第二章導數(shù)與微分

1、第二章 導數(shù)與微分一、 基本要求1深刻理解導數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解導數(shù)的物理意義，會用導數(shù)描述一些物理量，理解左、右導數(shù)的概念及函數(shù)可導的充要條件.2掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)的求導法則，掌握基本初等函數(shù)的求導公式，會求初等函數(shù)和分段函數(shù)的導數(shù).3會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導數(shù)，會求反函數(shù)的導數(shù).4理解高階導數(shù)的概念，了解萊布尼茲公式，會求簡單函數(shù)的n階導數(shù).5深刻理解微分的概念，理解導數(shù)與連續(xù)、微分的關系，了解函數(shù)微分的幾何意義，了解微分的四則運算法則和一階微分不變性.6會求函數(shù)的微分，了解微分在近似計算中的應用.二、 問

2、題解析1 .如何理解導數(shù)定義中比式的極限？導數(shù)定義可有多種不同的表達形式，例如等. 導數(shù)是“比”式的極限（不是極限的比）, 并且必是兩個無窮小之比的極限, 是、或、或時的比式的極限；在求極限的過程中是不變的常量, 但是，極限過程之后得到的又是的函數(shù)，而與(或)無關, 故稱為“導函數(shù)”. 再者，其中的極限變量（或）趨于零的方式不能有任何限制，必須是雙邊極限并通過一切中間量連續(xù)地趨于零. 例如： ， ,均得不到結論，前者只能說明函數(shù)在點的右導數(shù)存在，后者則是沿特定的子列趨于.再如狄利克雷函數(shù)對于任意，與同為有理數(shù)，或同為無理數(shù)，即有，從而 , 但在內處處不連續(xù)，從而處處不可導.另外, 導數(shù)定義中比

3、式 的分子、分母中的極限變量必須以統(tǒng)一的形式出現(xiàn). 比如，等式 的右端并不是，而是，即.2 。函數(shù)在一點單側可導和在該點可導有何關系？如何討論分段函數(shù)在分段點處的可導性？函數(shù)的單側導數(shù)的定義，就是把導數(shù)定義中的雙側極限改為單側極限與.函數(shù)在點的左、右導數(shù)都存在，不能保證函數(shù)在點可導，還需左、右導數(shù)相等.，不能保證函數(shù)在點可導，例如，當時，；當時，.但是由于在點不連續(xù)，故在點不可導. 在這里，點是函數(shù)的“可去間斷點”. 如果將改為則在點可導，并且.分段函數(shù)在分段點兩側表達式一致時，即時，應直接用定義判定的存在性，不必討論其單側導數(shù).當分段函數(shù)在分段點兩側定義表達式不一致時，即就必須通過判定在點的

4、左導數(shù)和右導數(shù)的存在性以及相等性來判定的存在性.3可導與連續(xù)有怎樣的關系？可導必連續(xù)，但連續(xù)未必可導.例如，函數(shù)處處連續(xù)；時存在導數(shù)；在點處不可導，因為不存在.不能想當然地認為連續(xù)函數(shù)至少在某些點可導，因為存在處處連續(xù)而處處不可導的函數(shù)：，是一個由無窮級數(shù)(參見第十章無窮級數(shù))定義的非初等函數(shù)，由實變函數(shù)知識可以證明為連續(xù)函數(shù)，但處處不可微. 由此例也可體驗到曾統(tǒng)治古典數(shù)學研究的直觀方法是不可靠的.4在導數(shù)的幾何意義中，如何理解函數(shù)在點可導和該函數(shù)曲線在點（）處切線之間關系？函數(shù)在點可導，則函數(shù)所表示的曲線在點處切線的斜率存在，于是必有切線. 應注意其否命題不成立，即若函數(shù)在點不可導時，函數(shù)所

5、表示的曲線在點處未必不存在切線. 例如曲線 ，因為所以 在 不可導， 但曲線在點處有鉛垂切線，切線斜率為.5如何理解導數(shù)與微分的關系？導數(shù)與微分都是討論Dx與y的關系的，所以它們之間應有內在的聯(lián)系，教材第二章第五節(jié)的定理1揭示了這種聯(lián)系. 但是導數(shù)與微分是源于兩個不同的實際背景：導數(shù)源于精確地計算函數(shù)的變化率，它把泛泛的平均變化率精確化到在一點的變化率，是變化率的數(shù)學抽象. 微分則是源于近似計算；實際應用中的一切計算幾乎都需要用到近似計算的(這也表明了微分應用的廣泛性)；微分表達式, 即表明只要知道在一點的函數(shù)值及其導數(shù)的值， 就可以用x的一次函數(shù)近似計算點附近的函數(shù)值, 誤差是比高階無窮小這

6、就可以把一個難以計算其值的函數(shù)(如超越函數(shù)), 局部近似地表達為便于計算數(shù)值的函數(shù)(一次函數(shù)). 遺憾的是，這里的近似度偏低（姑且稱之為一次近似），并且是個難于控制范圍的量，而不能估計誤差的近似計算是不便于應用的； 因此，微分用于近似計算有待于進一步發(fā)展, 一方面，向著提高近似度方向發(fā)展，達到任意次近似的精確程度；另一方面，要提供出估計誤差大小的方法. 導數(shù)與微分的運算具有雙重關系：一方面表示可由計算導數(shù)來計算微分；同時也表示可用微分之比來表達導數(shù). 把導數(shù)這么個復雜的極限表示為兩個微分之比賦予了導數(shù)理論極大的靈活性；在隨后的學習中也可體會到用微分反過來計算導數(shù)的便利. 正是微分與求導這種密切

7、相關的運算關系，使得我們面臨具體問題時，可以審時度勢選擇采用求導或求微分的手段. 6初等函數(shù)的導數(shù)一定是初等函數(shù)嗎？初等函數(shù)在其定義區(qū)間里處處連續(xù)，在其連續(xù)點是否處處可導？初等函數(shù)是被廣泛應用的一大類函數(shù)，是中學數(shù)學與高等數(shù)學的主要研究對象，又是研究非初等函數(shù)的基礎. 有了基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，又有了導數(shù)的四則運算法則和復合運算的求導法則，原則上已經可以求初等函數(shù)在可導點的導數(shù).在這里可以體味到初等函數(shù)求導公式數(shù)和及其運算法則的優(yōu)美，從基本初等函數(shù)的求導公式看，降低了“次數(shù)”；而對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)等超越函數(shù)的導數(shù)則是代數(shù)函數(shù). 不過經過復合以后的初等函數(shù)的導數(shù)仍可能是比較復雜的. 另外，我

8、們還要強調兩點：初等函數(shù)的導數(shù)未必是初等函數(shù)，例如，是初等函數(shù)，且當時，當時, ,所以顯見不是初等函數(shù). 進一步還可以驗證是的連續(xù)點. 雖然初等函數(shù)在其定義區(qū)間里處處連續(xù)，但在其連續(xù)點未必可導. 例如, 是初等函數(shù)，其定義域為.由于，所以在處不可導.但這個函數(shù)的曲線在點處仍然有切線，只是這切線平行于軸，其斜率為.再如,是初等函數(shù)，在其定義域處處連續(xù). 因為與所以在點不可導，.還有個有趣的現(xiàn)象：函數(shù)在閉區(qū)間上處處可導，因為在這閉區(qū)間左端點存在右導數(shù)，在右端點存在左導數(shù)，；并且時，.但是在這些閉區(qū)間的并集上并不是處處可導，當時，不存在. 也就是說函數(shù)在閉區(qū)間和上可導時，未必在閉區(qū)間上可導.7函數(shù)與

9、其導函數(shù)之間關于函數(shù)特性有哪些相關性質？有界函數(shù)的導函數(shù)未必有界. 例如在區(qū)間內為有界函數(shù)，但是因為，所以在區(qū)間內為無界函數(shù). 反之也不成立，即若導函數(shù)有界，函數(shù)也未必有界，例如. 但是，在加強條件下逆命題能夠成立，即：如果導函數(shù)在區(qū)間上有界，則在上有界. 其證明如下：設，任取定點，其中， 即，從而 ，由于無窮小量為有界量，故存在，使得， 又由于， 所以，上式表明在上有界. 周期函數(shù)的導函數(shù)仍為周期函數(shù). 因為若是以T為周期的可導函數(shù)，則由于.為可導函數(shù)，從而對任意的，總有，這表明也是以為周期的函數(shù).反之并不成立，即若導函數(shù)為周期函數(shù)，未必是周期函數(shù). 例如不是周期函數(shù)，但卻是周期函數(shù).單調函

10、數(shù)的導數(shù)未必是單調函數(shù).例如在區(qū)間內是單調函數(shù)，其導數(shù)在內并不是單調函數(shù). 反之也不成立，即若導函數(shù)為單調函數(shù)，函數(shù)也未必是單調函數(shù)，例如在內不是單調函數(shù)，但，在內單調遞增.奇(偶)函數(shù)的導函數(shù)是偶(奇)函數(shù). 例如，因為若為在內可導的奇函數(shù)，則有，且對任意的，總有，所以奇函數(shù)的導數(shù)為偶函數(shù)；同理可證，偶函數(shù)的導數(shù)為奇函數(shù). 反過來，導函數(shù)是偶函數(shù)時，其原來的函數(shù)(我們稱之為原函數(shù))自身未必具有奇、偶性. 例如，是偶函數(shù)，其原函數(shù)并不具有奇偶性.但是，如果導函數(shù)是奇函數(shù)時，其原函數(shù)自身必是偶函數(shù)，利用第四章介紹的定積分變上限函數(shù)可以獲得這個結論的證明. 總之，函數(shù)的周期性可延續(xù)到其導數(shù)上，函數(shù)

11、的奇偶性可對偶地延續(xù)到其導函數(shù)上；反過來只有“導函數(shù)是奇函數(shù)時，其原來的函數(shù)自身必是偶函數(shù)”成立. 函數(shù)的有界性和單調性則與其導數(shù)之間沒有直接關聯(lián). 8函數(shù)與其絕對值函數(shù)的導數(shù)之間有怎樣的關系?如果函數(shù)在點處可導, 利用可導必連續(xù)、極限的保號性，以及導數(shù)定義可得以下結論:(1) 若, 則在點處可導, 且 10當時, ； 20當時, .(2) 若, 則10當時, 在點處可導, 且；20當時, 在點處不可導.反之, 如果函數(shù)在點處可導, 函數(shù)在點處未必可導, 例如9.有關求導運算中應注意的幾個問題，你注意到了嗎？ 注意左(右)極限符號()、左(右)導數(shù)符號()與導數(shù)左(右)極限符號()的區(qū)別. 用

12、定義求時，用其簡化形式更簡潔. 設函數(shù)在點的附近有定義. 若在點的某去心鄰域內可導，且其導函數(shù)的通式為. 如果導函數(shù)在處無定義，并不能立即斷言在處不可導. 例如，函數(shù)作為初等函數(shù)直接求導數(shù)可得函數(shù)，顯然在處無意義.但注意到是的連續(xù)點，且當時，所以并不是的導數(shù)，其導數(shù)應為且點 還是導數(shù)的連續(xù)點. 學習求導運算必須牢記基本初等函數(shù)的導數(shù)公式、求導的四則運算法則以及復合函數(shù)求導法則. 用“鏈式法則”求以復合函數(shù)形式給出的初等函數(shù)的導數(shù)是初學時常遇到的一個困難, 求導時要把它“折化”到基本初等函數(shù)為止，常出現(xiàn)的問題是“短鏈子”和“斷鏈子”，但這是個通過適量的習題演練都能夠解決的問題.求分段函數(shù)在分段點

13、處的導數(shù)是本章的一個難點. 當分段函數(shù)在分段點左右兩側表達式一致時, 應利用導數(shù)定義求其分段點處的導數(shù). 例如，求函數(shù)在處的導數(shù), 只需考察極限 是否存在；當分段函數(shù)在分段點左右兩側表達式不一致時, 則應利用左右導數(shù)存在與相等性來求得. 例如，求函數(shù)在處的導數(shù), 則需考察左導數(shù)和右導數(shù)是否存在, 并且是否相等.關于分段點左右兩側表達式不一致的分段函數(shù)在分段點處的可導性，還有下述等價命題：在可導Û在不需要詳細解題過程的題目(如填空題、選擇題等)中，需求左右兩側表達式不一致的分段函數(shù)在分段點處的導數(shù)時，還可用下面的性質(充分條件):Þ在可導.即在首先確定在點處具有連續(xù)性后，可利

14、用左、右段函數(shù)的導數(shù)的相等性來獲得在點處導數(shù). 鑒于函數(shù)的和與差的求導公式比積與商的求導公式簡便，對于用積與商形式表達的函數(shù)可以通過取對數(shù)將其轉化為和與差的形式，然后求導數(shù)對數(shù)求導法. 例如：計算函數(shù)的導數(shù)時，可先取對數(shù)，兩端分別求導數(shù)，整理即得 .連續(xù). 求冪指函數(shù)的導數(shù), 既不能用冪函數(shù)的求導公式, 也不能用指數(shù)函數(shù)的求導公式, 可采用兩種方法求其導數(shù): 先取對數(shù)再求導, 即對數(shù)求導法；轉化成以e為底的指數(shù)函數(shù), 再求導.(9) 參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的二階導數(shù)易犯的錯誤為：.產生這種錯誤的原因在于對記號的意義沒理解好. 表示的是函數(shù)對t的導數(shù)， 而是要求函數(shù)對x的導數(shù), 即 . 由復合函

15、數(shù)鏈式求導法則知,.同樣的道理可應用在三階以及更高階的導數(shù)上，即有.(10) 求函數(shù)的n階導數(shù)可用 直接法：先求所給函數(shù)的一至三(或四)階導數(shù)，然后從這些導數(shù)的規(guī)律中找出所求n階導數(shù)的表達式；公式法：先將所給函數(shù)經四則運算、變量代換后，再利用常見函數(shù)的n階導數(shù)公式即得所求。幾個常見函數(shù)的n階導數(shù)公式：； ； ； .(11) 對于一些較復雜的函數(shù)應用一階微分運算不變性求函數(shù)的微分，要比用公式(求導法)更簡潔些, 從而不易出錯. 對于復合函數(shù)、由方程所確定的隱函數(shù)以及含有四則運算的函數(shù)來說, 有時應用一階微分不變性求其一階導數(shù)或微分也更加方便一些.三、習題提示或簡解習題2-1 （P.50）4. 解

16、 (1) ;(2) ;(3) ;(4) .由于(4)中分子兩點函數(shù)的差均與函數(shù)在點處的值無關, 這有可能出現(xiàn)(4)中的兩個極限都存在, 但函數(shù)在點處不連續(xù)的現(xiàn)象, 故(4)并不是函數(shù)在點處可導的充分條件. 例如, 函數(shù), 顯然函數(shù)在點處不連續(xù), 從而不可導, 但(4)中的極限存在:.5. 提示因為為在點兩側函數(shù)表達式不一致, 所以應分別討論在點的左, 右導數(shù).6. 提示因為存在, 且, 所以. 在已知函數(shù)在某點可導的條件下, 常用導數(shù)定義來證明其性質.7.提示因為為在點兩側函數(shù)表達式一致, 所以應用連續(xù)和導數(shù)定義討論在點的連續(xù)性和可導性即可, 即分別考察極限和 . 8. 提示由本節(jié)引例2知變速

17、直線運動的速度.11.簡解在時間間隔內任取一個小的時間間隔, 則在這個小的時間間隔內,物體旋轉的平均角速度,是物體在時刻的角速度的近似值, 令取上式的極限, 若此極限存在, 即為物體在時刻的角速度, 即 .習題2-2 （P.58）1. 簡解在溫度變化的范圍區(qū)間內任取一個小的溫度間隔, 則在這個小的時間間隔內，軸體的平均線膨脹系數(shù),是軸體在時刻的線膨脹系數(shù)的近似值, 令取上式的極限, 若此極限存在, 則此極限就是軸體在時刻的角速度, 即 . 2. 提示 利用導數(shù)的物理意義.3. 簡解 ，由題意應有 ，即， 帶入函數(shù)得值，故所求點為.7. 提示 (13) ；(17) (18). 注意先對函數(shù)進行恒

18、等變形整理, 再進行求導運算, 可簡化求導運算. 10. 提示是一個在點兩側表達式不一致的函數(shù), 應先由在點的連續(xù)性，利用左,右極限的相等求得, 再利用左,右導數(shù)的相等性來求得.一般地，利用下述條件建立方程組可求出函數(shù)中的兩個未知參數(shù)的值：(1) 利用函數(shù)可導必連續(xù)，而函數(shù)在一點連續(xù)的等價條件是在該點處左右極限都存在且等于函數(shù)在該點處的函數(shù)值；(2) 函數(shù)在一點可導的等價條件是在該點處左右極限都存在且相等. 11. 簡解 (1)時, ；時, , ；時, ；時, , ；時, , 綜合以上知, 求分段函數(shù)的導函數(shù)應分為分段點和不含分段點的區(qū)間兩種情形進行討論. 在分段點處， 應按導數(shù)定義(左右表達

19、式一致時)或左右導數(shù)定義(左右表達式不一致時)來求之；在不含分段點的各區(qū)間內, 則用初等函數(shù)求導的方法直接求導即可.(2)方法同上.(3)方法同上.12. 簡解(1) (有界量乘無窮小量)，且， 函數(shù)在點處連續(xù)；又極限 不存在， 函數(shù)在點處不可導.(2)， 函數(shù)在點處連續(xù)；又極限 ， 函數(shù)在點處不可導.習題2-3 （P.62）3. 簡解 .(2) . 注意記號的意義，它是將看成是一個變量u時, 函數(shù)關于u的導數(shù), 即是的又一個記法，其中5. 提示(4) .(6) 注n次多項式函數(shù)的n階導數(shù)為(為n次冪項的系數(shù)), 高于n+1階的導數(shù)均為零.習題2-4 （P.68）1. 簡解 (1)解法一(直接

20、求導法) 視y為x的函數(shù), 方程兩端直接對x求導, 得,解之即得.解法二(利用一階微分不變性) 不去區(qū)分x與y誰是自變量或因變量, 方程兩端求微分, 得dx 與dy所滿足的關系式,從中解出dx 與dy的比即得.(2) 方程兩端取對數(shù), 得 ,以下解法同(1).1. 簡解 (1) 方程兩端直接對x求導, 得 , 解之即得 , 解法一 上式繼續(xù)對x求導, 得 , 將代入整理即可.解法二方程 兩端直接對x求導, 得解之得 , 將代入整理即可.(2) 解法一、二 同上.解法三(利用反函數(shù)求導法則求一階導數(shù)) 注意到所給方程中含x的項僅有一項, 且為x的一次冪. 則由 可得 ,故注意上式右端僅含變量y，

21、所以 . 求二階導數(shù)時, 當一階導數(shù)的表達式中只含變量y時, 采用上述“解法一”來求更簡單, 只需先將對y求導, 再乘上即可.(3) 解法一、二 同上, 在求導過程中注意 可以簡化運算.解法三 , 方程兩端對x求導, 得 ,上式繼續(xù)對x求導, 得 , 將代入整理解得即可.(4) 解法一、二 同上.解法三(同題(2)解法三) 由 可得,所以 ；.用上述“解法一”求隱函數(shù)的二階導數(shù)時，求出一階導數(shù)后，應先利用所給的方程及三角、代數(shù)公式對進行整理，以簡化求的運算. 尤其是當能被整理成僅由變量表達的形式時, 就可將先對變量求導, 然后再乘上對的導數(shù)(如題(4)解法三的第二步)即可. 2. 簡解 (1)

22、 解法一(對數(shù)法) , 方程兩端對x求導, 得 ,解法二(利用其指數(shù)函數(shù)的復合形式) ,.(2) 解法同上.(3) 使用對數(shù)法， . (4) 使用對數(shù)法， . 3. 簡解 (1),.1求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階導數(shù)比較簡單, 求其二階導數(shù)則常容易犯下列錯誤(以上題為例): .這是對二階導數(shù)符號的意義理解不透造成的. 事實上,這里二階導數(shù)是一階導數(shù) 再對變量x求導(盡管這里它被表示成變量t的函數(shù)). 2將求得的一階導數(shù)整理成為的形式, 使得在求二階導數(shù)時避免了商的求導運算使問題得到簡化. 因此求出一階導數(shù) 后，也應先利用三角、代數(shù)公式等對 進行整理，以簡化求 的運算.(2)(6) 解法同上。(

23、7) ,6. 提示 設水面高為h, 水面寬為x , 由題意知 , 要求 . 已知的水注入的速率顯然就是水槽內水體積V對時間t的導數(shù), 如能求出兩變量V與h的關系, 與就是一對相關變化率. 由于, 速率 , 代入整理即得 .設函數(shù)與可微，如果這兩個變量之間存在某種關系，則它們的變化率 與 之間也存在一定的關系，我們稱這兩個存在一定關系的變化率為相關變化率. 如已知其中的一個 ，利用其關系就可求出未知變化率 .求解的關鍵是建立與 所滿足的關系式，然后等式對求導即得 與 的關系式，再將已知的變化率 帶入即可得所求的變化率 . 7. 提示：設t為時間變量, 由條件知 , 再由知, 與就是一對相關變化率

24、: . .習題2-5 （P.74）1. 提示 (5) .3. 簡解 解法一(求導法) 視y為x的函數(shù), 方程兩端直接對x求導, 得,解之可得，再由即可得.解法二(利用一階微分不變性) 不去區(qū)分x與y誰是自變量或因變量, 方程兩端求微分, 得dx 與dy所滿足的關系式,從中解出dy即可.4. 提示 (4) .一般地, 越小, 近似的精確程度就越好.5. 提示 .第二章總習題（P.75）1(3) 例如在點處均不可導，但在點處是可導的，在點處也可導. 再如，一個是狄利克雷函數(shù) 另一個為 ， 這是兩個處處不連續(xù)的函數(shù)，于是處處不可導. 但都是常數(shù)函數(shù)，所以是處處可導的. 2提示 (1) 注意到函數(shù)在點

25、兩側的表達式一致，故直接應用連續(xù)和導數(shù)的定義來判斷即可，但考察極限與 時，應注意由于，而，故函數(shù)當時的極限不存在. （因為, , 即極限不存在）, 這是初學者容易忽視的一個事實. (2) 函數(shù)在點兩側的表達式不一致，故應通過判斷左、右極限和左、右導數(shù)的存在性與相等性得到結論. 3. 提示： (1) y為冪指函數(shù), 可轉化為以e為底的復合指數(shù)函數(shù). (3) 用對數(shù)求導法簡單. (5) 將函數(shù)變形為 再求導. 4簡解 (1) 兩邊分別對x求導，得, ,.(2), 由隱函數(shù)求導法則得， 故 ，所以 ，； .5. 提示 先求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)表達式，再令(已知直線的斜率)，將解得的參數(shù)值帶入曲

26、線方程即可得所求點的坐標.6簡解 由 求極限即可.7簡解；.有同學錯為： , 錯誤原因在于沒理解一般仍是變量的函數(shù), 現(xiàn)要將對y求導, 應視x為中間變量, 視x為y的函數(shù), 由鏈式法則應先對中間變量x求導, 再乘以x對y的導數(shù). 在求 時也有類似的問題.8簡解 即已知, 得.9簡解因為 , 又連續(xù),所以, 而, 不存在.對含絕對值的函數(shù)，一般應先脫掉絕對值符號，化為分段函數(shù), 再用導數(shù)定義來處理. 改述第9題可以得到一個有用的結論: 設, 且連續(xù), 則當且僅當時, 在處可導. 例如1998年數(shù)學（二）題目， 函數(shù)不可導點的個數(shù)是 .(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0分析， 連續(xù),

27、且, 在點處可導；連續(xù), 且, 在點處可導；連續(xù), 但, 在點處不可導；故應選(B).10簡解 時, ； 時,，. 又可導, .11簡解注意到無窮小與有界量的乘積仍為無窮小.(1) ， n為任意自然數(shù)時，f (x) 連續(xù). (2) ， n>1時，f (x) 可導.(3) 且 ， n>2時，f (x) 的導數(shù)連續(xù)。四、提高訓練題：1填空題：（1）設函數(shù)，則在內( ).(A)處處可導 (B)恰有一個不可導點 (C)恰有兩個不可導點 (D)至少有三個不可導點（2）設可導，則是在點處可導的( ). (A) 充分必要條件 (B) 充分而非必要條件(C) 必要而非充分條件 (D) 即非充分也非

28、必要條件 （3）已知函數(shù)在任意點的增量，且當時，a是的高階無窮小，則 ( ). (A)(B)(C)(D)(4) 設函數(shù)可導，且，并對任意實數(shù)x和h，恒有，則( ). (A) (B) (C) (D)2. 設函數(shù)具有連續(xù)的導數(shù)，且函數(shù) 在處連續(xù)，求. 3. 設函數(shù)、在點處可導，證明：當時，是的高階無窮小量的充分必要條件是曲線與曲線在點處相交且相切. 4. 設在點a可導，且，求極限 .5. 試確定常數(shù)a,b的值，使函數(shù)連續(xù)且可導，并求出此時的.6. 已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個鄰域內滿足關系式其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，求曲線在點處的切線方程. 7. 求函數(shù)在處的n階導數(shù)(). 8

29、. 設函數(shù)由方程所確定，求. 9. 設函數(shù)由方程所確定， 求. 10. 設曲線由方程組所確定，試求：，.11. 有一盛滿水、深為18cm，頂部直徑為12cm的正圓錐漏斗，水由漏斗下端小孔直接流進其下接的一個直徑為10cm的圓柱形水桶(如右圖). 試問檔漏斗中水深為12cmh (t)12cm，且其水平面下降速度為1cm/min時，圓柱形水桶的水平面上升的速度是多少？ 提高訓練題解答：1填空題：（1）解： 先求極限以確定函數(shù)，此時應注意指極限變量為.，當時， 因為 ， 故；當時，因為 ；所以 因為 ， 所以在處函數(shù)不連續(xù)，從而不可導，故應選(C) （2）解： 此題為在分段點兩側表達式不一致的分段函

30、數(shù)在分段點處的可導性問題，故可以利用左、右導數(shù)的定義來解決. 顯然，在的可導性決定于 的可導性.，而可導的充要條件是，這等價于， 應選A.注意： 對于含絕對值的函數(shù)，一般先脫掉絕對值號，轉化為分段函數(shù)來處理；討論抽象函數(shù)在某點的可導性，或求其在某點的導數(shù)值，一般只能用導數(shù)定義來解決. （3）解：由題意知 ， 分離變量得 ，由此容易看出 ( C為任意常數(shù)), 代入得， 從而 ， 于是 ， 故應選D.（4）解：分析對任意實數(shù)x都成立，故對也成立， Þ. ， 故應選(A).2解：由的連續(xù)性知 ， 故有，從而有 ， 則有； 由上式可知，再由的連續(xù)性即知. . 3證： 必要性： 由條件知應有 ， 從而應有 ，再由其連續(xù)性可知， 即有 ， 兩曲線相交；又. 即有 ， 兩曲線相切.從幾何角度很容易理解此