理論力學(xué)第二章

1、 第二章 平面匯交力系和平面力偶系2-1 2-1 平面匯交力系合成與平衡的幾何法平面匯交力系合成與平衡的幾何法一一. .平面匯交力系合成的幾何法平面匯交力系合成的幾何法力多邊形法則力多邊形法則211RFFF3131R2RiiFFFFiniiFFF1R力多邊形力多邊形力多邊形法則：力多邊形法則：平面匯交力系合成時，各分力沿同一方向首尾相接，合力沿反方向構(gòu)成封閉邊。二二. .平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的充要條件：平面匯交力系平衡的充要條件：0iF平面匯交力系平衡的幾何條件：平面匯交力系平衡的幾何條件：該力系各分力組成的力多邊形自行封閉該力系各分力組成的力多

2、邊形自行封閉例例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求鉸鏈A的約束力和桿DC所受的力。支架的橫梁AB與斜桿DC以鉸鏈C相連，并以鉸鏈A、D連接于鉛直墻上。桿DC與水平線成45角，梁和桿的重量忽略不計。解：解：(1)取AB為研究對象，受力分析，所受的三個 力應(yīng)組成一封閉的力三角形。(2)選取比例尺，作封閉的力三角形。(3)從圖上量得長度(或按幾何關(guān)系計算)，按比換算得：FA=22.4kN，F(xiàn)C=28.3kN， 由作用 反作用關(guān)系知，DC桿受壓，壓力大小為28.3kN。三三. .平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法1.1.力在坐標軸上的投影與力沿軸的分解力在坐標軸上的投影與力沿軸的分

3、解FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j2.2.合矢量投影定理合矢量投影定理合矢量投影定理：合矢量投影定理：合力在某一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和。 即：FRx=Fx1+Fx2+Fxn =Fx FRy=Fy1+Fy2+Fyn =Fy3.3.平面匯交力系合成的解析法平面匯交力系合成的解析法由合力矢投影定理得：由合力矢投影定理得：ixxFFRiyyFFR合力矢的大小為：合力矢的大小為：2R2RRyxFFFRR),cos(FFiFixRR),cos(FFjFiy合力矢的方向：合力矢的方向：作用點為力的匯交點作用點為力的匯交點. .例例2.2 求平面匯交力系的合力解：解：1、投影F

4、Rx=Fxi=F1cos30-F2cos60-F3cos45+F4cos45=129.3NFRy=Fyi=F1cos60+F2cos30-F3cos45-F4cos45=112.3N合力大小: 合力的方向：cos（FR，i）= FRx/FR=129.3/171.3=0.754， =41 cos（FR，j）= FRy/FR=112.3/171.3=0.6556， =492、合力N3.1712R2RRyxFFF四四. .平面匯交力系的平衡方程平面匯交力系的平衡方程平衡條件：平衡條件：0RF 0 xF 0yF平衡方程：平衡方程：例例2.3 壓榨機自重不計，AB=BC，F(xiàn)=3kN，h=200mm，l=

5、1500mm。求壓塊C對工件與地面的壓力。解：解：1、取DB研究，受力分析如圖，列平衡方程。 Fx=0， FBA cos- FBCcos=0 Fy=0， -F+ FBA sin+ FBCsin=0sin=解得： FBA =FBC=F/2sin=11.35kN2、取壓塊C研究，受力分析如圖。列平衡 方程由BC桿平衡，知FCB=FBC。 Fx=0， FCB cos- FCx=0 Fy =0， -FCBsin+ FCy=0解得：FCx=11.25kN，F(xiàn)Cy=1.5kN壓塊C對地面的壓力為1.5kN，向下；壓塊C對工件的壓力為11.25kN，向右。2-2-2 2 平面力對點之矩、平面力偶平面力對點之

6、矩、平面力偶一一. .力對點之矩（力矩）力對點之矩（力矩）力對剛體的作用效果力對剛體的作用效果移動（力矢）移動（力矢）轉(zhuǎn)動（力矩）轉(zhuǎn)動（力矩）力矩作用面，力矩作用面，O稱為矩心，稱為矩心， O到力的作到力的作用線的垂直距離用線的垂直距離h稱為力臂稱為力臂兩個要素：兩個要素：1.1.大?。毫εc力臂的乘積大?。毫εc力臂的乘積 2.2.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向力對點之矩:是一個代數(shù)量，它的絕對值等于力的大小與力臂的乘積，它的正負：力使物體繞矩心逆時針轉(zhuǎn)向時為正，反之為負.常用單位Nm或KNm若以矢量表示：MO（F）= rF力矩大?。篗O（F）= rFsin=2AOAB力矩方向：垂直平面，按右手法

7、則， 逆時針向上，為正， 順時針向下，為負。二二. .合力矩定理與力矩的解析表達式合力矩定理與力矩的解析表達式1、合力矩定理、合力矩定理：平面匯交力系的合力對平面內(nèi)任一點之矩等于所有各分力對于該點之矩的代數(shù)和。MO(FR)=MO(Fi) 證：證：FR=F1+F2+Fn rFR= rF1+ rF2+ rFn MO(FR)=MO(Fi)上式適用于任何有合力存在的力系。2、力矩的解析表達式、力矩的解析表達式ixiiyiOiOOxyxOyOOFyFxFMFMFMyFxFFyFxFMFMFM)()()(cossin)()()(RR例例2.4 圖示踏板，各桿自重不計，已知：F、l、B點坐標(xB、yB)。

8、求(1)力F對A點之矩；(2)平衡時桿CD的拉力。解：解：(1)求力F對A點之矩 MA(F)=MA(Fx)+ MA(Fy)=FcosyB- FsinxB(2)求桿CD的拉力 取ACB研究，受力分析如圖。列平衡方程。 MA(Fi)=0， MA(FA)+ MA(FCD)+ MA(F)=0 0-FCDl + FcosyB- FsinxB=0 解得：FCD=( FcosyB- FsinxB)/ l三三. .力偶和力偶矩力偶和力偶矩1、力偶、力偶 由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力由兩個等值、反向、不共線的（平行）力組成的力系稱為力偶，記作系稱為力偶，記作),(FF2、力偶矩、力偶矩兩個要素兩

9、個要素 a.大?。毫εc力偶臂乘積大?。毫εc力偶臂乘積b.方向：轉(zhuǎn)動方向方向：轉(zhuǎn)動方向力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面力偶中兩力所在平面稱為力偶作用面.力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂力偶兩力之間的垂直距離稱為力偶臂.力偶矩：M=Fd=2AABC，代數(shù)量，逆為正，順為負。單位：Nm，或kNm力偶不能合成為一個力，或用一個力來等效替換；力偶不能合成為一個力，或用一個力來等效替換；力偶也不能用一個力來平衡。力偶也不能用一個力來平衡。四四. .同平面內(nèi)力偶的等效定理同平面內(nèi)力偶的等效定理1、等效定理、等效定理定理：在同平面內(nèi)的兩個力偶，如果力偶矩相等，則兩力偶彼此等效。2 2. .力偶在任意坐標軸上的

10、投影等于零力偶在任意坐標軸上的投影等于零. .3 3. .力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改力偶對任意點取矩都等于力偶矩，不因矩心的改 變而改變變而改變. . FdxFxdFFMFMFFMOOO11111,FddFxFxdFFFMO 22,23 3. .只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體且可以同時改變力偶中力的大小與力偶臂的長短，對剛體的作用效果不變的作用效果不變. .=ABDABC？ABDABCABDdFFFM2,1RRRABCFdFFM2,=五五. .平面力偶系的合成和平

11、衡條件平面力偶系的合成和平衡條件1、平面力偶系的合成、平面力偶系的合成同一平面內(nèi)有兩個力偶（F1，F(xiàn),1）和（F2，F(xiàn),2） ，力偶臂分別為d1和d2，力偶矩分別為M1和M2。（F1，F(xiàn),1）和（F2，F(xiàn),2）等效（F3，F(xiàn),3）和（F4，F(xiàn),4） 力臂d相同合力偶（F，F(xiàn), ）dFdFM3111證明：證明：dFdFM422243FFF43FFF 214343MMdFdFdFFFdMiMM平面內(nèi)任意力偶可以合成一個合力偶，該合力偶等于各個力偶矩的代數(shù)和，即：2、平面力偶系的平衡條件、平面力偶系的平衡條件平面力偶系平衡的充要條件：所有各力偶矩的代數(shù)和等于零平面力偶系平衡的充要條件：所有各力偶矩的

12、代數(shù)和等于零. .0M0iM例例2.5已知：已知：M1=M2=10 Nm，M3=200 Nm，l=200 mm。求：。求： 光滑螺柱光滑螺柱AB 所受水平力所受水平力. 0M0321MMMlFA解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖解：由力偶只能由力偶平衡的性質(zhì)，其受力圖解得：解得：FA ， FB 2-2-3 3 平面任意力系的簡化平面任意力系的簡化一、力的平移定理一、力的平移定理定理：可以把作用在剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力 F 對新作用點B的矩.FdFMMBB)(二、平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化、主矢和主矩二、平面任意力系向作用

13、面內(nèi)一點簡化、主矢和主矩1111()OFF MMF2222()OFFMMF()nnnOnFFMMF iiFFFR)(iOiOFMMM主矢主矢)(iOOFMM主矩主矩iFFR主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩一般與簡化中心有關(guān)主矢與簡化中心無關(guān)，而主矩一般與簡化中心有關(guān). .RxixixxFFFFRyiyiyyFFFF主矢大小主矢大小22R()()ixiyFFF 方向方向RRcos( , )ixFFiFRRcos( , )iyFFjF作用點作用點作用于簡化中心上作用于簡化中心上主矩主矩)(iOOFMM三、固定端約束三、固定端約束=四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析0RF0OM1

14、、四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析0RF0OM1、四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析四、平面任意力系的簡化結(jié)果分析0RF0OM1、0RF2、0OMRFMdOdFMORFFFRR)()(RiOOOFMMFM0RF3、0OM若為若為O1 1點，如何點，如何? ?主矩與簡化中心的位置無關(guān)主矩與簡化中心的位置無關(guān)0RF4、0OM（平衡）（平衡）已知已知: :1450kN,P 2200kN,P 1300kN,F kN701F例例2.62.6求：力系向求：力系向O點的簡化結(jié)果；點的簡化結(jié)果； 合力與合力與OA的交點到點的交點到點O的距離的距離x； 合力作用線方程。合力作用線方程。

15、解：解：（1 1）主矢：）主矢：12122cos232.9kNsin670.1kNxyFFFFPPF 22R()()709.4kNxyFFFRRRRcos(, )0.3283,cos(, )0.9446yxFFFiFjFF RR(, )70.84 ,(, )18019.16FiFj 主矩：主矩：112( )31.53.92355kN mOOMMFFPP （2 2）求合力及其作用線位置：）求合力及其作用線位置：003.514mcos 9070.84dx （3 3）求合力作用線方程：）求合力作用線方程：RRRRROOyxyxMMFx Fy Fx Fy F2355670.1232.9xy607.12

16、32.923550 xy2-2-4 4平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系平衡的充要條件是：平面任意力系平衡的充要條件是： 力系的主矢和對任意點的主矩都等于零力系的主矢和對任意點的主矩都等于零)()()(22RiOOyxFMMFFF因為因為1.1.平面任意力系的平衡條件平面任意力系的平衡條件0RF0OM2 2. .平面任意力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩平面任意力系平衡的解析條件是：所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點的矩的代

17、數(shù)和也等于零及各力對于任意一點的矩的代數(shù)和也等于零. .000 xyOFFM一般式一般式二矩式二矩式000BAxMMF兩個取矩點連線，不得與投影軸垂直兩個取矩點連線，不得與投影軸垂直000CBAMMM三個取矩點，不得共線三個取矩點，不得共線三矩式三矩式3 3. .平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 0 xF0000 0 xF0coscoscos321FFF 0yF0sinsinsin321FFF兩點連線不得與各力平兩點連線不得與各力平行行00BAMM各力不得與投影軸垂直各力不得與投影軸垂直00AyMF平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式平面平行力系的方程為兩個，有兩種形式例例2.72

18、.7已知：已知：110kN,P 240kN,P 尺寸如圖。尺寸如圖。解：解：取起重機，畫受力圖取起重機，畫受力圖. . 0 xF 0yF0AM 0AxBFF120AyFPP125 1.53.50BFPP 解得解得50kNAyF31kNBF 31kNAxF求：求：軸承軸承 處的約束力處的約束力. .BA,其中其中113302FqlkN 0 xF0AM 0yF060cosFPFAy0360sin60cos1lFlFlFMMA316.4kNAxFkN300AyFmkN1188AM060sin1FFFAx例例2.82.8已知：已知：m1,kN400,mkN20,mkN20,kN100lFqMP求：求：

19、 固定端固定端A處約束力處約束力. .解：解：取取T型剛架，畫受力圖型剛架，畫受力圖. .2 2- -5 5 物體系的平衡物體系的平衡靜定和超靜定問題靜定和超靜定問題靜定問題靜定問題：未知量數(shù)=獨立平衡方程數(shù)，所有未知力都能由平衡方程求出。超靜定（靜不定）問題超靜定（靜不定）問題：未知量數(shù)獨立平衡方程數(shù)一、靜定與超靜定一、靜定與超靜定每個受平面任意力系作用的物體，均可列出三個平衡方程。如物體系由n個物體組成，則共有3n個獨立方程。對超靜定問題，須考慮物體因受力而產(chǎn)生的變形，加列補充方程，使方程數(shù)等于未知量數(shù)。須在材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)中研究。二、物體系的平衡問題二、物體系的平衡問題求解求解可以選每

20、個物體為研究對象可先取整個系統(tǒng)研究，再從系統(tǒng)中選取某些物體研究0yF 0cos BFF22cosRlFlFFB 0 xF 0sinN BFF22NtanRlFRFF 例例2.92.9已知：已知：不計物體不計物體自重與摩擦自重與摩擦, ,系統(tǒng)在圖示位置平衡系統(tǒng)在圖示位置平衡; ;,FlABROA求求: :力偶矩力偶矩M的大小，軸承的大小，軸承O處的約束力，處的約束力，連桿連桿AB受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力受力，沖頭給導(dǎo)軌的側(cè)壓力. .解解: :取沖頭取沖頭B , ,畫受力圖畫受力圖. .取輪取輪, ,畫受力圖畫受力圖. . 0 xF22OxFRFlR 0yFOyFF FRM 0OM0sin AOy

21、FF0cos AOxFF0cos MFA 例例2.102.10 已知已知: : F=20kN,q=10kN/m, ,20kN m,M l=1m;求求: :A,B處的約束力處的約束力. .解解: :取取CD梁梁, ,畫受力圖畫受力圖. .0CMsin60cos30202BlFlqlFl FB=45.77kN32.89kNAxF0yF sin602cos300AyBFFqlF2.32kNAyF 0AM22sin60 3cos3040ABMMqllFlFl10.37kN mAM取整體取整體, ,畫受力圖畫受力圖. .0 xF cos60sin300AxBFFF2 2- -6 6 平面簡單桁架的內(nèi)力計

22、算平面簡單桁架的內(nèi)力計算桁架桁架：一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何 形狀不變。節(jié)點節(jié)點：桁架中桿件的鉸鏈接頭。一、桁架一、桁架桁架的優(yōu)點：桁架的優(yōu)點：（1）桿件主要受拉力或壓力（2）節(jié)約材料，減輕結(jié)構(gòu)的重量平面桁架的假設(shè)條件：平面桁架的假設(shè)條件：（1）桁架的桿件都是直的（2）桿件用光滑的鉸鏈連接（3）桁架所受的力都作用在節(jié)點上， 而且在桁架的平面內(nèi)（4）桁架桿件的重量忽略不計，或者 平均分配在桿件兩端的節(jié)點上理想桁架理想桁架桁架中每根桿件均為二力桿桁架中每根桿件均為二力桿總桿數(shù)總桿數(shù)mn總節(jié)點數(shù)總節(jié)點數(shù)32 nm32(3)mn32 nm平面復(fù)雜（超靜定）桁架平面復(fù)雜（超

23、靜定）桁架32 nm平面簡單（靜定）桁架平面簡單（靜定）桁架32 nm非桁架（機構(gòu)）非桁架（機構(gòu)）節(jié)點法節(jié)點法：逐個取節(jié)點為研究對象。截面法截面法：只要求計算桁架內(nèi)某幾個桿件的內(nèi)力，適當?shù)倪x取一截面，假 象把桁架截開。一、求解桁架內(nèi)力一、求解桁架內(nèi)力例例2.112.11已知已知: : P=10kN, ,尺寸如圖；尺寸如圖；求求: :桁架各桿件受力桁架各桿件受力. .解解: :取整體，畫受力圖取整體，畫受力圖. .0 xF 0yF 0BM0BxF042AyFP5kNAyF0PFFByAy5kNByF28.66kNF ( (拉拉) )030cos012 FF0 xF 110kNF ( (壓壓) )030sin01 FFAy0yF 取節(jié)點取節(jié)點A，畫受力圖畫受力圖. .取節(jié)點取節(jié)點C，畫受力圖，畫受力圖. .0 xF 030cos30cos0104FF0yF 030sin0413FFF410kNF ( (壓壓) )310kNF ( (拉拉) )取節(jié)點取節(jié)點D, ,畫受力圖畫受力圖. .0 xF 025 FF58.66kNF ( (拉拉) )例例2.122.