不定積分定積分

1、不定積分例：設(shè)是的原函數(shù)，是的原函數(shù)，且，求。由，兩邊求導(dǎo)例：設(shè)單調(diào)連續(xù)、可導(dǎo)，是它的原函數(shù)，若，求例：設(shè)由方程確定的隱函數(shù)，求注：將用表示，用表示，難！令，代入原式原式=注：這種求隱函數(shù)的不定積分，一般都是通過變量變換將用同一參數(shù)表示出來(lái)，然后求解例：設(shè)由方程確定的隱函數(shù)，求令例：令，分段函數(shù)的不定積分例：，求。當(dāng)當(dāng)，則是連續(xù)函數(shù)，例：已知，在上，求。由，于是。定積分求極限例： 兩邊積分，右邊=，由夾逼定理可知：例：.不能用LHospital法則，求導(dǎo)后極限不存在。當(dāng)而又 左邊 =則 ，由兩邊夾法則可得，原式例：估計(jì)的符號(hào)因?yàn)槎?，故，由積分中值定理原式類似地，例：證明令，進(jìn)行換元積分，有對(duì)第

2、二個(gè)積分用換元積分，則有原式=由于在上，被積函數(shù)是一個(gè)正函數(shù)，從而可得結(jié)論。例：設(shè)在上連續(xù)，求分析：積分不易，用積分中值定理。設(shè)，在上連續(xù)，且不變號(hào)，則存在，使得，在相應(yīng)的區(qū)間；原式。例：設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)非負(fù)，又，證設(shè)單調(diào)增加，由非負(fù)，類似可得，由兩邊夾法則，其中右邊用級(jí)數(shù)收斂判別法。例：注意：善于利用被積函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)間的對(duì)稱性例：例：對(duì)稱區(qū)間上的積分，作負(fù)變換，通常有效。例：上述做法的基本思想是：例：，令 原式 （奇函數(shù)）例：例：求值，使得，其中. 由于，令得。含有參數(shù)的定積分：例：，其中為實(shí)數(shù)例：；，總之：例：設(shè) ，求由設(shè) ，又因于是 求定積分得例：設(shè),求。法1、，令，則，法2、

3、令，則由于，則。例：，求。令，原式例：例：設(shè)，且，求法1，先求出，然后積分。法2、而，代入上式得，令，得應(yīng)用分部積分法得：例：，令以上結(jié)果是錯(cuò)誤的，因?yàn)槭氰c(diǎn)。，原函數(shù)， 原積分發(fā)散。注：對(duì)于積分，由于，其中原積分可化為，后一積分的分子是分母的導(dǎo)數(shù)。例：已知，求當(dāng)，當(dāng)當(dāng)當(dāng)例：例：已知，求所以，例：設(shè)為常數(shù)，且，求，使得右式分部積分，若，發(fā)散。所以，必有，此時(shí)，由，所以，則例：設(shè)，證：1、，2、1、2、 ，同時(shí)加上，有由1、可知上式左邊，而右邊，即得。例：求 所以，于是，例：設(shè)，證：用歸納法。，交換積分次序設(shè)成立，交換積分次序例：設(shè)，求的最值。當(dāng)當(dāng)從而，為極小值。由在內(nèi)只有唯一極小值，則必為最小值。當(dāng)在嚴(yán)格增加，又，所以，無(wú)最大值。例：設(shè)k為任意實(shí)數(shù), 證明: .證明: 先證: 令, 得&#