超靜定結構的計算

1、.1.3 超靜定結構的計算超靜定結構是具有多余約束的幾何不變體系，僅根據(jù)靜力平衡條件不能求出其全部支座反力和內(nèi)力，還須考慮變形協(xié)調(diào)條件。計算超靜定結構的基本方法是力法和位移法。這兩種基本方法的解題思路，都是設法將未知的超靜定結構計算問題轉換成已知的結構計算問題。轉換的橋梁就是基本體系，轉換的條件就是基本方程，轉換后要解決的關鍵問題就是求解基本未知量。1.3.1 力法力法是以多余未知力為基本未知量、一般用靜定結構作為基本結構，以變形協(xié)調(diào)條件建立基本方程來求解超靜定結構內(nèi)力的計算方法。（一）超靜定次數(shù)的確定一）超靜定次數(shù)的確定超靜定結構多余約束（或多余未知力）的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)，用n表示。確定超

2、靜定次數(shù)的方法是：取消多余約束法，即去掉超靜定結構中的多余約束，使原結構變成靜定結構，所去掉的多余約束的數(shù)目即為原結構的超靜定次數(shù)。在結構上去掉多余約束的方法，通常有如下幾種：切斷一根鏈桿，或者移去一個支座鏈桿，相當于去掉一個約束；將一個固定支座改成固定鉸支座，或將受彎桿件某處改成鉸接，相當于去掉一個抗轉動約束；去掉一個聯(lián)結兩剛片的鉸，或者撤去一個固定鉸支座，相當于去掉兩個約束；將一梁式桿切斷，或者撤去一個固定支座，相當于去掉三個約束。（二）力法的基本原理法的基本原理現(xiàn)以圖1-26a所示一次超靜定結構為例，說明力法的基本原理。其中，要特別重視力法的三個基本概念。圖1-261、力法的基本未知量：

3、取超靜定結構中的多余未知力（如圖1-26a中的X1）作為力法的基本未知量，以Xi表示。多余未知力在超靜定結構內(nèi)力分析中處于關鍵的地位，因此，有必要將其突出出來，作為主攻目標。力法這個名稱也因此而得。2、力法的基本體系：將原結構中的多余約束（如圖1-26a中的支座B）去掉，所得到的無任何外加因素的結構，稱為力法的基本結構（圖1-26b）；基本結構在荷載和多余未知力共同作用下的體系，稱為力法的基本體系（圖1-26c）。在基本體系中，仍然保留原結構的多余約束反力X1，只是把它由被動力改為主動力，因此基本體系的受力狀態(tài)與原結構完全相同。由此看出，基本體系本身既是靜定結構（可方便計算），又可用它代表原來

4、的超靜定結構。因此，它是由靜定結構過渡到超靜定結構的一座橋梁。3、力法的基本方程：為求多余未知力，除平衡條件外，還須補充新的條件，即利用原結構的已知變形條件。在本例中，基本體系沿多余未知力X1方向的位移1應與原結構支座B處的豎向位移相同，即1=0（a）由圖1-26d和e可知，變形條件（a）可表示如下：（b）根據(jù)疊加原理，于是可進一步將變形條件寫成顯含多余未知力X1的展開形式為 （1-23）這就是在線性變形條件下一次超靜定結構的力法基本方程，其實質是變形條件。（三）多次超靜定結構的計算三）多次超靜定結構的計算對于n次超靜定的一般情形，力法的基本未知量是n個多余約束力X1，X2，Xn；力法的基本體

5、系是以原結構中去掉n個多余約束，而代之以相應的n個多余未知力后所得到的靜定結構；力法的基本方程是在n個多余約束處的n個變形條件基本體系中沿多余未知力方向的位移應與原結構中相應的位移相等。在線性變形體中，根據(jù)疊加原理，n個變形條件通?？蓪憺椋?-24）式（1-24）為n次超靜定結構在荷載、溫度改變、支座移動等因素共同作用下力法基本方程的一般形式，因為不論結構是什么型式、結構的基本未知量和基本體系怎么選取，其力法基本方程均為此形式，故常稱為力法典型方程。在方程（1-24）中，系數(shù)和自由項、都代表基本結構的位移。位移符號中采用雙下標表示，第一個下標表示位移的方位，第二個下標表示產(chǎn)生位移的原因。例如：

6、基本結構在單獨作用下，沿方向的位移；、基本結構在荷載、溫度改變、支座移動單獨作用下，沿方向的位移；原結構沿方向的實際位移。解力法方程（1-24）得到多余未知力，Xn的數(shù)值后，超靜定結構的內(nèi)力可根據(jù)平衡條件求出，或根據(jù)疊加原理用下式計算：（1-25）式中、和是基本結構由于=1作用而產(chǎn)生的內(nèi)力，、和是基本結構由于荷載作用而產(chǎn)生的內(nèi)力。在應用式（1-25）第一式畫出原結構的彎矩圖后，也可以直接應用平衡條件計算和，并畫出圖和圖。（四）力法解題步驟1.確定超靜定次數(shù)n；2.選擇力法的基本體系；3.建立力法典型方程（根據(jù)基本體系沿多余未知力方向的位移與原結構相應位移相等的條件）；4.計算系數(shù)、和自由項、（

7、為此，須作出基本結構的各單位內(nèi)力圖和實際荷載內(nèi)力圖，由相應的位移計算公式求出）；5.解力法典型方程，求出基本未知量；6.作結構內(nèi)力圖（將已求出的視為外力，根據(jù)基本體系的平衡條件，直接求內(nèi)力；或根據(jù)疊加原理，利用式（1-25）計算）；7.校核（一般可分兩步進行：一是利用平衡條件校核，這是必要條件；二是根據(jù)已知變形條件校核，這是充分條件。詳見本節(jié)第五部分“超靜定結構最終內(nèi)力圖的校核”）。【例1-16】試用力法作圖1-27a所示結構的內(nèi)力圖。設各桿剛度的比值為，。圖1-27解：（1）確定超靜定次數(shù)：n=1（此結構為一次超靜定組合結構）。（2）選擇力法基本體系，如圖1-27b所示。（3）建立力法典型方

8、程：（4）計算系數(shù)和自由項：繪出基本結構的圖及圖，并求出DB桿的軸力及（圖1-27c、d）。計算系數(shù)及自由項時，對梁桿只考慮彎矩影響，對桁桿應計算軸力影響。由位移計算公式可求得（5）解力法方程，求：將以上和值代入力法方程，可解得()（6）作內(nèi)力圖：按疊加公式作原結構彎矩圖,如圖1-27e所示。再根據(jù)彎矩圖作出剪力圖，如圖1-27f所示。再由剪力圖作出軸力圖，如圖1-27g所示?！纠?-17】試求圖1-28a所示剛架由于溫度改變所產(chǎn)生的彎矩圖。各桿截面為矩形，高度，線膨脹系數(shù)為。設EI=常數(shù)。圖1-28解：（1）確定超靜定次數(shù)：n=1。（2）選擇力法基本體系，如圖1-28b所示。（3）建立力法典

9、型方程：（4）計算系數(shù)和自由項：繪出基本體系的圖及圖，如圖1-28c、d所示。由位移計算公式可求得（5）解力法方程，求：將以上和值代入力法方程，可解得：（）（6）作最終彎矩圖：，如圖1-28e所示。由計算結果可知，在溫度變化影響下，超靜定結構的內(nèi)力與各桿剛度的絕對值有關?！纠?-18】圖1-29a所示結構的A支座發(fā)生了水平位移a=0.5cm（向右），b=1cm（向下），已知各桿的抗彎剛度。試繪制M圖。圖1-29解：（1）確定超靜定次數(shù)：n=1。（2）選擇力法基本體系，如圖1-29b所示。（3）建立力法典型方程：（4）計算系數(shù)和自由項、：繪出基本體系的圖及圖（圖1-29c、d），并求出虛設單位力

10、作用下的支座反力（圖1-29c），由圖乘法及支座移動時的位移計算公式可求得（5）解力法方程，求：將以上、代入力法方程，可解得（）（6）作最終彎矩圖：由疊加法可作出最終彎矩圖，如圖1-29e所示。用（五）結構對稱性利用利用結構對稱性簡化計算的前提條件是結構必須具有對稱性，對稱結構是指結構的幾何形狀、支承條件的剛度分布均對稱于某軸，該軸為結構的對稱軸。對稱結構的受力和變形特點是：在正對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，而剪力圖是反對稱的；在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。利用這些特點，計算對稱連續(xù)梁或對稱剛架時，只須計算這些結構的半邊

11、結構，這種方法稱為等效半邊梁法或等效半剛架法。取半邊結構代替原結構計算，能降低超靜定次數(shù)，從而達到簡化的目的。選取半邊結構的基本原則是：在結構對稱軸切口處，按原結構的受力和變形設置相應的支承，得到原結構的等效半邊結構。其具體作法見圖1-30（在正對稱荷載作用下）和圖1-31（在反對稱荷載作用下）。圖1-30 正對稱荷載作用下的等效半剛架圖1-31 反對稱荷載作用下的等效半剛架【例1-19】試作圖1-32a所示剛架的彎矩圖。設EI=常數(shù)。圖1-32解：此結構是一個對稱結構，由于荷載是反對稱的，故取半邊結構如圖1-32b所示（注意：將中柱的抗彎剛度減半）。再取基本體系如圖1-32c所示。建立力法典

12、型方程如下：分別作出和圖，如圖1-32d、e所示，由圖乘法可得代入典型方程可解得（）由疊加公式作半邊結構彎矩圖，如圖1-32f所示。由對稱性得原結構的彎矩圖，如圖1-32g所示。（六）具有彈性支座結構的計算計算1.彈性支座是指受力后將發(fā)生位移，而外力解除后位移便可消失的支座。在工程實際中，可見于支承在細長柔性墩上的連續(xù)梁、橋梁中的橋面梁、建筑工程中的交叉梁樓面等實例中。2.彈性支座的柔度系數(shù)（通常用表示）定義為，彈性支座在單位力作用下，沿力的方向所引起的位移。例如柔性墩柱化為彈性支座，其，其中h為墩柱的長度，EA為墩柱的剛度。3.用力法計算具有彈性支座的結構時，可按組合結構的位移計算公式計算，即（1-26）式中第一項為彎曲變形對位移的影響，第二項為彈性支座本身的變形對位移的影響；、和分別為基本結構在各單位力和荷載作用下，在各彈性支座中所產(chǎn)生的軸力，亦即等于支座反力、和，可對比具有彈性支座的位移計算公式（1-7）?！纠?-20】試作圖