基于稀疏表示的超分辨率重建(2)

1、稀疏表示問題的優(yōu)化算法最優(yōu)化方法 另外一種優(yōu)化算法是基于 l1范數(shù)的稀疏表示模型，將原來無法進行求解的 NP組合最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為求解線性規(guī)劃最優(yōu)化問題，也是近幾年研究的一個熱點。針對此類目標函數(shù)提出的最基本優(yōu)化算法是基追蹤方法，之后，很多學(xué)者對此問題進行了深入研究。近幾年求解 TV 最小化問題的Bregman 迭代算法在 l1范數(shù)的稀疏表示問題上的成功應(yīng)用，提高了此類問題的重建效果。 NP是指非確定性多項式（non-deterministic polynomial，縮寫NP）。所謂的非確定性是指，可用一定數(shù)量的運算去解決多項式時間內(nèi)可解決的問題。NP 問題通俗來說是其解的正確性能夠被“很容易檢

2、查”的問題，這里“很容易檢查”指的是存在一個多項式檢查算法?；粉櫡椒ɑ粉櫡椒ㄊ遣捎镁€性規(guī)劃算法來解決公式(1)的 l1約束的線性反演問題。設(shè)變量RM ，其標準的線性規(guī)劃方程為： (2)為將公式(1)轉(zhuǎn)換為公式(2)的優(yōu)化問題，將 分為兩部分：=+- ： (3)則 l1范數(shù)可以轉(zhuǎn)換為 和 的內(nèi)積，可表示為： (4)通過上式建立了基追蹤與線性規(guī)劃的聯(lián)系，可采用單純性法和內(nèi)點法求解上式問題。Bregman 迭代正則化方法 Bregman 迭代最初是用于全變分模型： (5) 其中全變分函數(shù)： (6)上述全變分函數(shù)的計算可采用基于 Bregman 的迭代方法。設(shè)凸函數(shù) J ( )，在點 u 和 v

3、之間的 Bregman 距離可定義為： (7)其中 ，是在點 v 處的次微分。通常情況下，由于 公式(7)定義的 Bregman 距離并不是一般意義上的距離概念。然而，它能表示點u 和 v 點間的接近程度。 公式(5)的求解，并不是能通過一次迭代過程求解，其 Bregman迭代方法包含一系列凸問題的迭代過程： (8)Bregman 迭代算法如下： Darbon 等提出的基于 Bregman 距離的方法，證明了如果 ，則k收斂于 的全變分最小化： 。顯然，這種基于 Bregman 的方法同樣適用于 l1范數(shù)的稀疏優(yōu)化問題： (9) 其中 H ()是可微凸函數(shù)。Bregman 的迭代過程如下： (

4、10)其中k是第 k 次迭代的步長，由于公式(10)中待估計變量 在每次迭代都單獨處理，即：每個迭代值k都是通過收斂操作單獨計算，稱之為軟閾值操作： (11)其中 Bregman 迭代正則化方法相當(dāng)于將稀疏正則項轉(zhuǎn)換為Bregman 距離，同時將保真項作泰勒展開，取其線性項，將其線性化。相對于基追蹤的方法，這類基于 Bregman 迭代的算法重建效果較好，需要的測量數(shù)也相對較少，而且有效。但是此類方法計算速度較慢，對于解決大尺度問題難以實際應(yīng)用?；谙∈柝惾~斯的方法 以稀疏貝葉斯（Sparse Bayesian）為代表的統(tǒng)計優(yōu)化算法性能介于前兩者算法之間，它是基于統(tǒng)計的角度，從數(shù)學(xué)期望中計算信

5、號的最稀疏表示。該思想最早是由 Tipping提出，并由 Wipf 等進行了改進擴展。 根據(jù)公式 的稀疏表示模型，假設(shè)噪聲 n滿足獨立同高斯分布，設(shè)方差為 2，即： 。則信號 x 的條件概率密度函數(shù)為： (12)給定 2，系數(shù) 的 ML 估計為： (13)然而，上式 ML 規(guī)則是未限定的。采用 MAP 估計方法： (14)然而，上式要求先驗 p ( )已知。假設(shè)其滿足高斯分布： ，并且， 為i的方差。 (15)則 x 的概率密度函數(shù)為： (16) 其中 (17) 理論上，選擇似然參數(shù) ，來最大化概率 然而，該參數(shù)計算非常困難。通常采用的方法是：固定參數(shù) 2和 ， 的條件概率密度函數(shù)為： (18)其中