常系數(shù)非齊次線性微分方程的幾種解法

1、廣東廣州華南師范大學(xué)(鄭海珍 20052201323 李璇 20052201333)摘要：常系數(shù)非齊次線性微分方程是微分方程中典型的一類，它 在自然科學(xué)領(lǐng)域里有比較廣泛的應(yīng)用。本文收集并歸納了求 非齊次線性微分方程特解的幾種方法，包括常數(shù)變易法、化 為高維線性微分方程組的方法、代換降階法、比較系數(shù)法， 以及在比較系數(shù)法的基礎(chǔ)上推廣而出的簡(jiǎn)易待定系數(shù)法。以 求更多地收集并掌握求非齊次線性微分方程特解的方法。關(guān)鍵詞：常系數(shù)非齊次線性微分方程；特解；通解；正文：常系數(shù)非齊次線性微分方程形如：X(n)PiX(TP2X(n2)* Pn X= f(t) (1)的求解步驟一般是：先求方程(1)對(duì)應(yīng)齊次方程的

2、基本解組Xi (t), X2 (t), Xn (t),再設(shè)法求出方程(1 )的一個(gè)特解 (t),則方程(1 )的通解易得為nx(t)二' CiXi(t)(t),i =1Ci ,i =1,2/ ,n為任意常數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，求齊次線性微分方程的基本解組比較容 易，問(wèn)題在于怎樣求解方程(1)的特解X (t)。下面將一一介紹幾種求方程(1) 的特解的方法。首先給出本文常用符號(hào)：FC)"* Pn為方程（1）的特征方程。1 , ' 2，,'k是特征根，其對(duì)應(yīng)的重?cái)?shù)分別為Ui，U2廠uk。Xi（t）,X2（t）,，Xn（t）是方程（1）對(duì)應(yīng)齊方程的基本解組常數(shù)變易法1 可設(shè)方

3、程（1）的特解形如:(1.1)(t) y(t)Xi(t) C2(t)X2(t)Cn(t)Xn(t)其中cj =1,2，,n是待定常函數(shù)。將其代入方程（1），并附加n-1個(gè)條件，便 可得方程組（*）"(t)飛2瑯)XnG(t) = O"(t) X29(t)XnG(t) = Ob劉光 '笄匕 )<nn%n(t)=O 劉匕x2n4)q(t)老飛=f(t)解方程組（*）得到cjt）,c2（t）,，cn（t）的表達(dá)式，對(duì)它們分別進(jìn)行積分，從而得Ci,i =1,2/ ,n，再將它們代入（1.1）式中，繼而得到了方程（1）的一個(gè) 特解 （t）。此法對(duì)于自由項(xiàng)f（t）的形式?jīng)]

4、有限制，故使用范圍較廣。但求解的工作量 大。二、 將方程（1）化成為高維線性方程組的方法1 （n -1）令X1 二 X,X2 二 X, ,Xn = X ,（n T）則X1 二 X 二 X2,X2 二 X = X3,Xn_1 二 XXn= x(n)(n1)(n-2)+ 丄 / 、-P1X - P2X - PnX f (t)二-»Xn 一 P2XnT 一 - PnX f (t)x1|X21 . 1|X21x =11=1: 111 .1X 一X 一,則方程(1)等價(jià)于這時(shí)可寫(xiě)IL_ PnPnJ一 Pn_2一 p1 一f(t) 一xx00，F(xiàn) (t)=;IL_ Pnn -J一 Pnd(tL寫(xiě)

5、成x = AxF(t)(2.1)xx只要知道方程組(2.1)所對(duì)應(yīng)的線形方那么，現(xiàn)在要求方程(1)的特解，程組的基解矩陣叮(t)及其特解 (t)就可以求得。若方程(1)滿足x(to) = 0，x (to) = 0,，X(n1)(to)= 0，則其特解可由常數(shù)變易公式(t)嘰W%(s),x2(s),個(gè)伽儲(chǔ)出。其中WX1(S),X2(S),Xn(S)1 是 X1(S),X2(S),Xn (s)的朗斯基行列式，Wk %(s),X2(s), ,x.(s)是在W%(s),X2(s),Xn(s中以第 k 列代入(0,0，0,1 )T后得到的行列式。三比較系數(shù)法1 對(duì)于常系數(shù)非線性方程(1)，我們更常用的是

6、比較系數(shù)法，它是把求解微 分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成某代數(shù)問(wèn)題，在自由項(xiàng)為f(t)二 Pm(t)e"或f(t)二Pn(t)cosP t+Ps(t)sinPt，(其中Pm(t), P n(t), Ps(t)分別為m次，n次，s次多項(xiàng)式。，一為實(shí)常數(shù))時(shí)，可預(yù)見(jiàn)確定特解的形式，即分別令= tkQm(t)ej,(Qm(t)為一待定 m次多項(xiàng)式，k是方程(1 )的特征方程有根時(shí)的次數(shù))或 = tkQm)(t)coSt+ Q2)(t)si nEtf，(其 中m= maxn,slQ(t), Qjt)位兩個(gè)代定m次項(xiàng)式，k為方程含根 a 土肚的次數(shù)。然后將其代入方程(1)，并利用比較左右兩邊t同次幕系數(shù)的

7、方法確定代 定系數(shù)多項(xiàng)式。再根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理就可求方程的通解。四、簡(jiǎn)化待定系數(shù)法2 比較系數(shù)法只用了代數(shù)方法，不經(jīng)過(guò)積分，相對(duì)于算子法、常數(shù)變易法來(lái)說(shuō) 具有易掌握，有好記憶的優(yōu)點(diǎn)。但同學(xué)們?cè)诮忸}過(guò)程中也不難發(fā)現(xiàn)， 比較系數(shù)法 的計(jì)算量比較大，尤其當(dāng)方程為高階時(shí)，算起來(lái)相當(dāng)麻煩，稍不小心就很容易出 錯(cuò)。下面介紹第四種方法一一簡(jiǎn)化待定系數(shù)法， 從而改進(jìn)了原待定系數(shù)法?，F(xiàn)作 如下介紹：定理 4.1 方程 x(n)p/Z) p2x(T pnx 二 pm(t)e t(2)其中Pi , P2廠，Pn，'為常數(shù)，Pm(t)為m次多項(xiàng)式。則可設(shè)方程(2)的一個(gè)特解 x 二(botbtbmt

8、 )e 二 Q(t)e( 4.2)其中b,i = 0,1,2.m)是待定系數(shù)，由恒等式k m 1'F(j)(t)Q (j)(t)二Pm (t)(4.3)來(lái)確定，F(xiàn)(t)為方程(2)的特征方程，k為由特征方程FC ) = 0的根，的重?cái)?shù)(是單根時(shí)k=1，'不是特征根時(shí)k=0)證明：設(shè)x = (b°tk m dtk mTbmtk)e t 二 Q(t)e吐為方程(2)的解，則 x 二 e Y Q(t) Q (t)x 二 el 2Q(t) 2 Q(t) Q (t)x(2)= efQ(t)+ cn2Q'(t) + C：3Q”(t)+- +Q(n“(t)X(n) = e

9、t( nQ(t)cl n1Q (t) C；nQ (t)C：1 Q(n1)(t) Q(n)(t)將X,X ,XX(n)代入方程(2)的左端X(n) p1X(nJK P2X(n4 pnX-e”CnQ(t)+ C；/nd(t)+ Cn>nQ“(t) +C；%Q(T(t) + Q(n)(t)+ p1eWnQ(t)+ cn_?P(t) +QZ(t)Pn/ t( 2Q(t) 2 Q (t) Q (t)Pne t( Q(t) Q (t)PnQ(t)e*111詔Q(t)F( ) ;Q(t)F( )Q'(t)F ( )-Q(n)(t)12!nn 1F(n)( )?e -Q(j)()F(j)(P.(

10、t)etmj!m于是得到'j=0-F (j)(t)Q(j)(t)二Pm(t)(4.4)其中 F( ) = n r P2n乩記護(hù))()汗()F(n)( )=10n!由于是F (-)的k重特征根，可得F()二 F ()二 F ()八二 F(kj)( ) = 0,而F(k)(廠 0 于是由(4.4)得(4.5)。反之，如果對(duì)于方程(1)恒等式(4.5)成立，那么函數(shù)x二Q(t)e't是方程(1)當(dāng)是它相應(yīng)特征方程的k重根時(shí)的特解當(dāng)Pm(t)二a°時(shí)，是特征方程的k重根，則方程(1)有形如a。tketF(k)c )特例對(duì)于方程x"+ p1x + p2x= a0e&#

11、39;'1當(dāng)不是特征方程時(shí)，有特解 xF()2當(dāng)是特征方程的單根時(shí)，有特解-te t F()3當(dāng)'時(shí)特征方程的重根時(shí)，有特解t2e t當(dāng)Pm(t)二a-t 印，是特征方程的k重根，則方程(1)有特解 = (b-t心十 b1tk)et,b-=a-b _ai-b-F(k41)0)(k 1)F(k)( )，1 F(k)()而形如x(n) + 叔2)+ p2x(n_2) i + pnx= (p1 (t)coP- p2(t)sinPt)e"(P1 (t), P2 (t)分別為m次和n次多項(xiàng)式，：/ 為常數(shù))，則可利用Euler公式化為指數(shù)形式，便得上述結(jié)果仍有效。例1:求方程x

12、 - 2/ - 3 e的通解。解：特征方程由F(')=-2'-3二0可得1 = 3.' 2 = 一1所以3t-t齊次方程的通解為x = qeC2e 0因?yàn)?F(-1) 7F (-1)4 = 0, pm(t)=1，11所以依據(jù)1知原方程有一個(gè)特解te4 te，F(xiàn) (T)4故原方程的通解為x = c1e3tc2e例 2：求方程 x(4)- 4x 6x” - 4x，x = (t 1)et 的一個(gè)特解解：因?yàn)镕 C ) = 4 - 4，3 - 6 " - 4兒1 = 0,可得F(1)= Q F(1) = QFr(1) = 0jFr(1)= Q F(1) = 24 Q

13、p(t)十 1所以根據(jù)<2>1(5),24, F ()"111-V0bQ = (41)24 = 12。"24/1丄4申丄1丄4、t故原方程有一個(gè)特解x=（視24t）e五、代換降階法 3 由一階常系數(shù)非齊次線性微分方程x px = f （t）的通解為x = ept（. f （t）eptdt c），我們聯(lián)想到對(duì)于二階以至高階常系數(shù)非齊次線性方程是否也有類似的通解形式。定理1 ：設(shè)方程x px qx二 f （t） （5.1）對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，2 p' q = 0 ,它的兩個(gè)特征根為 1, 2,則（5.1）與方程組(5.2)X “-九X = x1X，-從

14、=f （t）是等價(jià)的。于是可得（5.1）的通解為x 二 c1e Mt e 2t e（ 2 一 小f（x）e_2tdtc2 dt證明：、，工是， p - Q的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得p =1 12） , q -<2 ,從而（5.2）可化為X -（ 2 ）2X = f （t）若令= x - x，則- 2X = f （t）。于是（5.1）與方程組（5.2）是等價(jià)的。方程組（5.2）的解為x = e 2t x1e '1dt c x1 -e'2t f(t)e2tdt c2則(5.1)的通解為x 二 e lt e f(t)e"dt cjedt - c,1(5.3)5.1）化成-

15、c1e1t e1N-.e('_1)t f(t)2tdt c2 dt1其中c, c2為任意常數(shù)。可以看出，這個(gè)方法的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程（ 兩個(gè)相繼的一階常系數(shù)線性微分方程組（5.2）來(lái)求解。定理2:設(shè)方程（5.1 ）對(duì)應(yīng)的特征根為，i,，2，則 1. 當(dāng)1 = '2時(shí)，此方程的通解為+ 1 eA f (t)eftdt + 1 e2f f (t)/2tdtA 4 A2 +2. 1 /. 2/ -1 /. 22.當(dāng)='2 ='時(shí)，此方程的通解為X =(Gc2)et (t f(t)edt- tf(Uetdtjet3，當(dāng) -* i 12 一-時(shí)，此方程的通

16、解為x = e" (c1 cosP t+ c2 sin 卩 t) + e" (- y cos 卩 t J f (t)e sin P tdt1+ 石sin Pt j f (t)e cos 卩tdt)定理2的結(jié)論僅由'1, '2代入方程（5.3）中再進(jìn)行簡(jiǎn)化。例1、 解方程y - 2y 討二解：解特征方程2= 0得特征根r二 2 = 1。由定理2得到通解xy = (q c2x)ex (x =e歩dx _ xxdx)exxx=(q + c2x + xln x - x)ex由定理1我們?cè)龠M(jìn)行推廣，得到：定理3:若方程（1）有n個(gè)特征根，12，n ,則方程（1）與下列

17、方程 組等價(jià)：X" - 人1X = X1X1 入2X1 = X2“(5.4)Xn _2 入n_JXn_2 = Xn_jXnJ - nXnV = f (t)且方程(1)的通解為X 二 e" de(2)tdte( nj)dt f(t)entdt證明：設(shè)方程（1）的特征方程 F（'）八（n） - pn = 0的根為'n。則利用一元高次代數(shù)方程根與系數(shù)關(guān)系有nn'i =p1，'' i ' j = p2， J.丨ii=11：:j蟲(chóng)i呂于是方程（1）可改寫(xiě)為(n)X送幾內(nèi)x2）+ |（_1）n<1缶弐丿-嚴(yán)）（ ）11生£

18、弐二嚴(yán)）1“T）”飛汕nn-11Wfn -1 n 二(5.5)f n4、( 、廣nV、令 Xn=X(T -士ix(z +Z人耐X（T +(TT'rt K X( 5.6)li三丿燈査£弐二丿<iT丿則（5.5）可寫(xiě)成-Xn4 = f (t) 0蝕Lt從而可解出 Xn二e . f （t）e ndt。則（5.6）為一個(gè)n-1階常系數(shù)線性微分方程。它的特征根為'1,n1，仿照上面過(guò)程，令/n 2、/n、(n .2)XnN =X-Z K lx+、(n 4)Z丸內(nèi)|X()+(-1嚴(yán)口爼X，2丿丿<7丿則(5.6)又可寫(xiě)成Xn/ - ' njXn = X.。tt從而可解出Xn = e'n1 . XnnJdt。依此類推，最后令X廠X： X，于是 解出x = e t xe_ ltdt。故方程(1與方程組(5.4)同解且其解為x = “代 = e/2t J X2z?tdtXn=e nt f (