1994考研數(shù)學三

1、1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) .(2) 已知,則.(3) 設(shè)方程確定為的函數(shù),則.(4) 設(shè)其中則.(5) 設(shè)隨機變量的概率密度為以表示對的三次獨立重復(fù)觀察中事件出現(xiàn)的次數(shù),則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1) 曲線的漸近線有 ( )(A) 1條 (B) 2條 (C) 3條 (D) 4條(2) 設(shè)常數(shù),而級數(shù)收斂,則級數(shù) ( ) (A) 發(fā)散 (B) 條件收斂 (C) 絕對收斂 (D) 收斂性

2、與有關(guān)(3) 設(shè)是矩陣,是階可逆矩陣,矩陣的秩為,矩陣的秩為,則( )(A) (B) (C) (D) 與的關(guān)系由而定(4) 設(shè),則 ( ) (A) 事件和互不相容 (B) 事件和相互對立(C) 事件和互不獨立 (D) 事件和相互獨立(5) 設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,是樣本均值,記則服從自由度為的分布的隨機變量是 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分6分)計算二重積分其中.四、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)滿足條件求廣義積分.五、(本題滿分5分)已知,求.六、(本題滿分5分)設(shè)函數(shù)可導(dǎo),且,求.七、(本題滿分8分)已知曲線與曲線在點處有公共切線,求:(1) 常數(shù)及切點；(2) 兩

3、曲線與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.八、(本題滿分6分)假設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)存在且大于零,記,證明在內(nèi)單調(diào)增加.九、(本題滿分11分)設(shè)線性方程組(1) 證明:若兩兩不相等,則此線性方程組無解；(2) 設(shè),且已知是該方程組的兩個解,其中寫出此方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量,求和應(yīng)滿足的條件.十一、(本題滿分8分)假設(shè)隨機變量相互獨立,且同分布,求行列式的概率分布.十二、(本題滿分8分)假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑(毫米)服從正態(tài)分布,內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品,其余為合格品,銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損.已知銷售利潤(單位:元)與

4、銷售零件的內(nèi)徑有如下關(guān)系: 問平均內(nèi)徑取何值時,銷售一個零件的平均利潤最大?1994年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題解析一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】【解析】利用被積函數(shù)的奇偶性,當積分區(qū)間關(guān)于原點對稱,被積函數(shù)為奇函數(shù)時,積分為0；被積函數(shù)為偶函數(shù)時,可以化為二倍的半?yún)^(qū)間上的積分.所以知原式 (2)【答案】【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,有.所以由此題極限的形式可構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義的形式,從而求得極限值.由于所以 原式.(3)【答案】【解析】將方程看成關(guān)于的恒等式,即看作的函數(shù).方程兩邊對求導(dǎo),得.【相關(guān)知識點】兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：.(4)【答案】【解析】由分塊

5、矩陣求逆的運算性質(zhì),有公式,且 所以,本題對分塊后可得.(5)【答案】【解析】已知隨機變量的概率密度,所以概率,求得二項分布的概率參數(shù)后,故.由二項分布的概率計算公式,所求概率為.【相關(guān)知識點】二項分布的概率計算公式：若,則, ,二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】(B) 【解析】本題是關(guān)于求漸近線的問題.由于 ,故為該曲線的一條水平漸近線.又 .故為該曲線的一條垂直漸近線,所以該曲線的漸近線有兩條.故本題應(yīng)選(B).【相關(guān)知識點】水平漸近線：若有,則為水平漸近線；鉛直漸近線：若有,則為鉛直漸近線；斜漸近線：若有存在且不為,則為斜漸近線.(2)【答案】(C)【解析

6、】考查取絕對值后的級數(shù).因,(第一個不等式是由得到的.)又收斂,收斂,(此為級數(shù)：當時收斂；當時發(fā)散.)所以收斂,由比較判別法,得收斂.故原級數(shù)絕對收斂,因此選(C).(3)【答案】(C)【解析】由公式,若可逆,則.從而,即可逆矩陣與矩陣相乘不改變矩陣的秩,所以選(C).(4)【答案】(D)【解析】事實上,當時,是事件與獨立的充分必要條件,證明如下：若,則, ,由獨立的定義,即得與相互獨立.若與相互獨立,直接應(yīng)用乘法公式可以證明 .由于事件的發(fā)生與否不影響事件發(fā)生的概率,直觀上可以判斷和相互獨立.所以本題選(D).(5)【答案】(B)【解析】由于均服從正態(tài)分布,根據(jù)抽樣分布知識與分布的應(yīng)用模式

7、可知, 其中, 即 .因為分布的典型模式是:設(shè),且相互獨立,則隨機變量服從自由度為的分布,記作.因此應(yīng)選(B).三、(本題滿分6分)【解析】方法1：由,配完全方得.令,引入極坐標系,則區(qū)域為.故 .方法2：由,配完全方得.引入坐標軸平移變換：則在新的直角坐標系中區(qū)域變?yōu)閳A域.而,則有,代入即得.由于區(qū)域關(guān)于軸對稱,被積函數(shù)是奇函數(shù),從而.同理可得 , 又 ,故 .四、(本題滿分5分)【解析】先解出,此方程為常系數(shù)二階線性齊次方程,用特征方程法求解.方程的特征方程為,解得.故原方程的通解為.由初始條件得因此,微分方程的特解為.再求積分即得 .【相關(guān)知識點】用特征方程法求解常系數(shù)二階線性齊次方程：

8、首先寫出方程的特征方程：,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個特征根；分三種情況：(1)兩個不相等的實數(shù)根,則通解為(2)兩個相等的實數(shù)根,則通解為(3)一對共軛復(fù)根,則通解為其中為常數(shù).五、(本題滿分5分)【解析】由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,首先求,由題設(shè)可得.再對求偏導(dǎo)數(shù)即得.【相關(guān)知識點】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)都在點具有對及對的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在對應(yīng)點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在,且有；.六、(本題滿分5分)【解析】運用換元法,令,則由于為“”型的極限未定式,又分子分母在點處導(dǎo)數(shù)都存在,運用洛必達法則,可得 ,由導(dǎo)數(shù)的定義,有 原式.【相關(guān)知識點】對積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則

9、.七、(本題滿分8分)【解析】利用在兩條曲線上及兩曲線在處切線斜率相等列出三個方程,由此,可求出,然后利用旋轉(zhuǎn)體體積公式求出. (1) 過曲線上已知點的切線方程為,其中,當存在時,.由知.由知.由于兩曲線在處有公共切線,可見,得.將分別代入兩曲線方程,有.于是 ,從而切點為.(2) 將曲線表成是的函數(shù),是兩個旋轉(zhuǎn)體的體積之差,套用旋轉(zhuǎn)體體積公式,可得旋轉(zhuǎn)體體積為 .【相關(guān)知識點】由連續(xù)曲線、直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為：.八、(本題滿分6分)【解析】方法1: ,令 由 知 在上單調(diào)上升,于是.故 .所以在內(nèi)單調(diào)增加.方法2: .由拉格朗日中值定理知 ,.于是有 .由知

10、在上單調(diào)增,從而,故.于是在內(nèi)單調(diào)增加.【相關(guān)知識點】1.分式求導(dǎo)數(shù)公式：2.拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)；在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),那么在內(nèi)至少有一點,使等式成立.九、(本題滿分11分)【解析】(1)因為增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式,兩兩不相等, 則有,故 .而系數(shù)矩陣的秩,所以方程組無解.(2)當 時,方程組同解于因為,知.由,知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含有1個解向量,即解空間的維數(shù)為1.由解的結(jié)構(gòu)和解的性質(zhì),是的基礎(chǔ)解系.于是方程組的通解為,其中為任意常數(shù).【相關(guān)知識點】1.非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即.(或者說

11、,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組)設(shè)是矩陣,線性方程組,則（1） 有唯一解 （2） 有無窮多解 （3） 無解 不能由的列向量線表出.2.解的結(jié)構(gòu)：若、是對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,知的通解形式為其中是的基礎(chǔ)解系,是的一個特解. 3.解的性質(zhì)：如果是的兩個解,則其線性組合仍是的解；如果是的一個解,是的一個解,則仍是的解.十、(本題滿分8分)【解析】由的特征方程,按照第二列展開,有,得到的特征值為.由題設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量,因此,必有兩個線性無關(guān)的特征向量,從而.這樣才能保證方程組解空間的維數(shù)是2,即有兩個線性無關(guān)的解向量.由初等行變換,將第一行加到第三行上,第一行乘以后加到第二行上有,由,得 和必須滿足條件.十一、(本題滿分8分)【解析】記則隨機變量和相互獨立且同分布,由與獨立可得出,故.由行列式的計算公式,隨機變量有三個可能取值：所求的行列式的概率分布列于