同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)分析(上)模擬試題答案

1、課號：122109同濟(jì)大學(xué)課程考核試卷課名：數(shù)學(xué)分析上考試考查：考試題號一二總分得分選擇填空題：(每空5分，共40分),11.xsin 一 sin xx x=(BJD 不存在2、f (x)在x=x0處有定義是XT%時(shí)f(x)有極限的(D)條件A 必要B 充分C充要D無關(guān)3、寫出下列命題的分析表述:m .1 .1??；=min -b-x,-x-a不是x (0,1)1)t是點(diǎn)集A的聚點(diǎn)：(巴的任何鄰域內(nèi)都含有A中的無窮多點(diǎn)2) f(x)在a,b上非一致連續(xù)：(3E0 >0,V6 a0,三x',x”w Ia,b, x'-x'' <6,f(x')-f(

2、x'') . ；02、設(shè)f(x)的原函數(shù)為加 x，求 I xf '(x)dx . (8 分)4、若函數(shù)f滿足如下條件：(f在a,b上存在n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，(a,b)內(nèi)存在n+1階導(dǎo)數(shù))，分部積分 I = xdf (x) = xf (x)- f (x)dx則對任何xW(a,b),至少存在一點(diǎn)( e (a,b),使得f(n)(a) n f(n)( )f(x) = f(a) + f'()十川十寸(x-a)十號(x-a)5、曲線xy+exdy =1在(0,0)點(diǎn)的切線斜率為(-1求原函數(shù) I = xf(x)-_sne C x6、求不定積分 farctan'"

3、;dx : (arcta&j+C.x(1 x)7、求極限lxm01ax+bx+cx 工 3/,(其中 a >0,b >0,c >0): ( Vabc寫出f (x)表達(dá)式 I =cosx-2 si x+C x計(jì)算與證明題:若字”0, f (x)在b +名,b-名上連續(xù)，那么f (x)在(a,b)內(nèi)是否連續(xù)？ f (x)在a,b內(nèi)是否連續(xù)？是給出證明，不是給出反例.(6分)正確圖形3、討論函數(shù)f(x)=4(xU x-2的性態(tài)，并繪出函數(shù)圖形(16 分)定義域x = 0y =-2,x =0漸近線(-2.0) f(x)(-二，-2)U(0 二)f(x)x = -2極小值點(diǎn)；x

4、 = 0極大值點(diǎn)(3,0)U(0,收)f(x)凸；(Q,3) f(x)凹(-3,-26)是拐點(diǎn)94、設(shè)Xn >0,n w N,lim Xn =0 ,證明數(shù)列4中存在嚴(yán)格單減的子列*口卜使得!im Xnk = 0. （10分）nkk j 二保證nk嚴(yán)格遞增性在確定Xn后應(yīng)從數(shù)集Xn1n > nJ 中找 Xn2保證子列嚴(yán)格遞減且趨于零，用"屋來控制令；2 =min Xn11.八n；卜使0 <X, 2n2f；3 = min Xn2,1一 ,使 0 <Xn3 </.335、若無限集A可以表示為A=Xi,X2,HI,Xn,lll,即可以和自然數(shù)集建立一一對應(yīng)，則稱

5、A為可列集.用閉區(qū)間套定理證明a,b上全體實(shí)數(shù)不可列.（10分）設(shè)若a,b上全體實(shí)數(shù)可列，則a,b=x,X2,|,XnMIa,b三等分，至少一個(gè)小區(qū)間不含Xi,記為ai,h=x貴上三等分，至少一個(gè)小區(qū)間不含X2,記為 星,4匕X2正員,4】4分得到閉區(qū)間列UanhD滿足an，bn L： bnia ", 口 N1bn -an =0（b -a） > 0（n- J 3Xi，X2，|,Xn正氐總,n w N4 分Od由閉區(qū)間套定理，唯一的存在 Xo p| bn,bn , Xo a,b, Xo = Xn,n Nn 1故區(qū)間a,b上全體實(shí)數(shù)不可列2分6、設(shè)f （x）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)（導(dǎo)數(shù)

6、有窮），證明f（X）的導(dǎo)函數(shù)f'（X）在（a,b）內(nèi)任一點(diǎn)不可能發(fā)生第一類間斷.（10分）證明：只須證V% w （a,b） , f'（x）在xo處左（右）極限存在，則其必在 處左（右）連續(xù)。設(shè)對某點(diǎn) Xo (a,b), lim f'(x)= f'(xO ) f'(x0 ) = f'(x0) X >xo -x0,%+AxE (a,b) , f (x)在%,% + 打】上滿足 L-Th 故存在(o,1),f (XoXo) - f (Xo)=f '(xo U ： x)（f（Xo）=.呵f (XoX)- f (Xo)x=.期二f (Xo：X)-