雙曲線及其標準方程教學設(shè)計

1、2014年河南省高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課大賽人教A版 選修1-1雙曲線及其標準方程教學設(shè)計鶴壁高中 喬肖燕2014年14月課題：雙曲線及其標準方程授課人：河南省鶴壁市鶴壁高中 喬肖燕 2014年4月【教材內(nèi)容分析】本節(jié)課是高中數(shù)學選修1-1第二章第二節(jié)第一課時的內(nèi)容，前面有橢圓知識及學習方法的鋪墊，后面有拋物線學習的延續(xù)，有利于學生掌握和鞏固.三種圓錐曲線中，雙曲線是最復雜的一種.但本節(jié)課的知識難度不是很大，比較易于學生理解和掌握.【學情分析】知識結(jié)構(gòu)分析： 學生剛剛學習過橢圓，對橢圓有了系統(tǒng)的認知和了解，從定義到方程，從方程到性質(zhì)，從性質(zhì)到應用.雙曲線雖然和橢圓不同，但研究方法是類似的，所以雙曲線的學

2、習可以說是輕車熟路，但是，教師要引導學生關(guān)注橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系.能力體系分析： 本章對學生的運算能力要求較高，而這恰恰是許多學生的弱點，因此在教學過程中在培養(yǎng)學生邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與劃歸能力的同時需著重關(guān)注學生的運算能力.【教學目標】通過雙曲線軌跡的探索過程，體驗雙曲線的特征，探求總結(jié)雙曲線的定義；通過類比橢圓的標準方程，推導并掌握雙曲線的標準方程；通過對雙曲線概念和標準方程的探索，培養(yǎng)學生的觀察和分析能力，激發(fā)學生探究事物運動規(guī)律，進一步認清事物的本質(zhì)特征的興趣.【教學重點】雙曲線的定義；雙曲線標準方程的兩種形式.【教學難點】 雙曲線標準方程的推導方法及化簡過程.【教具準備】 多媒體投

3、影儀，幾何畫板動畫【教學方法】 采用啟發(fā)、探究式教學.【教學環(huán)節(jié)】教學環(huán) 節(jié)教學內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖(一)創(chuàng)設(shè)情境，感知圖形 回顧初中時學習過的反比例函數(shù)的圖像；觀察電廠的冷卻塔圖片，它的軸截面的外輪廓就是雙曲線的一部分.教師引入，學生回憶初中所學內(nèi)容；多媒體展示圖片，學生觀察，實物感知雙曲線的形狀.教師引入課題，告知學生本節(jié)課的學習目標、學習重點和學習難點.這一段可由一名學生代表閱讀. 通過學生熟悉的知識以及生活中的實例讓學生感知雙曲線的形狀，這樣的兩個例子簡單、生動，學生易于接受.(二)動畫演示，引入定義雙曲線是如何形成的？可以如何給雙曲線下定義？借助經(jīng)典的拉鏈動畫，引導學生總結(jié)動點在運動

4、過程中的特征，從而引入雙曲線的定義. 教師手動演示雙曲線的形成過程，先演示靠近的一支，由學生總結(jié)動點特征:并解釋為什么有這樣的特征:隨著拉鏈的閉攏和拉開，兩條線段減小或增加的量相等，所以差值始終是同一個常數(shù).再演示靠近的那一支，仍然由學生總結(jié)特征:接著，強調(diào)以上兩個常數(shù)是相等的，兩支曲線合在一起叫做雙曲線，引導學生把兩個式子合二為一:并把數(shù)學式子轉(zhuǎn)化成自然語言，概述雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線.(此處暫時不說常數(shù)的范圍.)充分調(diào)動學生的積極性，突出學生的主體地位，并且通過總結(jié)特征提高學生的語言表達能力，對圖形的認知能力.學生概述定義時往往會漏掉常

5、數(shù)的范圍，這個問題暫時保留，下一個環(huán)節(jié)來解決。保留常數(shù)的范圍這一問題，由學生自己發(fā)現(xiàn)，方能印象更加深刻.教學環(huán) 節(jié) 教學內(nèi)容 師生活動設(shè)計意圖(三)剖析定義，夯實基礎(chǔ)剖析定義中的要點：“平面內(nèi)”三個字容易漏掉，去掉后不嚴謹；由學生發(fā)現(xiàn)“絕對值”三個字的重要性；常數(shù)是不是像橢圓中一樣有范圍限制？如果有的話，是什么？為什么？剛才給出定義時沒有加上常數(shù)的范圍，定義敘述不完整，所以現(xiàn)在要對定義進行補充，確保定義的嚴謹性.最終雙曲線的定義為：平面內(nèi)到兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.通常情況下，焦距用表示，常數(shù)用表示

6、，顯然這里有 第一點教師做提醒； 第二點要點撥學生去掉“絕對值”三個字后點的軌跡會是什么，學生慎重考慮后應該能夠找到正確答案:去掉絕對值后軌跡變成了雙曲線的一支.之后教師提醒學生做題時需注意這一點；第三點由學生分組去討論，然后派代表說明本組的討論結(jié)果，直至解決問題,得到結(jié)論：常數(shù)等于時，點的軌跡是直線上以為端點向外的兩條射線；常數(shù)大于時，點的軌跡不存在；常數(shù)等于0時，點的軌跡是線段的垂直平分線.以雙曲線和橢圓作比較，兩類曲線中和的大小關(guān)系不同，在橢圓中，而在雙曲線中，要提醒學生注意.學生的表達往往不嚴謹，“平面內(nèi)”這三個字是很容易被忽略的，所以教師要強調(diào).第二點學生略作思考，就能夠意識到這三個

7、字的重要性；第三點對學生而言最為困難，如果強硬給出的話，學生被動接受，不利于學生的理解和掌握，所以我采取小組討論的做法，由學生自己得出范圍，加深學生對范圍的理解.(四)類比橢圓 ，推導方程回顧橢圓的標準方程的推導步驟，推導雙曲線的標準方程. 標準方程為 其中 橢圓的標準方程有兩種，雙曲線的方程在推導時也可以換一種建系方式，得到另一種形式的方程： 其中 兩種形式的標準方程，應該如何判斷焦點所在軸？ 學生思考并做答：在等式右邊是1或其它正常數(shù)時，焦點在系數(shù)為正數(shù)的軸上.這與橢圓判斷焦點所在軸的方法也不一樣，同樣要給學生強調(diào). 學生剛剛學習過橢圓，對橢圓的標準方程的推導過程印象比較深刻，用同樣的步驟

8、推導雙曲線的標準方程：建系以直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系.設(shè)點設(shè)雙曲線上任意一點坐標為，焦距為則常數(shù)記為.寫出限制條件列出等式 化簡這一步由學生自己動手完成，并且找一個學生演板，最終化簡為 像橢圓一樣，為了使雙曲線方程的形式更加簡潔，結(jié)合可設(shè)其中(意義講性質(zhì)時再涉及).于是雙曲線的方程可化為這就是焦點在軸上的雙曲線的標準方程，焦點坐標為 雙曲線與橢圓標準方程中的關(guān)系不同，要給學生強調(diào)，這也是今后在做題過程中學生易混淆的地方.培養(yǎng)學生的運算能力. 通過雙曲線與橢圓的對比，學生可以加深對兩種曲線的理解.(五) 例 題 講 解 ， 學 以 致 用 例1、已知雙曲線的焦點雙曲線上一

9、點到兩焦點的距離之差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程. 對例題的條件進行修改，得到如下三個變式訓練：1、 已知動點滿足求點的軌跡方程.2、 已知動點滿足求點的軌跡方程.3、 已知動點滿足求點的軌跡方程. 例2、已知雙曲線的焦點且經(jīng)過點求雙曲線的標準方程. 例1難度系數(shù)不大，給學生適當?shù)臅r間，自己去做，一般情況下學生會在練習本上直接寫出本題的正確答案，所以教師要通過投影給出規(guī)范的解題步驟. 三個變式均是對定義的考查，如果學生對定義中的要點理解到位，就可以順利地把三個變式求解出來. 教師要強調(diào)雙曲線的一支方程和變式訓練3中兩條射線的方程應如何表示，這是易錯點. 例2較之例1難度略大，計算量也稍大

10、，所以要給學生充分的思考時間.這道題由兩個學生演板，一般情況下學生會利用和雙曲線過點列方程求解，這一方法思路自然，運算較繁；有些數(shù)學程度較好并且善于思考的同學會想到利用定義求出即，再利用即可求出從而雙曲線的方程得以求出，這一方法相對來講計算量較小，而且緊扣本節(jié)課的學習重點.要給學生強調(diào)定義的重要性. 本節(jié)課的重點就是雙曲線的定義及標準方程，而定義中的要點一是絕對值，二是常數(shù)的范圍，設(shè)計例1就是要使學生正確把握定義，正確理解定義. 例2讓學生演板，體現(xiàn)了學生在課堂上的主體作用，兩種方法的對比會讓學生明白解題時技巧的重要性，從而引導學生在日常學習中一定要多動腦思考，不止為做題而做題，一道題目有多種

11、解法時，可權(quán)衡一下哪一種解法更有利于節(jié)省時間，提高效率.(六) 課 堂 練 習 ， 沙 場 練 兵 1、已知雙曲線的焦點在坐標軸上，則雙曲線的標準方程為 . 2、過雙曲線左焦點的直線交雙曲線的左支于兩點，為其右焦點，的值等于 . 3、在中，動點滿足則動點的軌跡方程為 . 教師通過投影打出三道題目，學生自己審題，動手計算.然后教師提問學生回答自己計算得到的答案: 1、或 2、8. 3、 學生動手去做，通過學生的做題狀況教師能夠看出學生對本節(jié)課知識點的掌握情況，三道練習題由淺入深，層層深入，使學生體會到學習的快樂和收獲. 第3題稍有難度，用到了正弦定理，有些學生可能會不明白為什么要有這一點涉及到雙

12、曲線的性質(zhì)，正好為學習雙曲線的性質(zhì)做鋪墊.(七) 課 堂 小 結(jié) ， 整 理 收 獲 請同學們回顧本節(jié)課我們所學習的主要內(nèi)容. 由學生自己總結(jié)本節(jié)課的收獲： 雙曲線的定義； 雙曲線的標準方程的兩種形式； 雙曲線標準方程的求解方法. 學生敘述不完整或不準確的地方，教師予以補充或糾正，同時提醒學生要牢記定義.學生總結(jié)，加深理解，印象深刻，形成學生自己的認知結(jié)構(gòu).突出重點，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)學生的概括能力.(八) 課 后 作 業(yè) ， 及 時 反 饋 課本第48頁練習1、2； 課本第54頁習題2.2A組1、2； 自己動手制作表格，列出橢圓與雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系. 課下獨立完成，同學之間交流 檢驗學生課內(nèi)的掌

13、握情況，并讓學生明白，學習不僅僅是課堂上的事，課下的時間自己要合理支配，科學安排. 附： 板 書 設(shè) 計 投 影 儀 大 屏 幕 雙曲線及其標準方程1、 雙曲線的定義 學生演板： 雙曲線標準方程的推導即 學生演板（兩名學生）：2、 雙曲線的標準方程 例2的求解過程 其中，【教后心得】本章教材中的設(shè)計與老教材基本上沒有太大變化，可以說，任何一個有幾年教齡的高中教師，對本節(jié)課都是比較熟悉的，可是，要想講好這堂課，還是需要花費很大功夫.本節(jié)課我自認為有可取之處，簡述如下：課堂效果不錯，學生熱情高漲，能積極主動地思考并回答問題，和老師配合得很好；在講解定義的過程中，我采用了暫時保留常數(shù)取值范圍的做法，由學生自己討論得出，而并