內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2講　函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)VIP

1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第2講函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)主干知識(shí)整合1函數(shù)的性質(zhì)(1)單調(diào)性：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì)，是函數(shù)中最常涉及的性質(zhì)，特別注意定義中的符號(hào)語(yǔ)言；(2)奇偶性：偶函數(shù)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義域區(qū)間上具有相反的單調(diào)性；奇函數(shù)其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義域區(qū)間上具有相同的單調(diào)性特別注意定義域含0的奇函數(shù)f(0)0；(3)周期性：f(xT)f(x)(T0)，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)，T是它的一個(gè)周期2對(duì)稱(chēng)性與周期性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)的圖象有兩條對(duì)稱(chēng)軸xa，xb(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|ba|

2、是它的一個(gè)正周期，特別地若偶函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa(a0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)正周期；(2)若函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(a,0)，(b,0) (ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|ba|是它的一個(gè)正周期，特別，若奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a0)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，2|a|是它的一個(gè)正周期；(3)若函數(shù)f(x)的圖象有一條對(duì)稱(chēng)軸xa和一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心(b,0)(ab)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|ba|是它的一個(gè)正周期，特別是若偶函數(shù)f(x)有對(duì)稱(chēng)中心(a,0)(a0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個(gè)正周期，若奇

3、函數(shù)f(x)有對(duì)稱(chēng)軸xa(a0)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4|a|是它的一個(gè)正周期3函數(shù)的圖象(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初等函數(shù)的圖象的特點(diǎn)；(2)函數(shù)的圖象變換主要是平移變換、伸縮變換和對(duì)稱(chēng)變換4指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(注意根據(jù)圖象記憶性質(zhì))指數(shù)函數(shù)yax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況；對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a>0，a1)的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種情況；冪函數(shù)yx的圖象和性質(zhì)，分冪指數(shù)>0，0，<0三種情況要點(diǎn)熱點(diǎn)探究探究點(diǎn)一函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用例1

4、(1)2011·安徽卷 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x) 2x2x，則f(1)()A3 B1 C1 D3(2)設(shè)奇函數(shù)yf(x)(xR)，滿(mǎn)足對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)，且x時(shí)，f(x)x2，則f(3)f的值等于_(1)A(2)【解析】 (1)法一：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x) 2x2x，f(1)f(1)2×(1)2(1)3，故選A.法二：設(shè)x>0，則x<0，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x0時(shí)，f(x) 2x2x，f(x)2(x)2(x)2x2x，又f(x)f(x)，f(x)2x2x，f(1)2×1213

5、，故選A.(2)根據(jù)對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)可得f(t)f(1t)，即f(t1)f(t)，進(jìn)而得到f(t2)f(t1)f(t)f(t)，得函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為2，故f(3)f(1)f(01)f(0)0，ff.所以f(3)f的值是0.【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題本題第(2)小題中，實(shí)際上就是用已知條件給出了這個(gè)函數(shù)，解決問(wèn)題的基本思路有兩條：一條是把這個(gè)函數(shù)在整個(gè)定義域上的解析式求出，然后再求解具體的函數(shù)值；一條是推證函數(shù)的性質(zhì)，把求解

6、的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到已知函數(shù)解析式的區(qū)間上的函數(shù)值本題根據(jù)對(duì)任意tR都有f(t)f(1t)還可以推證函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，函數(shù)又是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這樣就可以畫(huà)出這個(gè)函數(shù)在上的圖象，再根據(jù)周期性可以把這個(gè)函數(shù)的圖象拓展到整個(gè)定義域上，進(jìn)而通過(guò)函數(shù)的圖象解決求指定的函數(shù)值，研究這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)等問(wèn)題，在復(fù)習(xí)中要注意這種函數(shù)圖象的拓展變式題：設(shè)偶函數(shù)f(x)對(duì)任意xR，都有f(x3)，且當(dāng)x3，2時(shí)，f(x)4x，則f(107.5)()A10 B. C10 DB【解析】 根據(jù)f(x3)，可得f(x6)f(x)，所以函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期為6.所以f(107.5)f(1080.

7、5)f(0.5)f(0.5)f(2.53).例2 2011·安徽卷 函數(shù)f(x)axm(1x)n在區(qū)間0,1上的圖象如圖21所示，則m，n的值可能是()圖21Am1，n1 Bm1，n2Cm2，n1 Dm3，n1B【解析】 由圖可知a0.當(dāng)m1，n1時(shí)，f(x)ax(1x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，所以A不可能；當(dāng)m1，n2時(shí)，f(x)ax(1x)2a(x32x2x)，f(x)a(3x24x1)a(3x1)(x1)，所以f(x)的極大值點(diǎn)應(yīng)為x0.5，由圖可知B可能當(dāng)m2，n1時(shí)，f(x)ax2(1x)a(x2x3)，f(x)a(2x3x2)ax(3x2)，所以f(x)的極大值點(diǎn)為x0.5

8、，所以C不可能；當(dāng)m3，n1時(shí)，f(x)ax3(1x)a(x3x4)，f(x)a(3x24x3)ax2(4x3)，所以f(x)的極大值點(diǎn)為x0.5，所以D不可能，故選B.【點(diǎn)評(píng)】 函數(shù)圖象分析類(lèi)試題，主要就是推證函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)、特殊點(diǎn)的函數(shù)值以及圖象的實(shí)際作出判斷，這類(lèi)試題在考查函數(shù)圖象的同時(shí)重點(diǎn)是考查探究函數(shù)性質(zhì)、用函數(shù)性質(zhì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)函數(shù)圖象作出分析判斷類(lèi)的試題，已經(jīng)逐漸成為高考的一個(gè)命題熱點(diǎn)，看下面的變式變式題：2011·山東卷 函數(shù)y2sinx的圖象大致是()圖22C【解析】 由f(x)f(x)知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以

9、排除A；又f(x)2cosx，當(dāng)x在x軸右側(cè)，趨向0時(shí)，f(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x軸右邊接近原點(diǎn)處為減函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，f(2)2cos2<0，所以x2應(yīng)在函數(shù)的減區(qū)間上，所以選C.探究點(diǎn)三基本初等函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用例3 2011·遼寧卷 設(shè)函數(shù)f(x)則滿(mǎn)足f(x)2的x的取值范圍是()A1,2 B0,2 C1，) D0，)D【解析】 當(dāng)x1時(shí)，f(x)2化為21x2，解得0x1；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)1log2x<1<2恒成立，故x的取值范圍是0，)，故選D.【點(diǎn)評(píng)】 本題要注意在分段函數(shù)上分段處理的方法，另外就是要注意在解對(duì)數(shù)方程或者不等式時(shí)一定

10、要注意其真數(shù)大于零的隱含條件高考對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)的考查主要是應(yīng)用，應(yīng)用這些函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)圖象、解不等式、比較數(shù)值的大小等，如下面的變式變式題：2011·天津卷 已知a5log23.4，b5log43.6，clog30.3，則()Aa>b>c Bb>a>c Ca>c>b Dc>a>bC【解析】 令mlog23.4，nlog43.6，llog3，在同一坐標(biāo)系下作出三個(gè)函數(shù)的圖象，由圖象可得m>l>n，又y5x為單調(diào)遞增函數(shù)，a>c>b.創(chuàng)新鏈接2抽象函數(shù)解題思路所謂抽象函數(shù)問(wèn)題就是不給出函數(shù)的解

11、析式，只給出函數(shù)滿(mǎn)足的一些條件的函數(shù)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題的主要題型是推斷函數(shù)的其他性質(zhì)、研究特殊的函數(shù)值、解與函數(shù)的解析式有關(guān)的不等式等抽象函數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)就是沒(méi)有給出函數(shù)的解析式，需要我們根據(jù)函數(shù)滿(mǎn)足的一些已知條件推斷函數(shù)的性質(zhì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，可以說(shuō)推斷函數(shù)性質(zhì)是我們解決抽象函數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思想如果是選擇題或者填空題可以找到滿(mǎn)足已知條件的具體函數(shù)，通過(guò)具體函數(shù)解決一般性問(wèn)題例4 定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)f(x)且f(x)在1,0上是增函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)其中正確命題的序

12、號(hào)是_(請(qǐng)把正確命題的序號(hào)全部寫(xiě)出來(lái))【分析】根據(jù)給出的函數(shù)值的等式，f(x1)f(x)，把其中的x替換成x1后，再次使用上面關(guān)系可得f(x2)f(x)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得f(x2)f(x)，即可得函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象還關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即可根據(jù)函數(shù)在已知區(qū)間上的單調(diào)性推斷該函數(shù)在未知區(qū)間上的單調(diào)性【答案】 【解析】 由f(x1)f(x)f(x2)f(x1)f(x)，故函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，命題正確；由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故f(x2)f(x)，函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)x1對(duì)稱(chēng)，故命題正確；由于函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間0,1上遞減，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，函數(shù)在1,2

13、上應(yīng)該是增函數(shù)(也可根據(jù)周期性判斷)，故命題不正確；根據(jù)周期性，f(2)f(0)，命題正確【點(diǎn)評(píng)】 解這類(lèi)抽象函數(shù)試題，關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)值等式的變換，通過(guò)變換首先得到其周期性，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各個(gè)結(jié)論作出判斷本題中關(guān)系式f(x1)f(x)，可以變換為f(x1)f(x)，這個(gè)等式說(shuō)明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)變式題：(1)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(x4)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，如果x1x2<4且(x12)(x22)<0，則f(x1)f(x2)的值()A恒小于0 B恒大于0C可能為0 D可正可負(fù)(2)2011·遼寧卷 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(1

14、)2，對(duì)任意xR，f(x)2，則f(x)2x4的解集為()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)(1)A(2)B【解析】 (1)根據(jù)不等式(x12)(x22)<0，可得x1，x2的值一個(gè)大于2、一個(gè)小于2.由題意知x1，x2地位是對(duì)等的，不妨設(shè)x1<2，x2>2，當(dāng)x1<2，x2>2，x1x2<4時(shí)，可得2<x2<4x1.又x>2時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x2)<f(4x1)f(x1)，即f(x1)f(x2)<0.(2)設(shè)G(x)f(x)2x4，所以G(x)f(x)2，由于對(duì)任意xR，f(x)>2，所以G(x)

15、f(x)2>0恒成立，所以G(x)f(x)2x4是R上的增函數(shù)，又由于G(1)f(1)2×(1)40，所以G(x)f(x)2x4>0，即f(x)>2x4的解集為(1，)，故選B.規(guī)律技巧提煉1(1)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x有f(xa)f(x)(a0)，則可得f(x2a)f(xa)f(x)，即可推知2a是這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期；(2)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x都有f(xa)，f(xa)(a0)，同樣可推知2a為其周期；(3)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x，都有f(xa)(a0，f(x)1)，則采用f(x2a)，f(x4a)進(jìn)行推理可得其一個(gè)周期是4a.2如果函數(shù)f(x

16、)滿(mǎn)足對(duì)任意x都有f(ax)f(bx)，則這個(gè)函數(shù)圖象本身是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，關(guān)于直線(xiàn)x對(duì)稱(chēng)，反之亦然；如果函數(shù)f(x)滿(mǎn)足對(duì)任意x都有f(ax)f(bx)，則這個(gè)函數(shù)圖象本身是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是，反之亦然注意這個(gè)結(jié)論中ba的情況3由偶函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)xa(a0)對(duì)稱(chēng)可得函數(shù)解析式滿(mǎn)足f(ax)f(ax)，進(jìn)而f(2ax)f(x)f(x)，即可得到函數(shù)yf(x)的一個(gè)周期是2a；當(dāng)奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)(a0)對(duì)稱(chēng)時(shí)，可得f(ax)f(ax)，以xa代x得，f(2ax)f(x)f(x)，也可推出2a是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期教師備用例題備選理由：例1是考查以映射

17、的觀(guān)點(diǎn)看待函數(shù)以及函數(shù)的三要素，鑒于這個(gè)問(wèn)題不是高考考查的重點(diǎn)，我們?cè)谡闹袥](méi)有列入這個(gè)探究點(diǎn)，可用此題補(bǔ)充這個(gè)知識(shí)點(diǎn)；例2雖然是2009的高考試題，可這個(gè)題目是高考考查抽象和函數(shù)性質(zhì)中較為深入的一個(gè)試題，試題具有較大的難度，其解法體現(xiàn)了解決一類(lèi)抽象函數(shù)問(wèn)題的基本方法；例3的目的是考查使用函數(shù)性質(zhì)的思想意識(shí)，就是透過(guò)具體的函數(shù)解析式發(fā)現(xiàn)和使用函數(shù)性質(zhì)，這種意識(shí)也要注意培養(yǎng)；例4，試圖通過(guò)這個(gè)題提供一個(gè)解決區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般方法例1給定kN*，設(shè)函數(shù)f：N*N*滿(mǎn)足：對(duì)于任意大于k的正整數(shù)n，f(n)nk.(1)設(shè)k1，則其中一個(gè)函數(shù)f在n1處的函數(shù)值為_(kāi)；(2)設(shè)k4，且當(dāng)n4時(shí)，2f(n)

18、3，則不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為_(kāi)【答案】 a(a為正整數(shù))16【解析】 由于函數(shù)f(n)在n>1時(shí)的解析式是f(n)n1，根據(jù)給出的函數(shù)值必須是正整數(shù)，可得只要f(1)的值為正整數(shù)即可，即此時(shí)函數(shù)f(n)當(dāng)k4時(shí)，函數(shù)在n>4時(shí)的解析式是f(n)n4，在n1,2,3,4時(shí)，由于函數(shù)值滿(mǎn)足f(n)2,3，故f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的取值各自有兩種可能，因此這個(gè)函數(shù)在n4時(shí)，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)取值的可能性有16種，所以有16個(gè)這樣不同的函數(shù)【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)概念的理解，即在函數(shù)定義域確定的情況下，函數(shù)的值域可以不同，從而得到的函數(shù)也不相同，本題的目的是考查考生對(duì)函數(shù)三要素的理解程度例2函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x1)與f(x1)都是奇函數(shù)，則()Af(x)是偶函數(shù) Bf(x)是奇函數(shù)Cf(x)f(x2) Df(x3)是奇函數(shù)【解析】 D由已知條件知f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)；由f(x1)f(x1)f(x2)f(x)由此得到f(x2)f(x2)，即f(x2)f(x2)，由此可得f(x4)f(x)，即函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)這樣f(x3)f(x1)，故函數(shù)f(x3)是奇