數(shù),X則切線在函數(shù)y=lnx的圖象的上方，所以In x<：x-1.【典例141(福建泉州市 2018年5月質(zhì)檢)函數(shù)f(x) = l n(x + 1)+ax的圖像與直線y = 2x相切.(1)求a的值;(2)證明：對(duì)于任意正整數(shù)e侖邛2 n$ n!n -fr<nn /1【解析1(

7、1) f '(X ) =+ a .x+1設(shè)直線y =2x與曲線y = f(X )相切于點(diǎn)卩(心y )依題意得:y。=2x0Xo* y0 =ln 化 +1 j+axj，整理得，In(X)+1)丄匚=0,X +11+a =2X0 +1(*)X1令 g2ln(x"-，ggj(x+1廠(x+1)2所以，當(dāng)X >0時(shí)，g'(x):>0, g(x )單調(diào)遞增；當(dāng)1cxv0時(shí)，g'(x)<0, g(x )單調(diào)遞減當(dāng)X = 0時(shí)，g (X )取得最小值g (0 ) = 0,所以 g(x )二0，即 ln (x+1 啟 xx+1注意：該不等式是下一小題的放縮途

8、徑故方程(*)的解為Xo =0，此時(shí)a=1(2)要證明nn盯J2n *，即證n!n丙 <(n+H n+2)L (n+n ),由(1)知,n +1 n +2,< Ln nn +nn Jn <In n +1+Inn + nnnng(x )30,即In( x+1 )>xx+1根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，合理代換，尋求放縮途徑因此 In i1 +1 】>,InV n 丿 n+1聲卜丄>V nJ n +2 n+1L，InH2n 1>n + n n +1上式累加得：In+丄n+nL卜卅希，得證;要證明n-H即證(n +1 X n +2 L (n + n nn e 2只需證心n+

9、2Ln nn +nn+1+Inn+2+L +Inn+nnnIn nn +1<2令 h(x)=l n( x+1 )x，貝y h'(x )=丄一1x+1-xx+1根據(jù)結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，尋求放縮途徑所以當(dāng)XA0時(shí)，h(x)<0, h(x )單調(diào)遞減;當(dāng)一1<xc0 時(shí),h(>0 , h(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x = 0時(shí)，h(x )取得最大值h(0) = 0，即h(x)蘭0, In (x + 1)蘭x .(1 ) 12)2./ L nIn1+ <-, In1 +- <-,In1 + 1 n丿n1 n丿n1 n丿由 In(X +1 )<x得:n<-

10、n上式累加得：In【(1+nL代1+2+L +nn + 1 ，得證;2n綜上，nn e1【審題點(diǎn)津】第(2)小題待證不等式的證明途徑只有從第(1 )小題的探究切線的過程中挖掘，這是切線放縮法的拓展運(yùn)用【典例151(石家莊市2018屆高中畢業(yè)班一模)已知函數(shù)f (x)= (x + b)(eX-a)(b > 0)在(T,f(T)處的切線方程為(e -1)x +ey +e-1 =0.(1 )求 a,b ；(2)若方程f(x) =m有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 X, ,x2，且X| <X2，證明：X2治<1 + m(12e)1-e【解析】(1) a =b =1 ；丄1】(x + 1), le丿(2

11、)由(1)可知 f(x) =(x 十1)(ex1 ),f(0) =0, f(-1) = 0 , fX)=(x + 2)eX1 ,設(shè)f(x)在(1,0)處的切線方程為h(x)，易得h(x) =令 F(x) = f(X)-h(x), F(x) =(x +1 )(ex -1)-卩1 l(x+1 ),不等式放縮須利用切線2丿1則 F '(X) =(x +2 h _, e1 1當(dāng) X <2時(shí)，F(xiàn) '(X)=(x +2<_ v0, e e當(dāng)X >-2時(shí),1設(shè) G(x) = F (x) = (x +2 )eX -,貝y G'(x) =(x + 30 ,e故函數(shù)F(X

12、)在(-2,母)上單調(diào)遞增,又 F '(-1)= 0,所以當(dāng) x(Y,-1 )時(shí)，F(xiàn)'(x) c0，當(dāng) x(1,P )時(shí)，F(xiàn)'(x)>0,所以函數(shù)F (x)在區(qū)間(-處，-1 )上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,)上單調(diào)遞增，故 F(x) >F(1) =0,g 卩 f(x) >h(x)，所以 f (xi) >h(Xi),ime切線放縮注意“腦中有形”設(shè)h(x) =m的根為x；，則x-1+ 1 -e又函數(shù)h(x)單調(diào)遞減，故h(x/ f (xi h(xi)，故x/ < xi,再者，設(shè)y = f(x)在(0,0 )處的切線方程為y=t(x)，易得t(x

13、)=x ,令T(x) = f(X)-t(x) =(x+1 Xex -1 )-X ,(X)=(x +2 )e2 ,當(dāng) x<2 時(shí)，T(x)=(x +2)ex-2<-2<0.當(dāng)X A-2時(shí),令 H (x)=T'(x) =(x+2)eX_2，貝y (3)e0，故函數(shù)T'(x)在(-2,母)上單調(diào)遞增,又T(0)=0,所以當(dāng) x( = ,0 )時(shí)，(x)<0,當(dāng) x(0,母)時(shí)，T'(x)a0,所以函數(shù)T(x)在區(qū)間(-比,0上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+或)上單調(diào)遞增,所以 T(x) 3T(O) = 0,即 f(x) >t(x)，所以 f(X2)>t(X2),設(shè)t(x) =m的根為x/，則x/ =m，切線放縮注意“腦中有形”又函數(shù)