二項式定理典型例題(含解答)復(fù)習(xí)課程

1、二項式定理典型例題典型例題一n例1在二項式 x 1的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有理項.分析：典型的特定項問題，涉及到前三項的系數(shù)及有理項，可以通過抓通項公式解決.解：二項式的展開式的通項公式為: 2n 3r cr 丄 >r4 Cn r X2前三項的r 0,1,2.得系數(shù)為:t11,t22 2n,t3c：2 28n(n 1)，由已知：2t2 t1 t3 n 1(n1)， n 816 3r通項公式為Tr1 C8P01,28,Tr 1為有理項，故163r是4的倍數(shù),8 1 2 1 2Cg-8 xx 28256說明：本題通過抓特定項滿足的條件，利用通項公式求出了 r的取值，得

2、到了有理項.類 r 0,4,8.依次得到有理項為Tix4,T5 c84X x,T92 8似地，(： 23 3)100的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項中r的取值，得到共有典型例題四310R16例4( 1 )求(1 X) (1 X)展開式中X的系數(shù)；(2)求(X 2)展開式中的常數(shù)項.X分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題， 視為兩個二項展開式相乘；(2)可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項式.(1)可以解：(1) (1 x)3(1 x)10展開式中的X5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項:用(1 X)3展開式中的常數(shù)項乘以(1X)10展開式中的 X5項，可以得

3、到C10X5 ； 用(1 x)3展開式中的一次項乘以(1 X)10展開式中的X4項可得到(3x)(C：oX4)3C4°x5 ；3210用(1 X)中的X乘以(1 X)展開式中的32x可得到3x3335 mC10X3C10X ；用(13X)中的X3項乘以(1 X)10展開式中的X2項可得到C 3223x C10 xC20X5，合并同類項得X5項為:(C0C4。3C3。C0)X563x5 .(2)(X121X 由 X1x12展開式的通項公式Tr' 2)12C 12 X6 r，可得展開式的常數(shù)項為 C：2924說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項式解決這時我們還可以通

4、過 合并項轉(zhuǎn)化為二項式展開的問題來解決.典型例題五例5求(1X265X ）展開式中X5的系數(shù).分析:(1 X2X1O）不是二二項式，我們通過12X X(1X) X2或1 (XX ）展開解:方法一：(1X X2)6 (1X26x) X(1 X6)6(1x)5x215(14 4x) X其中含X5的項為C：x56C；x515C14X56x5 .含 x5項的系數(shù)為6.方法一二: (1X26X )1 (X2、6X )16(x x2)15(x2、22、3x )20(x x )15(x x2)46(x x25/)(x6X )5555其中含X5的項為20( 3)x15( 4)x 6x 6x .二x5項的系數(shù)為

5、6.方法3:本題還可通過把（1 xX2）6看成6個1 xX2相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項， x5項可由下列幾種可能得到.5個因式中取x, 個取1得到C6x5.31323個因式中取x, 個取 x2，兩個取1得到C6 C3X （ x ）.1個因式中取X,兩個取 x2，三個取1得到C6 C5x （ x ） 合并同類項為（C； clc； c6c5）x5 6x5, X5項的系數(shù)為6典型例題六例 6 求證：（1） Cn 2C：nV n 2n 1 ；（2）co cn 垃丄cn 丄1 1）23n 1 n 1分析：二項式系數(shù)的性質(zhì)實際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項式系數(shù)的性質(zhì)來證明一些組合數(shù)的等

6、式或者求一些組合數(shù)式子的值.解決這兩個小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式將等式左邊各項變化的等數(shù)固定下來，從而使用二項式系數(shù)性質(zhì)1 2Cn CnCn2n.解: (1)n!n!k -k!(n k)! (k 1)!( n k)!(n 1)!(k 1)!(n k)!ncn左邊 nC： 1 n cn 1ncn1n(C01C；1cn 1) n 2n 1 右邊.n!n!k!(n(kk)!(n 1)!(k 1)!( n k)!1 k 1cn 1 n 1_cn1Cn1n 11C1nn 1丄Cn1n 1說明：本題的兩個小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項式系數(shù)之和，再用二項式系數(shù)的性質(zhì)左邊n 1C2c：1cn1)(2n 11)右

7、邊.求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定29C1028C：o27C；o理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：求2Co 29 C10 2102C1010的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與10 10 0 1 2 2(12)10的展開式接近，但要注意：(12) Cw C10 2 C10 21 2 10 22c2029C；o210C1012(10 2C2o28c9o29c10)從而可以得到：10 2Cw28C；o FC0 尹 1) 典型例題七例7利用二項式定理證明:32n 2 8n 9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問題相當(dāng)于證明32n

8、2 8n 9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項式定理貼近，變形32n29n1 (8 1)n將其展開后各項含有 8k，與82的倍數(shù)聯(lián)系起來.解：/ 32n 28n9n18nn 1(8 1) 8n8n1Cn8ncn1 82cn8n1Cn 18ncn 182 8(n1) 1 8 n 98n1 cn 1 8ncn1 82(8n18nn 1Cn 1)64是64的倍數(shù).而且可以用此方程求一些說明：禾U用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題, 復(fù)雜的指數(shù)式除以一個數(shù)的余數(shù).典型例題八例8展開2x3 52x2分析1:用二項式定理展開式.解法1： 2x 32x2C50(2x)50314C5(2x)4323藥 C

9、5(2x)232 x23Cd)2 /c；(2x)2x2C；32x5 120x2180 135 405243x x 8xr 32x10分析2:對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.解法2:5353(4x 3)1rc0/ 3、5 小1/ 3、4/小2/ 3、3/22x21010【C5(4x )C5(4x ) ( 3) C5(4x ) ( 3)2x32x32xC/(4x3)2( 3)3 C54(4x3)1( 3)4 C/( 3)5132x10(1024x153840x125760x9 4320x61620x32437)32x5 120x2180 135 405243f 炭 32x10說明：記準(zhǔn)、

10、記熟二項式（a b）n的展開式，是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條 件對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.典型例題九例9若將（xy1z）展開為多項式，經(jīng)過合并同類項后它的項數(shù)為（）A 11B 33C.55D 66分析:(x y10z）看作二項式10(x y) z展開.解:我們把xyz看成（xy） z，按二項式展開，共有 11 “項”，即(xioy z)(x10y) z10k10 kkCio(x y)z k 0這時，由于“和”中各項 z的指數(shù)各不相同，因此再將各個二項式（x y）10 k展開，不同的乘積C10（x y）10 k zk （ k 0,1 ,10 ）展開后，都不會出現(xiàn)同類項.

11、下面，再分別考慮每一個乘積C1'0（x y）10 k zk （ k 0,1, 10） 其中每一個乘積展開后的項數(shù)由（x y）10 k決定，而且各項中x和y的指數(shù)都不相同,也不會出現(xiàn)同類項故原式展開后的總項數(shù)為11 10 91 66 ,應(yīng)選D 典型例題十1例10若x -n2 的展開式的常數(shù)項為20,求 n 2n分析：題中x 0，當(dāng)x0時，把xx 1 ；當(dāng) x 0(x時，同理1)n然后寫出通項，令含x的幕指數(shù)為零，解出n.解:Tr 1C；nC.X)2n r(1)rC；nC、X)2n 2r，令2n展開式的常數(shù)項為（1）nC；n ；當(dāng)x 0時，xn12x2n1x同理可得，展開式的常數(shù)項為1）n

12、C2n .無論哪一種情況,常數(shù)項均為(1)4 .令（1）©20，以 n1,2,3,，逐個代入，得n典型例題十例11101 的展開式的第3項小于第4項，則x-x的取值范圍是分析:首先運用通項公式寫出展開式的第3項和第4項，再根據(jù)題設(shè)列出不等式即可.解:x10有意義必須23x0 ；依題意有 T3T4 即 Cfo'X)8 丄G3o&x)7 3 x3 x10 9 83 2 11啟( x 0).解得0vx8 5 648 .9 x的取值范圍是 x 0x冷8 .應(yīng)填:8 5 648 .2n1 ，其通項為典型例題十二例 12 已知(xlog2x 1)n的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為

13、1 ： 2 ： 3，這三項是第幾項？若展開式的倒數(shù)第二項為112，求x的值.n!n!解：設(shè)連續(xù)三項是第k、k 1、k 2項（k N且k 1），則有C：1：。：。：1 1：2：3,即n!:- : 1：2：3 : :1：2：3.(k 1)(n k 1)! k!(n k)! (k 1)(n k 1)!(n k)(n k 1) k (n k) k(k 1)k(nk)1k1 (nk)( nk 1)2nk 12k(k 1)2(k1)2k(n k)3(nk)3n14 , k5所求連續(xù)三項為第5、6、7三項.又由已知，C1143xlog2X112 .即lOg2 Xx 28 .兩邊取以2為底的對數(shù)，(gx)23

14、 , log2 x3 , x 2“，或 x 2 ".說明：當(dāng)題目中已知二項展開式的某些項或某幾項之間的關(guān)系時，常利用二項式通項, 根據(jù)已知條件列出某些等式或不等式進行求解.典型例題十三例13(12x)n的展開式中第6項與第7項的系數(shù)相等，求展開式中二項式系數(shù)最大的項和系數(shù)最大的項.分析：根據(jù)已知條件可求出 n,再根據(jù)n的奇偶性；確定二項式系數(shù)最大的項.解：T6 C；(2x)5 , T7 C：(2x)6，依題意有 C；25 C：26 n 8.二(12x)8的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為T5 C84(2x)41 120x4 .設(shè)第r 1項系數(shù)最大，則有 r 5 或 r 6(：r 0,1

15、,2, ,8).二系婁最大的項為：T6 1792x5, T7 1792x6.說明：(1)求二項式系數(shù)最大的項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大，n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大.(2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的，需根據(jù)各項系數(shù)的正、負(fù) 變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例題十四例14設(shè)f (x)(1 x)m (1 x)n(m,n N )，若其展開式中關(guān)于 x的一次項的系數(shù)和為11,問m,n為何值時，含x2項的系數(shù)取最小值？并求這個最小值.分析：根據(jù)條件得到X2的系數(shù)關(guān)于n的二次表達式,然后用二次函數(shù)性質(zhì)探討最小值.解: cm

16、c1110 2mn2m 11. Ci C：丄(m211 211n 55 (n )22994n)2 2m n 1126或5時，x2項系數(shù)最小，最小值為25 .說明：二次函數(shù)y (X 11)2 99的對稱軸方程為x -1，即x 5.5，由于5、6距5.524211 299等距離，且對n N , 5、6距5.5最近，所以(n )2的最小值在n 5或n 6處24取得.典型例題十五例15若(3x1)77a7x6a6Xaxao,求(1) a1a2a7 ; (2)a1a3a5a7; (3) aoa2a4 a6.解: (1)令 x0，則a。1，令 x 1，則 a7 a6a1ao27128 .aa 2a7129

17、 .(2)令 x1，則a7a6a5a4 a3a?a1 a0 ( 4)由一得：a1 a3 a5a71-128 (4)7 825622(3)由o得：a0 a2a4a6 2®a 6a5 a 4 a3a 2 a1 a o)2(aya6 a5 a 4a3 a2aa。)1-128 ( 4)78128.說明：(1)根據(jù)問題恒等式特點來用“特殊值”法這是一種重要方法，它適用于恒等式.anXn , g(x)的各項一般地，對于多項式 g(x) (px q)n a。 a/ a?x21的系數(shù)和為g(1): g(x)的奇數(shù)項的系數(shù)和為g(1) g( 1) . g(x)的偶數(shù)項的系數(shù)和為12【g(1) g( 1

18、).典型例題十六例16填空：(1) 230 3除以7的余數(shù)；(2) 5味5 15除以8的余數(shù)是分析(1):將230分解成含7的因數(shù)，然后用二項式定理展開，不含7的項就是余數(shù).解：230 3(23)10 3(8)10 3 (7 1)10 3 Cw710 看攪7 C；0 37 G0.79Cw78% 2又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)，需轉(zhuǎn)化為正數(shù)。230 3除以7的余數(shù)為5 應(yīng)填：55555分析(2):將55寫成(561)，然后利用二項式定理展開.C5；56 C55 15解：555515(56 1)55 15 C555655 c555654容易看出該式只有c5? 1514不能被8整除，因此555515除以8的余數(shù)

19、，即14除以8的余數(shù)，故余數(shù)為6應(yīng)填:典型例題十七例17 求證：對于n證明：1-n展開式的通項TrcnrPnr r ! n1 n(n 1)( n 2) (n r 1)1rr(11 )(1 n2 -) n(1二). n展開式的通項Tr 11(n 1)rAnr ! (n1)1 r !rd(1由二項式展開式的通項明顯看出Tr 11，所以說明：本題的兩個二項式中的兩項為正項，且有一項相同, 用比較通項大小的方法完成本題證明.n證明時,n 11 .n 1根據(jù)題設(shè)特點，采典型例題十八例18在(x2 3x 2)5的展開式中x的系數(shù)為()A.分析:解法160 B. 240 C. 360 D. 800本題考查二

20、項式定理的通項公式的運用應(yīng)想辦法將三項式轉(zhuǎn)化為二項式求解.1：由(x2 3x 2)5 (x2 3x) 25，得 Tk 1 C(x2 3x)5 k 2kC； 2k (x2 3x)5 k 再一次使用通項公式得，Tr1 Ck 2k C5 k 3rx102k r ,這里 0 k 5, 0 r 5 k .令 10 2k r 1,即 2k r 9.所以r 1 , k 4，由此得到x的系數(shù)為C； 24 3 240 .解法2：由(x2 3x 2)5 (x 1)5(x 2)5，知(x 1)5的展開式中x的系數(shù)為C54,常數(shù)項為1, (x 2)5的展開式中x的系數(shù)為C； 24，常數(shù)項為25 .因此原式中x的系數(shù)為

21、C； 25 C： 24 240 .解法3：將(x2 3x 2)5看作5個三項式相乘，展開式中x的系數(shù)就是從其中一個三項240式中取3x的系數(shù)3，從另外4個三項式中取常數(shù)項相乘所得的積，即C5 3 C： 24典型例題十九例19已知-xx939的展開式中x3的系數(shù)為一，常數(shù)a的值為4分析:利用二項式的通項公式.解:在的展開式中，通項公式為T；1 C9 -xxI2C9( 1)ra9rx3r9根據(jù)題設(shè),根據(jù)題意,3r29a1693，所以r 8 代入通項公式,Tg93ax 169，所以a 4 .應(yīng)填：4 4典型例題二十例20求證:3C：32 C233 C；1)n3n(2)n若(2x. 3)423a2xa

22、3xa4X，求(a0 a2 a4 )(aia3)2的值.分析：(1)注意觀察(1 x)n1 2 21 Cnx CnxC：xn的系數(shù)、指數(shù)特征,即可通過賦值法得到證明. 注意到(a0a2 a4)(a1a3)(a0a1a2 a3a4)(2, 3)4 ( 23)41 .a4)(a bx)n a0 qx a2x2C；bn中，對任意的xA ( a,b A)該式恒成立，那么對A中的特殊值，該工也定成立.特殊值x如何選取，沒有一成不變的規(guī)律,需視具體情況而定，其靈活性較強.解：(1)在公式(1x)n1 C1xCn2x2C；xn中令x3，即有(1 3)n 1 Cn( 3)1C：( 3)2C?( 3)n13Cn

23、 a2 C2(1)n 3n在展開式(2x3)4a02dxa?x3a3X4亠a4X 中，令 x 1，得 a0 a1a2 a3 a4(2x3)4;令x1，得 00 ai_ 4a? q a (2 3(a。 a1 a2 a3 a4)，再用賦值法求之.原式(a° a1a2 a3 a4) (a°a1a2a3說明：注意“賦值法”在證明或求值中的應(yīng)用賦值法的模式是，在某二項展開式，如n亠/ I x n0 n1 n L2 n22anx 或(a b)CnaCna b Cna b般取x 0,1, 1較多一般地，多項式 f (x)的各項系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)和為11f(1) f( 1)，偶次

24、項系數(shù)和為1f(1) f( 1). 二項式系數(shù)的性質(zhì) C Cn c；C： 2n22及C0 Cn C4C： C3 C52n1的證明就是賦值法應(yīng)用的范例.典型例題二一例21若：N，求證明：32： 324n37能被64整除.分析：考慮先將32： 3拆成與8的倍數(shù)有關(guān)的和式，再用二項式定理展開.解:子：324：373 3：2： 224：373 9：1 24：373(81)：124： 373Cn 18： 1c11 8：2 : 1c： 1 8C：18 C：1124：3738： 1C1 18：c：21 8： 1(:1) 81 24：3738：14 18：c：21 8：1C： c：11 82(8： 9)24：

25、373828：1 c11 8:22 : 3c： 1 8c：；3 (8：9)24：373648n1c118：2Cn18：364/ 8：1, c： 18： 2Cn 18： 3,均為自然數(shù)，上式各項均為 64的整數(shù)倍原式能被 64整除.說明：用二項式定理證明整除問題，大體上就是這一模式，先將某項湊成與除數(shù)有關(guān)的和式，再展開證之該類題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，但不如用二項式定理證明簡捷.典型例題二十二2例22已知(x 3x2)：的展開式各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992.(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項.分析：先由條件列方程求出 n . (1)需考慮二項式系數(shù)的性質(zhì)；(2

26、)需列不等式確定r .解：令x 1得展開式的各項系數(shù)之和為 (1 3)： 22：，而展開式的二項式系數(shù)的和為c0c：Cn2：，有 22：2：992 : 5.(1) -5，故展開式共有2C；(x§)3 (3x2)26，其中二項式系數(shù)最大的項為第三、第四兩項.22270x 3 .(2)設(shè)展開式中第r63 ,3、22 .390x , T4 C5 (x3)(3x )2/ 3 5 (x )1項的系數(shù)最大.Tr 1C52、r(3x )C5 3r10 4r3x ,c5 3r c5 故有r rC5 3c53r3r7解得- CO 32Cf 34C： C0 qPC1CpCnCmCnCm1 Q 2 Q P 2Cn CmCnP cmcm n .等式成立.2 26r 4，即展開式中第5項的系數(shù)最大.T5 C5