三角函數(shù)誘導公式及記憶方法

1、三角函數(shù)誘導公式目錄誘導公式的本質(zhì) 常用的誘導公式 其他三角函數(shù)知識公式推導過程同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 1. 兩角和差公式 2. 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3. 半角的正弦、余弦和正切公式 4. 萬能公式 5. 三倍角的正弦、余弦和正切公式 6. 三角函數(shù)的和差化積公式 7. 三角函數(shù)的積化和差公式誘導公式的本質(zhì) 常用的誘導公式 其他三角函數(shù)知識 公式推導過程同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 1. 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法 2. 兩角和差公式 3. 二倍角的正弦、余弦和正切公式 4. 半角的正弦、余弦和正切公式 5. 萬能公式 6. 三倍角的正弦、余弦和正切公式

2、 7. 三角函數(shù)的和差化積公式 8. 三角函數(shù)的積化和差公式誘導公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導公式，就是將角n(/2)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)。 常用的誘導公式公式一： 設(shè)為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2k+）=sin kz cos（2k+）=cos kz tan（2k+）=tan kz cot（2k+）=cot kz sec（2k+）=sec kz csc（2k+）=csc kz 公式二： 設(shè)為任意角，+的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（+）=sin cos（+）=cos tan（+）=tan cot（+）=cot sec(+)=-sec csc(+)

3、=-csc 公式三： 任意角與 -的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot sec(-)=sec csc(-)=-csc 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（）=sin cos（）=cos tan（）=tan cot（）=cot sec(-)=-sec csc(-)=csc 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2）=sin cos（2）=cos tan（2）=tan cot（2）=cot sec(2-)=sec csc(2-)=-csc 公式六： /2與

4、的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+）=cot cot（/2+）=tan sec(/2+)=-csc csc(/2+)=sec sin（/2）=cos cos（/2）=sin tan（/2）=cot cot（/2）=tan sec(/2-)=csc csc(/2-)=sec 推算公式：3/2與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（3/2+）=cos cos（3/2+）=sin tan（3/2+）=cot cot（3/2+）=tan sec(3/2+)=csc csc(3/2+)=-sec sin（3/2）=cos cos（3/2）=sin t

5、an（3/2）=cot cot（3/2）=tan sec(3/2-)=-csc csc(3/2-)=-sec1 誘導公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”。 “奇、偶”指的是/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號看象限”的含義是：把角看做銳角，不考慮角所在象限，看n(/2)是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。 符號判斷口訣： “一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說： 第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是“+”； 第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“”； 第三象限內(nèi)只有正切和余切

6、是“+”，其余全部是“”； 第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“”。 “ASCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過來寫所占的象限對應(yīng)的三角函數(shù)為正值。 其他三角函數(shù)知識同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系 tan cot=1 sin csc=1 cos sec=1 商的關(guān)系 sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方關(guān)系 sin2()+cos2()=1 1+tan2()=sec2() 1+cot2()=csc2() 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以上弦、中切、下割；左正、右余、中間1的正六邊形為模型。

7、 倒數(shù)關(guān)系 對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)； 商數(shù)關(guān)系 六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。 平方關(guān)系 在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。 兩角和差公式sin（+）=sincos+cossin sin（）=sincoscossin cos（+）=coscossinsin cos（）=coscos+sinsin tan（+）=(tan+tan )/(1tan tan) tan（）=(tantan)/(1+tan tan) 二倍角

8、的正弦、余弦和正切公式sin2=2sincos cos2=cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2() tan2=2tan/(1tan2() 半角的正弦、余弦和正切公式sin2(/2)=(1cos)/2 cos2(/2)=(1+cos)/2 tan2(/2)=(1cos)/(1+cos) tan(/2)=(1cos)/sin=sin/1+cos 萬能公式sin=2tan(/2)/(1+tan2(/2) cos=(1tan2(/2)/(1+tan2(/2) tan=(2tan(/2)/(1tan2(/2) 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3=3sin4sin3() cos3=4

9、cos3()3cos tan3=(3tantan3()/(13tan2() 三角函數(shù)的和差化積公式sin+sin=2sin(+)/2) cos()/2) sinsin=2cos(+)/2) sin()/2) cos+cos=2cos(+)/2)cos()/2) coscos=2sin(+)/2)sin()/2) 三角函數(shù)的積化和差公式sincos=0.5sin(+)+sin() cossin=0.5sin(+)sin() coscos=0.5cos(+)+cos() sinsin= 0.5cos(+)cos() 公式推導過程萬能公式推導 sin2=2sincos=2sincos/(cos2()

10、+sin2().*， （因為cos2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除cos2()，可得sin2=2tan/(1+tan2() 然后用/2代替即可。 同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。 三倍角公式推導 tan3=sin3/cos3 =(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) =(2sincos2()+cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以cos3()，得： tan3=(3tantan3()/(1-3tan2() sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin

11、 =2sincos2()+(12sin2()sin =2sin2sin3()+sin2sin3() =3sin4sin3() cos3=cos(2+)=cos2cossin2sin =(2cos2()1)cos2cossin2() =2cos3()cos+(2cos2cos3() =4cos3()3cos 即 sin3=3sin4sin3() cos3=4cos3()3cos 和差化積公式推導 首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*co

12、sb 所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理,若把兩式相減,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 這樣,我們就得到了積化和差的四個公式: sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了積化和差的四個公式以后,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式. 我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x