常微分方程第一章.

1、第一章一階微分方程1.1學(xué)習(xí)目標(biāo):1. 理解微分方程有關(guān)的基本概念 ，如微分方程、方程階數(shù)、解、通解、初始條件、初值問(wèn)題 等的定義和提法掌握處理微分方程的三種主要方法 ：解析方法，定性方法和數(shù)值方法2. 掌握變量分離法，用變量替換將某些方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程，掌握一階線性方程的猜測(cè)檢驗(yàn)法，常數(shù)變易法和積分因子法，靈活運(yùn)用這些方法求解相應(yīng)方程 ，理解和掌握一階線性 方程的通解結(jié)構(gòu)和性質(zhì)3. 能夠大致描述給定一階微分方程的斜率場(chǎng)，通過(guò)給定的斜率場(chǎng)描述方程解的定性性質(zhì)理解和掌握歐拉方法，能夠利用歐拉方法做簡(jiǎn)單的近似計(jì)算 4. 理解和掌握一階微分方程初值問(wèn)題解的存在唯一性定理，能夠利用存在唯一性定理判

2、別方程解的存在性與唯一性并解決與之相關(guān)的問(wèn)題，了解解對(duì)初值的連續(xù)相依性和解對(duì)初值的連續(xù)性定理，理解適定性的概念5. 理解自治方程平衡點(diǎn)，平衡解，相線的概念，能夠畫(huà)出給定自治方程的相線，判斷平衡點(diǎn)類型進(jìn)而定性分析滿足不同初始條件解的漸近行為6. 理解和掌握一階單參數(shù)微分方程族的分歧概念，掌握發(fā)生分歧的條件，理解和掌握各種分歧類型和相應(yīng)的分歧圖解，能夠畫(huà)出給定單參數(shù)微分方程族的分歧圖解，利用分歧圖解分析解的漸近行為隨參數(shù)變化的狀況 .7. 掌握在給定的假設(shè)條件下，建立與實(shí)際問(wèn)題相應(yīng)的常微分方程模型，并能夠靈活運(yùn)用本章知識(shí)進(jìn)行模型的各種分析.1.2基本知識(shí)：（一）基本概念1. 什么是微分方程：聯(lián)系著

3、自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式（一般是指等式），稱之為微分方程.2. 常微分方程和偏微分方程：（1）如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則稱這種微分方程為常微分方程2例如冷 bdy cy = f（t），（魚(yú)）2 4 y=0.dt2 dtdt dt（2）如果在微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上，則稱這種微分方程為偏-22 2 2微分方程.例如 T T T = 0，T = 4汀.x :y :z: x ：t本書(shū)在不特別指明的情況下，所說(shuō)的方程或微分方程均指常微分方程.微分方程的階數(shù)：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，4.5.d2ydt2；：2T:x2bdy

4、c f (t)是二階常微分方程; dty；zxn階常微分方程的一般形式:dyF(%這里F(t，y，dy當(dāng)=4 是二階偏微分方程 ct瞑)",dtnn)是t,y,詈d n yd-y的已知函數(shù)，而且一定含有dtn寫(xiě)的dtn項(xiàng)；y是未知函數(shù)，t是自變量. 線性與非線性：(1)如果方程 F (t, y,dt瞑)=0的左端是dtny及渋dtd ny一y的一次有理式,dtn則稱氣心譽(yù)晉八0為n階線性微分方程.(2)般n階線性微分方程具有形式:6.6.n -1nnV ai (t)TyanJ(t)-yan(t)y = f (t)dtdtdt這里d(t),an(t),f(t)是t的已知函數(shù).(3)不是

5、線性方程的方程稱為非線性方程6.6.舉例:吧 "f(t)是二階線性微分方程;方程Jdt2gsin ' =0是二階非線性微分方程;l方程(叫2dt解和隱式解：t魚(yú) y = 0是一階非線性微分方程 dt如果將函數(shù)y二(t)代入方程F(t,y, dydtndty)=0后能使它變?yōu)楹愕仁?，則6.6.稱函數(shù)y二(t)為方程的解如果關(guān)系式 G(t, y二0決定的隱函數(shù) y二(t)是6.方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解7.通解與特解：把含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)c ,c2,.,cn的解 y 呼(t,G,c2,.,Cn)稱為n階方程F(吒d y話r。的通解.其中解對(duì)常數(shù)的獨(dú)立性是指

6、，對(duì)及其-1階導(dǎo)數(shù)ddnJ :,.,d 關(guān)于n個(gè)常數(shù)c1,c2,.,cn的雅可比行列式不為0,即dtdt方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解illill-0.(n)IH(n)-：cn為了確定微分方程一個(gè)特定的解，通常給出這個(gè)解所必須滿足的條件，稱為定解條件方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解常見(jiàn)的定解條件是初始條件n階微分方程 卩(仁丫,魚(yú)dt方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解指如下的n個(gè)條件:tf, yK齊幾加十)，這里t&

7、#176;,y。, y01),.,y0n 是給定的n+1個(gè)常數(shù).求微分方程滿足定解條件的解,就是所謂定解問(wèn)題.當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)， 相應(yīng)的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題 .把滿足初始條 件的解稱為微分方程的特解.初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同 .(二) 解析方法1變量分離方程形如dy = f (t) (y)的方程為變量分離方程，其中 dt方程解法如下：若 (y) = 0,則f(t), (y)分別為t,y的連續(xù)函數(shù)dy(y)二 f (t)dt方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解方程的解，則稱：(t,y = 0為方程的隱式解=f(t)dt c上式確定方程的隱式通解.如果存在y0,使得)y0=o

8、，則y = y0也是方程的解2.可化為變量分離方程的方程(1) 齊次方程形如 dy .g(-y)的方程為齊次方程，g u為u的連續(xù)函數(shù)dt t/解法如下：做變量替換 u =，即y=ut，有d = tdu u，從而原方程變?yōu)閠dt dtt-dU u = g(u)，整理有一U，此為變量分離方程，可求解.dtdt t(2) 形如 dy 二 ait biy C1 的方程,其中 a Qbbc, C2為常數(shù).dta2t +b2y g勺=9 =k的情形. a?b2C2此時(shí)方程化為dy k,可解得y =kt c. dtaibia1bi=0,即一L= =k的情形：a2ba2b2令 u 二 a?t b?y,貝U有

9、 du = a2 b2dy = a2 b2 ku C1dtdtu + C2此為變量分離方程豐0的情形a2 d對(duì)4=9=0的情況，直接做變量替換u =義.t當(dāng)G,Q不全為零，求聯(lián)如“0的解為a2t b2y q =0t廠：y-令TM-：-,則方程組化為洛沖丸Y = y _ ：a2T b2Y = 0dY a T + bY Y原方程化為齊=0r=g(7)的齊次方程可求解3階線性微分方程dy般形式：a(t) ' b(t)y c(t) = 0,若 a(t) = 0，則可寫(xiě)成 dtdy = P(t )y Q < 的形式.dt一階齊次線性微分方程：巴=P(t)y，通解為ce(t)dt，c為任意常

10、數(shù).dt一階非齊次線性微分方程:凹=P(t)y Q(t)，Q(t) = 0 .dt齊次線性微分方程的性質(zhì)性質(zhì)1必有零解 y = 0;性質(zhì)2通解等于任意常數(shù)C與一個(gè)特解的乘積；性質(zhì)3任意兩個(gè)解的線性組合也是該微分方程的解非齊次線性微分方程的性質(zhì)性質(zhì)1沒(méi)有零解； 性質(zhì)2非齊次方程的解加上對(duì)應(yīng)齊次方程的解仍為非齊次方程的解 性質(zhì)3任意兩個(gè)非齊次方程的解的差是相應(yīng)齊次方程的解一階非齊次線性微分方程的解法:(i) 猜測(cè)-檢驗(yàn)法對(duì)于常系數(shù)的情形，即 P(t)為常數(shù)，此時(shí)方程為齊ay Q，a為常數(shù).對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為ceat,只需再求一個(gè)特解，這時(shí)根據(jù)Q(t)為特定的函數(shù)，Bt可猜測(cè)不同的形式特解事實(shí)上，

11、當(dāng)Q(t)二Ae , A,B為給定常數(shù),且B = a時(shí)可設(shè)待定特解為CeBt,而當(dāng)B二a時(shí)，可設(shè)特解形式為 CteBt，后代入方程可確定待定常數(shù)C .當(dāng)Q(t)為cos At, sin At或它們的線性組合時(shí)，其中A為給定常數(shù)這時(shí)可設(shè)待定特解為B cos At Csin At代入方程后確定B，C的值.當(dāng)Q(t)具有多項(xiàng)式形式 a0tn a1tn4 JU' an4t - an,其中a0,q,l| an為給定常數(shù) 且a。= 0 ,這時(shí)可設(shè)待定特解為b°tnbtn4 JU bnt bn代入方程可求得b,i =0,1,111 ,n的值.對(duì)于Q(t)有上述幾種線性組合的形式，則可設(shè)待定

12、特解是上述形式特解的線性組合.|P(t)dt(ii)常數(shù)變易法：令y =c(t)e，代入方程，求出 c(t)后可求得通解為P(t)dtP(t)dty =e ( Q(t)e dt c)方程改寫(xiě)為(iii)積分因子法：P(t)y =Q(t),將"=e ,乘方程兩端得dt-P(t)dt dy -P(t)dtP(t)dtee P(t)y = Q(t)edt_P(t)dtd(ye)_|P(t) dt即 一 =Q(t)e ,從而通解為dt-P )t d t(CH e dt .)c-P(t)dt_P(t)dtP(t) d tyeQ(t)e dt c，即 y = e注意，非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)

13、是：非齊次線性微分方程的通解等于其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解加上非齊次線性微分方程的一個(gè)特解4.伯努利但ernoulli)方程.形如 3rP(t)y Q(t)yn的方程，其中n是常數(shù)且n -0,1, P(t),Q(t)是連續(xù)函數(shù)， dt稱為伯努利方程伯努利方程可通過(guò)變量替換z = y1化為魚(yú)=(1 一n)P(t)z (1 -n)Q(t),dt這是關(guān)于未知函數(shù) z的線性方程，可求其通解.(三) 定性方法與數(shù)值方法：1. 斜率場(chǎng)：一階微分方程 直二f (t, y)的解y =(t)代表ty平面上的一條曲線，稱之為微分方程的dt積分曲線微分方程dy = f (t, y)的通解y二(t， c)對(duì)應(yīng)于t

14、y平面上的一族曲線，稱之為dt微分方程的積分曲線族.滿足初始條件y(t。)= yo的特解就是通過(guò)點(diǎn)(to, yo)的一條積分曲 線方程f (t,y)的積分曲線上的每一點(diǎn)(t, y)處的切線斜率¥剛好等于函數(shù)f(t,y) 在這點(diǎn)的值也就是，積分曲線的每一點(diǎn)(t, y)以及這點(diǎn)上的切線斜率 史 恒滿足方程；反之,dt如果在一條曲線每點(diǎn)上其切線斜率剛好等于函數(shù)f (t, y)在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程的積分曲線這樣，可以用f (t,y)在ty平面的某個(gè)區(qū)域 D內(nèi)定義過(guò)各點(diǎn)的小線段，其斜率為f(t,y)，般稱這樣的小線段為斜率標(biāo)記.而對(duì)ty平面上D內(nèi)任一點(diǎn)(t,y),有這樣一個(gè)小線段與

15、之對(duì)應(yīng)，這樣在D內(nèi)形成一個(gè)方向場(chǎng)，稱為斜率場(chǎng)斜率場(chǎng)是幾何直觀上描述解的常用方法2. 歐拉方法：工dy求微分方程初值問(wèn)題.d? = f (t，y)的解，可以從初始條件y(t0) = y0出發(fā)，按照r(to) =y°一定的步長(zhǎng) 強(qiáng) 依照某種方法逐步計(jì)算微分方程的近似解yn =y(tn),這里tn二t0 nut這樣求出的解稱為數(shù)值解.利用歐拉公式y(tǒng)n 產(chǎn) f (tn,yn) ：t, t.n t ,可求初值問(wèn)題的近似解，這種方法稱為歐拉方法歐拉方法具有一階誤差精度如果我們先用歐拉公式求出近似解，再利用梯形公式進(jìn)行校正，得到的近似解將具有 2階誤差精度，具體為預(yù)測(cè)：ynyn f (tn,yn)

16、 t ,1 _校正：yn 1 = yn f (tn，yn)f(tn 1n 1)氓，這種方法稱為改進(jìn)的歐拉方法(四) 解的存在性、唯一性及解對(duì)初值的連續(xù)相依性1. 利普希茨(lipschitz )條件：函數(shù)f (t, y)稱為在區(qū)域DM R2內(nèi)關(guān)于y滿足利普希茨條件，是指如果存在常數(shù)L0,使得不等式f(t,yj f(t,y2)乞1_ % y2對(duì)于所有的(t,yj,(t,y2)D都成立，其中L稱為利普希茨常數(shù).2. 基本定理(1)解的存在性定理：設(shè)f (t, y)在矩形區(qū)域 D二(t, y) R2: a ： t b, c y d內(nèi)連續(xù).如果(t0, y0r D,那么，存在；0和函數(shù)y(t),定義于

17、區(qū)間(t0- ；,t0 ；)內(nèi)，是初值問(wèn)|dX = f(t y)題dt的解.y(t。) 解的唯一性定理：設(shè)f (t, y)在矩形區(qū)域D =(t, y) R2: a ： t b,c ： y ： d內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件如果(t。，y。)D并且(t), y2(t)是初值問(wèn)題齊 f(t,y).y(t0 ) = y°在區(qū)間(t°- ；,t°；)內(nèi)的兩個(gè)解，那么對(duì)任意的t(t°- ；,t°；), %(t)二y2(t),即解是唯一的注記1:存在性定理和唯一性定理結(jié)合在一起稱為初值問(wèn)題解的存在唯一性定理，敘述如下：設(shè)f(t,y)在矩形區(qū)域D=(t,y

18、)：二R2: ： t : b, c y d內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨條件如果(t0,y0)D ,那么，存在； 0和函數(shù)y(t),定義于區(qū)間理=f(t y)(t0-g,t0+®內(nèi)，是初值問(wèn)題<dt的唯一解因而當(dāng)我們判斷初值問(wèn)題解的存>(to) = y。在唯一性時(shí)，要檢查 f (t,y)需要滿足的條件注記2：由于利普希茨條件較難檢驗(yàn)，常用f(t, y)在2D=(t,y) R : a 乞 t 乞 b, c 乞 y 乞 d上對(duì)y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)來(lái)代替事實(shí)上，如果在 D 上存在且連續(xù)，則 在D上有界設(shè)y:y在D上< L ,這時(shí)f(t,y> f(t,2y 畀(USrypdLy

19、r,其中(t, yj,(t, y2) D, o : 1但反過(guò)來(lái)滿足利普希茨條件的函數(shù) f (t, y)不一定有偏 導(dǎo)數(shù)存在例如f (t, y) = | y |在任何區(qū)域內(nèi)都滿足利普希茨條件，但它在y二0處沒(méi)有導(dǎo)數(shù).(3)解對(duì)初值的連續(xù)相依性定理設(shè)f (t, y)在矩形區(qū)域D =(t, y) R2: a ： t : b,c ： y d內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨應(yīng)=f(t,y)條件.如果(t0,y°) D，yf(t,t0,y°)是初值問(wèn)題dt在區(qū)間(鮎一厲鮎h)內(nèi).y(t。) = y。的解，其中 h 0,那么，對(duì)任意給定的；0,必能找到正數(shù)二、：(；，h)0，使得 當(dāng)2 _22

20、dy = f (t, y)(t° t0 +(% y)" 時(shí)，初值問(wèn)題 dt的解y二生鮎，)在區(qū)間j y(t0) = y0(t。- h,t。h)內(nèi)也有定義，并且|毋(t,f0,yo) (x,to,y。I"tf (to h,to+h).(4)解對(duì)初值的連續(xù)性定理設(shè)f (t,y)在矩形區(qū)域D =(t, y) R2 :a ： t :：: b,c ： y . d內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茨dy = f (t, y)條件如果(to,y。)D， y/：:(t,to,y。)是初值問(wèn)題 dt ''的解，那么:(t,to,y。)y(to) = yo作為t,t0, y0的

21、三元函數(shù)在它存在的范圍內(nèi)是連續(xù)的.3. 初值問(wèn)題的適定性當(dāng)一個(gè)微分方程初值問(wèn)題的解存在，唯一并且解連續(xù)的依賴于初始條件時(shí)，我們稱該問(wèn)題1dy=f(t y)是適定的.那么，對(duì)于常微分方程初值問(wèn)題dt,只要在(t0,y0)所在的區(qū)域內(nèi)y(to) = yof(t, y)連續(xù)并且關(guān)于y滿足利普希茨條件，則該初值問(wèn)題是適定的.(五) 自治方程的平衡點(diǎn)與相線1. 自治方程當(dāng)一階微分方程 砂二f(t,y)的右端項(xiàng)只是y的函數(shù)而與自變量t無(wú)關(guān)，即凹二f(y)時(shí),dtdt稱為自治方程.2. 平衡解與平衡點(diǎn)對(duì)自治方程而言，若f(y)=o有解y = y0,則稱 y(t)三y0是方程的平衡解，dt而點(diǎn)y0稱為方程的一

22、個(gè)平衡點(diǎn).3. 相線相線是僅僅對(duì)自治方程業(yè)二f(y)而言的一種簡(jiǎn)化的斜率場(chǎng).自治方程的斜率場(chǎng)在水平直dt線上的斜率標(biāo)記是一樣的，這樣只要知道一條豎直直線上的斜率標(biāo)記，我們就可以知道整個(gè)斜率場(chǎng).因而，在一個(gè)豎直的直線上，我們用向上的箭頭表示正的導(dǎo)數(shù) ，用向下的箭頭 表示負(fù)的導(dǎo)數(shù).對(duì)于導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，用實(shí)心圓點(diǎn)來(lái)標(biāo)記它，則形成該自治方程的相線.4. 畫(huà)相線的基本步驟(1) 畫(huà)出y-線(豎直線),(2) 找到并在y-線上標(biāo)記平衡點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)或定義域外的點(diǎn)(3) 找到f(y) -0的區(qū)間，在這些區(qū)間上畫(huà)上向上的箭頭，找到f(y) 0的區(qū)間，在這些區(qū)間上畫(huà)上向下的箭頭、 dy5. 初值問(wèn)題 =f (y),

23、 y(o)= yo解的漸近行為dt_ 1(1)趨向于平衡點(diǎn),如f ( y) = y( y -1), yo;2 在無(wú)限時(shí)間內(nèi)趨于無(wú)窮，如f (y) = y, y0 =1 ;(3)在有限時(shí)間內(nèi)趨于無(wú)窮(爆破),如f(y)二y2,y0 =1；1 在有限時(shí)間內(nèi)停止(導(dǎo)數(shù)趨于無(wú)窮),如f(y) ,y0=1.y6. 平衡點(diǎn)的分類對(duì)于自治方程如果f(y)在(-叫 址)內(nèi)連續(xù)，那么它的解當(dāng)t增加時(shí)要么dt(在有限或無(wú)限時(shí)間里)趨于或-:,要么漸近趨于平衡點(diǎn).因而,平衡點(diǎn)在自治方程的研究中起著重要的作用(1)匯對(duì)于初值接近y°的解，當(dāng)t增加時(shí)，都漸近趨于yo.對(duì)于這樣的平衡點(diǎn) yo,我們稱之為匯，它是

24、穩(wěn)定的.源對(duì)于初值接近yo的解，當(dāng)t增加時(shí)，都遠(yuǎn)離yo.對(duì)于這樣的平衡點(diǎn) yo,我們稱之為源，它是不穩(wěn)定的.結(jié)點(diǎn)既不是源也不是匯的平衡點(diǎn)，我們稱之為結(jié)點(diǎn)，它也是不穩(wěn)定的.7. 判斷平衡點(diǎn)類型的線性化方法1. 如果yo是自治方程 = f (y)的一個(gè)平衡點(diǎn)，即f(yo)=O，那么dt(1) yo是源當(dāng)且僅當(dāng)f (y)在yo附近嚴(yán)格單調(diào)增加； yo是匯當(dāng)且僅當(dāng)f (y)在yo附近嚴(yán)格單調(diào)遞減.2. (線性化定理)如果yo是自治方程 或二f(y)的一個(gè)平衡點(diǎn)，即f(yo) =0，dt并且f (y)是連續(xù)可微的，那么(1) 若 f (y°) 0 則 yo 是源；(2) 若 f (yo) ：

25、0,則 yo是匯; 若f (yo)=o，則需要進(jìn)一步的信息決定其類型 (六)分歧一階微分方程解的漸近行為隨參數(shù)變化發(fā)生了類型的變化，我們稱之為分歧現(xiàn)象(或分支,分叉).1.分歧發(fā)生的條件對(duì)于單參數(shù)微分方程族 巴二f(y)二f (J y),-是一個(gè)分歧值的必要條件是：存在dt嚴(yán)0平衡點(diǎn)y0,使得f("0,y0)-("0,y0)=O.這樣我們要找分歧點(diǎn)可以通過(guò)求解方程組工 f(,y) =0、門(mén)，得到解(，y°)，%為可能的分歧值，而yo是可能發(fā)生分歧的平衡點(diǎn)e,y) =0:y2.分歧圖解與分歧類型分歧圖解是平面上方程在分歧值附近的所有相線的圖，用以強(qiáng)調(diào)當(dāng)參數(shù)經(jīng)過(guò)分歧值

26、時(shí)相線所經(jīng)歷的變化.(1)鞍結(jié)點(diǎn)分歧在分歧圖解(圖1-1)中，當(dāng)從左到右經(jīng)過(guò)分歧值 時(shí)，方程的平衡點(diǎn)從兩個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)再 變?yōu)椴淮嬖?，這種分歧一般稱之為鞍結(jié)點(diǎn)分歧.這類分歧圖解在分歧值附近是拋物線的形狀 在分歧圖解(圖1-2)中，當(dāng)丿從右到左經(jīng)過(guò)分歧值=0時(shí)，方程的平衡點(diǎn)由三個(gè)變?yōu)橐粋€(gè)，這種分歧一般稱之為音叉分歧圖1-1鞍結(jié)點(diǎn)分歧圖1-2音叉分歧（3）在分歧圖解（圖1-3）中，當(dāng)=0時(shí)，方程有一個(gè)平衡點(diǎn)；當(dāng)）=0時(shí)，方程有兩個(gè) 平衡點(diǎn).=0是一個(gè)分歧值.雖然在分歧值的兩側(cè)方程都有兩個(gè)平衡點(diǎn)，但平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會(huì)改變.當(dāng)J 0時(shí)，y = 0是一個(gè)匯，它是穩(wěn)定的；當(dāng)J <0時(shí)，y = 0是一個(gè)源，

27、它 是不穩(wěn)定的.這類分歧一般稱為跨越分歧. 在分歧圖解（圖1-4）中，當(dāng) 丄從左到右變化時(shí)，相應(yīng)的方程平衡點(diǎn)依次由一個(gè)變?yōu)閮蓚€(gè),三個(gè),兩個(gè)再變回一個(gè)，這種分歧一般稱之為復(fù)合分歧.（七）一階微分方程的應(yīng)用1. 增長(zhǎng)和衰減問(wèn)題設(shè)S（t）為正在增長(zhǎng)或衰減的某研究對(duì)象的總量.如果假設(shè)它隨時(shí)間的變化率熒 與dt當(dāng)前數(shù)目成正比，其比例系數(shù)為k,則有dS, °dS , °門(mén)kS，或 - kS = 0. dtdt設(shè)S（t）可微，因而是連續(xù)函數(shù).Malthus人口模型滿足上述微分方程，雖然對(duì)人口問(wèn)題，S（t）是離散的，只能取整數(shù)值，但該模型系統(tǒng)在一定情況下提供了很好的近似對(duì)某一生物種群進(jìn)行研

28、究時(shí)，該生物種群的增長(zhǎng)往往受資源和環(huán)境的限制，引進(jìn)參量N，稱為最大承載量，用以表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大數(shù)量，并且假定（1）當(dāng)基數(shù)很小時(shí)，增長(zhǎng)率與當(dāng)前數(shù)成正比；（2） 當(dāng)基數(shù)很大，達(dá)到資源和環(huán)境不能承受的時(shí)候，數(shù)量開(kāi)始減少，即增長(zhǎng)率為負(fù)的. 此時(shí)方程可改寫(xiě)為稱為具有增長(zhǎng)率k和最大承載量(1dt)S,N的Logistic模型，該模型最早由荷蘭生物學(xué)家Verhulst在1838年提出.2. 溫度問(wèn)題牛頓冷卻定律（亦適應(yīng)于加熱的情況）說(shuō)明物體的溫度隨時(shí)間的變化率與物體所處的周圍環(huán)境 的溫差成正比，設(shè)T是物體的溫度，T是所處環(huán)境的溫度，那么物體溫度隨時(shí)間的變化-JT率為,牛頓冷卻定律可表示為

29、dt其中k是正的比例系數(shù)，而負(fù)號(hào)表示在冷卻過(guò)程中，物體溫度 T大于周圍環(huán)境溫度 T , 變化率 <0.在加熱過(guò)程中 0,此時(shí)T :：: T .dtdt3. 稀釋問(wèn)題一容器最初容納 V0升鹽水溶液，其中含鹽 a克.每升含鹽 b克的鹽水溶液以e升/分 的速度注入，同時(shí)，攪拌均勻的溶液以f升/分的速度流出，問(wèn)在任何時(shí)刻t，容器中的含鹽量.設(shè)Q為任何時(shí)刻容器中的含鹽量.Q的變化率等于鹽的注入率減去流出率.鹽 dt的注入率是 be克/分.要決定流出率，首先計(jì)算在時(shí)刻t，容器中的溶液的體積，它等于 最初的體積Vo加上注入的體積 et后減去流出的體積 ft.因此，在任一時(shí)刻t，鹽水的體積是 Voet

30、- ft.在任何時(shí)刻的濃度是，由此得流出率為Voet - ftQfVo et - ft于是得到微分方程gQ=be Qf ，即f Q = be，這是一個(gè)一階dtV0+etft dtV0+etft線性方程.4. 電路一個(gè)簡(jiǎn)單的 RC回路是包含有電阻 R（歐姆），電容C（法拉）和電源V（伏特），如圖1-5.圖1-5 RC電路圖1-6 RL電路由電路學(xué)知識(shí)，C的電壓v(t)與電阻R的電壓之和應(yīng)為電源的電壓V(t).電路中的電流I (安培)為I =dQ =dC =CdV,其中Q為電量從而R處的電壓為 dt dtdt由此我們可以建立 RC電路的模型如下:dvRCdt "V，即dv V(t) -

31、v dt 一 RC對(duì)于一個(gè)包含有電阻R(歐姆),電感L (亨利)和電源V (伏特)的RL回路，如圖1-6.電路由電路學(xué)知識(shí)，C的電壓v(t)與電阻R的電壓之和應(yīng)為電源的電壓V(t).電路中的電流中的電流應(yīng)滿足的基本方程為dlRi=vdt L L(八)種群生態(tài)學(xué)中的模型設(shè)y(t)表示一個(gè)生物種群的數(shù)量，t為時(shí)間，最簡(jiǎn)單的種群模型是Malthus 模型虬ky.dtktMalthus模型的解y(t)二y(0)e預(yù)測(cè)了種群數(shù)量的指數(shù)增長(zhǎng).由于種群數(shù)量大的時(shí)候，對(duì)資源的競(jìng)爭(zhēng)加劇，因此單位增長(zhǎng)率會(huì)隨種群數(shù)目增大而減小，因此更為合理的假設(shè)是= yf(y)(*)dt這里f (y)是單位增長(zhǎng)率，因?yàn)?dy為增長(zhǎng)

32、率，y是種群數(shù)量，而f (y)二魚(yú)/y.當(dāng)考慮種 dtdt群數(shù)量的變化時(shí).對(duì)f(y)而言，其代數(shù)形式并不重要，而關(guān)鍵是其單調(diào)性，凸凹性，這樣我們可以對(duì)其進(jìn)行大致分類：(1)若f (y)在0,：)上是遞減的，稱(*)為L(zhǎng)ogistic 型； 若f (y)在0, ：)上是先增后減的，稱(*)為Allee效應(yīng)型； 若f (y)在0, ：)上是遞減再遞增最后遞減的，稱(*)為Hysteresis 型.1.3典型例題:例1考慮微分方程dy = y3 y 2 20y ,問(wèn)dt(1) y為何值時(shí)，y(t)將保持不變？ y為何值時(shí)，y(t)將增加？ y為何值時(shí)，y(t)將減少？dydydv解：因?yàn)楫?dāng) 0時(shí)，v

33、(t)將保持不變；當(dāng) 0時(shí)，v(t)將增加；當(dāng) 0時(shí),dtdtdty(t)將減少.由 V 'V 20y知，dt(1)當(dāng) y'-y2-20y=0,即 v=0,y=4,v=5 時(shí)，y(t)將保持不變.32當(dāng)yy20y0,即一4 ： y ： 0或y5時(shí)，y(t)將增加.當(dāng)y3-y220y ： 0，即v ： -4 或 0 ： v ： 5 時(shí)，y(t)將減少.例2假定在鄱陽(yáng)湖中一種魚(yú)類的數(shù)量S(t)隨時(shí)間的變化按Logistic模型增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率為k ,最大承載量為 N ,-J QQ即有 二k(1-)S.如果每年要從湖中捕dtN獲(1)定量的魚(yú)，試按下述不同情形對(duì)模型做適當(dāng)修改，每年捕獲1

34、0噸？每年捕獲總量的三分之一 ？捕獲量與總量的平方根成正比？dS dt dS dt dS dts二k(1-2)S-10.NS1-k(1 )S- S.N3S二k(1 -一)S -匕S ,其中I是捕獲量與總量平方根的比例系數(shù)N解:變量分離得ydydxx(1 x2)兩邊積分ydy1 2dx2x(1 x )dx .求解方程dv =t二dtV變量分離得ydt-tdy.2兩邊積分V :22通解為t2y2 二c.求解方程dv =1y2dxxy x3例3解:C為任意正常數(shù).例41 2 1 2即 In(1 y)=ln|x|- In(1 x ) q , g為任意常數(shù), 2 2整理得(1 + y2)(1+x2)=c

35、x2, c = e2C1 為任意正的常數(shù)dy求解方程- y = tan.x=ta n 丫，這是齊次方程,x解：將方程改寫(xiě)為dxdydxxy = ux，有-xdu u，從而原方程變?yōu)閐x dxdu丄x u = u ta n u dx利用分離變量法求得du _ tan udx xsi ru = ex代回原變量得通解為sin = cx, c為任意常數(shù)x求解方程= y x2dx2-y .方程改寫(xiě)為I 1(：)y =ux，從而xduu sgn x、1u2dxarcsindu、1 -u2sgn xdx , arcs in u = sgn x l n x c,-=sgn xn x c, c為任意常數(shù).此外，

36、還有解u2 -1 = 0，即x求解方程dydxx y 1x y -3解方程組X - y 1 = 0的解.X 十 y _ 3 = 0X =1 為y =2令X =,則原方程化為丫卄2dY _ X -Y dX X YYdX 1+u令u，則可化為變量分離方程2 du,XX 1 2uu222解得Y -2XY-X二c,代回原變量有y2 2xy-x2-6y-2x =c, c為任意常數(shù)例8求解方程屯一2y =b(t),其中dt2(1) b(t) =t t 1, b(t) =e4t2t(3) b(t) =3e b(t) =cos3t(5) b(t)二 e4t 3e2t cos3t t2 t 1解：對(duì)應(yīng)齊次方程的

37、通解為y=ce2t,下面用猜測(cè)-檢驗(yàn)法求特解(1)設(shè) y At2 Bt C 代入魚(yú)-2y =t2 t 1,有 dt2At B -2(At2 Bt C) =t2 t 111 2解得 A , B = -1,C = -1,從而y1t2 -t -1 ,原方程的通解為222t 12y =ce t -t -1, c為任意常數(shù).2設(shè)y2二Ae4t代入矽-2y=e4t,有2dt4Ae4t -2Ae4t =e4t1 1 4t解得 A ,從而y2 e ,原方程的通解為2 21y =ce2te4t , c為任意常數(shù).2 不能設(shè)Ae2t形式的特解，因?yàn)樗窍鄳?yīng)齊次方程的解，不可能是非齊次方程的解設(shè) y3 = Ate2

38、t 代入 魚(yú) - 2 y = e2t,有3dt2Ate2t Ae2t _2Ate2t =3e2t2t解得 A=3,從而y3 =3te ,原方程的通解為y = ce2t 3te = (c - 3t)e2t, c 為任意常數(shù) 設(shè) y4 二 Acos3t Bsin3t 代入 史2丫 二 cos3t,有 dt-3Asin31 3Bcos3t -2(Acos3t Bsin3t) =cos3t-2A 3B-仁023有，解得A , B ,-3A-2B=0131323從而y4cos3tsin 3t ,原方程的通解為13132t 23y =ce cos3t sin3t, c 為任意常數(shù)1313(5)根據(jù)疊加原理

39、，由前面4個(gè)小題知方程有特解1 4t2t 23 丄 3. a 1 .2.y5e 3te cos3t sin 3t t -t-12 13132原方程的通解為1 231y=ce2te4t 3te2t - cos3t sin 3t - t2-t-1,c 為任意常數(shù)2 13132例9 求方程dyJ的通解.dx 2xy解：將方程改寫(xiě)為dx 2x - y22xy.dy y ydx 2求齊次線性微分方程x,得通解為x = cy2.dy y(常數(shù)變易法)令x=c(y)y2代入原方程 得二一丄，c(y) n | y| c,dy y從而可得原方程的通解為x=y2(-ln|yc), c為任意常數(shù).例10 求方程dy

40、 = 6 - ty2的通解.dt t解：此為n = 2的伯努利方程.令 z = y可得z t，dt t此為線性方程可求通解為代回原變量得ct28c,c為任意常數(shù)c tz 6t68此外，原方程還有解y =0.例11用積分因子法求解方程3 = 空(t 1)3.dtt+1解：方程改寫(xiě)為 也一自 (t 1)3,積分因子為(t)=(t 1)工,dt t+1乘方程兩端得(t 1V2dy -2(t1)"y=t 1,dt即dil LLJ=t 1 ,有 y 二丄(t 1)4 c(t 1)2,C 為任意常數(shù).dt2t例12 若f(t)連續(xù)且f(t).o f(s)ds=1 .t =0,試求函數(shù)f(t)的一

41、般表達(dá)式.tdF解：設(shè) F(t)二 f (s)ds ,則 F(t)可導(dǎo)且 F(t)=f(t),這樣有 F 1, FdFdt,、0dt得 F2(t) =2t c, F(t) = _、2t c ,又 F(0) =0,得 c=0.從而 F(t) = _、，進(jìn)而f(t)二 F (t)1例13求具有性質(zhì)y(t，s) 刈 回 的函數(shù)y(t),已知y (0)存在.1-y(t)y(s)解：首先令S=0，由已知可得 y(t)= 型 y(0)1 y(t) y(0)化簡(jiǎn)有y(0)(1 y2(t) =0,知y(0) =0.由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義y(t +s) y(t) y(t) =limsT sy(t) y(s) -y(t

42、)Ms_0s2俯 y(s)(1 y(t)s 0 s(仁 y(t)y(s).y(s) r 1 y2(t)二 lim lims 0 s s Q1_y(t)y(s)變形為令曲(0) (1y2(t)二 y (0) dt,積分得 arctan y(t)二 y (0)t c 由 y(0) = 0 ,知c =0,所以滿足條件的函數(shù)為y(t)二tan y(0)t).例14請(qǐng)選出斜率場(chǎng)相應(yīng)的微分方程，并說(shuō)明理由(1)矽十2dy =2二 y-4dtdt '(5)dy24 -ydy=2-ydtdtF面給定8個(gè)微分方程和4個(gè)斜率場(chǎng)dy丄2dy c丄y -1(4)2-1dtdtdy dy?(7)yt t (8)

43、y tdtdt解：圖1-7對(duì)應(yīng)于(4),圖1-8對(duì)應(yīng)于(3),圖1-9對(duì)應(yīng)于(2), 圖1-10對(duì)應(yīng)于(7).J-*- -X X X X X A wwv- . . b圖1-9圖1-7的斜率場(chǎng)豎直方向上的斜率標(biāo)記一樣知方程的右端項(xiàng)僅是自變量t的函這是因?yàn)閿?shù)f(t),且當(dāng)t 2, f(t)：O,當(dāng)t :：: 2時(shí)，f(t) .0,只有 滿足要求圖1-8的斜率場(chǎng)知方程右端項(xiàng)為f (t, y)是t,y的函數(shù)，且當(dāng) y：0時(shí),f(t,y) <0,只有滿足.圖1-9的斜率場(chǎng)知方程為自治方程有平衡點(diǎn)y = 2, y = -2 ,且在-2 ： y ： 2時(shí),f(y) <0,知只有滿足要求.圖1-1

44、0的斜率場(chǎng)知方程右端項(xiàng)為f (t,y)是t, y的函數(shù)，且有平衡解y=-1,只有(7)滿足要求.例15利用歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法，對(duì)步長(zhǎng).計(jì)=0.1,在區(qū)間0,1上求初值問(wèn)題dy =y21, y(0) = 0的近似解.dt解：這里f(t,y) = y2 1,t0 =0,y0 =0.利用歐拉公式y(tǒng)n 1 二 ynf(tn,yn) ：t, t. = t。 nt,和改進(jìn)的歐拉方法，預(yù)測(cè):yn 1yn f (tn,yn) ：t ,1 _校正:yn 1 二 yn ?f (tn,yn) f(tn 1,Vn1)氏,分別計(jì)算如下表歐拉方法改進(jìn)的歐拉方法ntnynf (tn, yn)預(yù)測(cè)的yn校正的yn真解y

45、 = tant00010010.10.10001.01000.10000.10050.100320.20.20101.04040.20150.20300.202730.30.30501.09300.30720.30980.309340.40.41431.17160.41940.42340.422850.50.53151.28250.54130.54700.546360.60.65981.43530.67690.68490.684170.70.80331.64530.83180.84290.842380.80.96781.93661.01401.02991.029690.91.16152.349

46、11.23601.25921.26021011.39642.94991.51791.55371.55742例16 討論微分方程dydt3y3在怎樣的區(qū)域內(nèi)滿足存在唯一性定理的條件,并求通過(guò)點(diǎn)(0, 0)的一切解.2解：由f(t,y) =3y3,知它在全平面內(nèi)連續(xù)又由于卄(t, y) =2y_3,在除去y = 0y分別計(jì)算如下表分別計(jì)算如下表的區(qū)域內(nèi)連續(xù)，從而在除去y = 0的有界閉區(qū)域內(nèi)有界，進(jìn)而滿足利普希茨條件，知方程滿足初始條件 y(t0) =y0 =0的解在充分小的鄰域內(nèi)存在并且唯一 當(dāng)y =0時(shí),函數(shù)y =0是方程過(guò)(0,0)的解1 _當(dāng)y=0時(shí)，方程可變形為y_3dy二dt,積分得

47、y =(t c)3, c為任意常數(shù)33c=0時(shí)，得特解 y=t是過(guò)(0,0)除零解外，過(guò)(0,0)的所有<3(t -G) , t yj(t -y =丿y = <，y =i0, t = g 'I0, t 蘭 Q的另一個(gè)解，其實(shí),其中Ci,C2是滿足G 0,Q -0的任意常數(shù)，這些解的定義區(qū)間為解可以表示為3丄- q) t ： G-C2 )3,tC2，0, & 三 c2分別計(jì)算如下表分別計(jì)算如下表上在充分小的鄰域 (-；，；)內(nèi)方程所確定的過(guò)(0,0)的解只有四個(gè)即函數(shù)y =0,y二ty一2<0 及 J0;。0, 0蘭t < 名.t , 0 Wt £

48、; 名例17 舉例說(shuō)明一階微分方程初值問(wèn)題匚(t，y)解的存在唯一性定理中，關(guān)于.y(t。)= y°f (t, y)在矩形區(qū)域D二(t, y)：二R2 :a ： t . b,c ： y d內(nèi)連續(xù),關(guān)于y滿足利普希茨條件是保證解的存在唯一的非必要條件解：(1)當(dāng)連續(xù)條件不滿足時(shí)，解也可能是存在唯一的.如方程dydt= f(t,y) = 0,y： io,yt間斷點(diǎn)為直線y=t,但過(guò)原顯然，f (t,y)在以原點(diǎn)為心的任何矩形區(qū)域內(nèi)不連續(xù)點(diǎn)的解存在唯一，這個(gè)解就是y=t.(2)當(dāng)利普希茨條件不滿足時(shí)，解也可能是唯一的.如虬 f(t,y)Jln|y0,y；0,dt0,y=t由于 | f (t

49、,yj - f (t ,0)冃屮 In | %| -0| =|l n|y1| y0|,當(dāng)0,1n | % |)-：無(wú)界，因而f (t, y)在以原點(diǎn)為心的任何矩形領(lǐng)域內(nèi)不滿足利x普希茨條件.然而方程的所有解為y=：Gce,c為任意常數(shù)，及y=0.過(guò)原點(diǎn)(0,0)有唯一解 y(t)=0.dv例18對(duì)微分方程y(y-2)( y-5)而言，利用存在唯一性定理，說(shuō)明滿足下列dt初始條件的解是否存在，如果存在你能否知道這個(gè)解或有關(guān)這個(gè)解的一些性質(zhì).(1)y(0) =6，(2)y(0) =5，(3)y(0)=1,(4)y(0) 一1 .解：由方程的右端項(xiàng)為f (y)二y( y2)( y5)僅為y的函數(shù)在全

50、平面上連續(xù)可微從而由存在唯一性定理，給定初始條件的解是存在并且是唯一的.首先由f (y) hvW-2)(y-5)知方程有 y(t)=0, y(t) =2, y(t) =5三個(gè)平衡解.(1) 初始條件為y(0) =6,初值位于y(t) =5的上方，由唯一性，滿足這個(gè)初始條件的解(t) 定大于5,且 二(力-2)(力-5) 0,知這個(gè)解遞增,并dt且隨著y1(t)的遞增,叱也遞增并且越來(lái)越大,知在t增加時(shí),y1(t)在有限時(shí)間dt內(nèi)爆破,趨向于 :.當(dāng)t減少時(shí),y1(t)遞減,并且隨著y1(t)的遞減趨于5, dt也遞減趨向于0,遞減越來(lái)越來(lái)越緩慢，知y1(t) > 5.(2) 初始條件為y(0) =5,而平衡解y(t) =5滿足這一初始條件，由唯一性，滿足這個(gè)初始條件的解就是平衡解y(t)二5.(3) 初始條件為y(0) =1,初值位于y(t) =0, y(t) =2這兩個(gè)平衡解的中間，由唯一性，滿足這個(gè)初始條件的解y3(t) 定滿足0 ： y3(t) ： 2,且由dy=y3(y32)(y35) 0,知這個(gè)解遞增，并且隨著y3(t)的遞增，y也遞增dtdt但隨著y3趨向于2,空 趨向于0,增長(zhǎng)越來(lái)越緩慢，知t", y