高數(shù)B補考復(fù)習(xí)提綱微分學(xué)

1、多元函數(shù)微分學(xué)1、多元函數(shù)的概念1）多元函數(shù)的定義域：使其表達式有意義的點的全體，是平面上的區(qū)域。例1：求函數(shù)定義域解：。2）多元函數(shù)表達式：變量一致。例2：（A卷填空題1）設(shè)，則（ ） A）； B）； C）； D） 解：設(shè)，則，代入原式，得于是，所以應(yīng)選B。3）多元函數(shù)的極限與連續(xù)：多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)，此時有。例3：求解：由于為二元初等函數(shù)，點（1，2）在其定義區(qū)域內(nèi)，因此在點（1，2）處連續(xù)，于是。2、 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分1） 偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)，則（此時把看成常數(shù)）；（此時把看成常數(shù)）；2） 全微分：設(shè)，則。3）例1：設(shè) ，求。解： ，所以。例2：求三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分

2、解：。3）多元函數(shù)連續(xù)，偏導(dǎo)存在，偏導(dǎo)連續(xù)和函數(shù)連續(xù)之間有如下關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)函數(shù)可微；反之不一定。例3：（A卷選擇題2）設(shè)函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，是在該點連續(xù)的（ ）A）充分條件而非必要條件； B）必要條件而非充分條件；C）充分必要條件； D）既非充分又非必要條件。解：應(yīng)選D。4）二階偏導(dǎo)數(shù)：；如果在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則。例4：（A卷計算題1）設(shè)，求。解：，所以;,。3、多元復(fù)合函數(shù)的微分法1）設(shè)，則；例1：設(shè)，求。解：，。例2：設(shè)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求。解：， 。2）如 ，則全導(dǎo)數(shù)。例3：設(shè)，求解：4隱函數(shù)的求導(dǎo)1）設(shè)，則有2）設(shè)，則有。 例1：設(shè)，求。（是常數(shù)）解：，則所以。5、多元函

3、數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1）空間曲線 在時對應(yīng)的點處l 切線方程：l 法平面方程：2）曲面上一點處l 切平面方程：l 法線方程：例1：（A卷選擇題3）：在曲線的所有切線中，與平面平行的切線（ ）A）只有一條； B）只有兩條； C）至少有三條； D）不存在。解：已知切線方向向量與平面法向量垂直，于是，所以只有兩條切線。應(yīng)選B。6、多元函數(shù)極值1）多元函數(shù)極值存在的必要條件設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)有定義且存在一階偏導(dǎo)數(shù)，如果是極值點，則必有2）多元函數(shù)極值存在的充分條件設(shè)函數(shù)在點的鄰域內(nèi)連續(xù)，且存在一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而是駐點，令若1）時有極值，并且； 2）時沒有極值； 3）時無法判定。3）求具有二階連續(xù)偏

4、導(dǎo)數(shù)的函數(shù)極值（無條件極值）的步驟如下：l 求出的點（駐點）；l 對每一個駐點，求出l 確定的符號， 有極值，沒有極值；4）條件極值求條件極值的步驟：l 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；其中：是目標函數(shù)，是已知條件，是待定常數(shù)。l 求解，從中可求得所得到的點即是在條件下的極值點。例1：試用拉格朗日乘數(shù)法討論，欲建造一容積為的矩形水池（有蓋），問如何設(shè)計，才能使建筑材料最省？解：設(shè)矩形小池的長、寬、高為，由已知，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)， ,由實際問題極值的唯一性，可知，當(dāng)矩形水池的長、寬、高分別為時，表面積最小，使用的建筑材料最省。7、方向?qū)?shù)與梯度（了解）1) 方向?qū)?shù)l 函數(shù)在點沿著方向的方向?qū)?shù)為： l 函數(shù)在點沿著方向的方向?qū)?shù)為： 。例1：函數(shù)在點處沿點指向點方向的方向?qū)?shù)。解：這里為的方向，向量的方向余弦為又，